聚焦数量关系：三位数乘两位数的算理理解与问题解决-小学四年级数学下册（冀教版）教案

聚焦数量关系：三位数乘两位数的算理理解与问题解决——小学四年级数学下册（冀教版）教案

  一、设计理念

  本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，致力于超越单纯的计算技能训练，将“三位数乘两位数”置于“数量关系”这一宏大的数学与现实桥梁框架下进行重构。设计秉持“理解性教学”与“应用性学习”相融合的理念，通过创设连贯、真实且富有挑战性的问题情境，引导学生亲历从现实问题抽象出数学模型（“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”），进而探究算法、理解算理，最终回归应用解决问题的完整认知过程。设计强调跨学科视野的融入，将数学与经济学初步概念（购物）、物理学基础概念（运动）自然衔接，培养学生的模型意识、应用意识与推理能力。教学过程以学生为主体，通过合作探究、对话思辨、多元表征等方式，促进学生对乘法运算本质的理解，发展其高阶思维与解决复杂现实问题的综合素养。

  二、课标与教材分析

  本课内容隶属于“数与代数”领域中的“数量关系”主题。课标在第二学段（3-4年级）明确要求：“在具体情境中，认识常见数量关系：总量=分量×份数（如总价=单价×数量、路程=速度×时间），并能解决简单的实际问题。”同时，要求“能计算两位数乘三位数。”冀教版教材将“三位数乘两位数”的计算教学与“数量关系”的认识有机整合，旨在打破传统教学中先孤立教算法、后简单套用公式的窠臼，体现“在问题解决中学习运算”的现代教学思想。教材编排通过“购物”和“行程”两个典型情境，逐步揭示两种基本数量关系，并将三位数乘两位数的笔算作为解决这些实际问题的重要工具自然引出。本设计将充分挖掘并延伸这一编排意图，在两课时内构建一个从关系发现、算理探究到综合应用的螺旋式上升学习路径。

  三、学情分析

  四年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。他们的已有认知基础包括：熟练掌握了两位数乘两位数、三位数乘一位数的笔算方法；具备了从情境中提取数学信息、提出简单问题的能力；对“单价”、“速度”等概念有初步的生活化理解。然而，潜在的学习障碍可能存在于：第一，对数量关系内在逻辑的理解可能停留在记忆公式层面，未能真正理解其乘法模型本质；第二，将已有的两位数乘两位数的算法迁移到三位数乘两位数时，对“部分积”的对位原理可能产生困惑；第三，在解决复杂的多步骤实际问题时，信息筛选、关系分析与策略选择能力尚待提高。因此，教学需提供充分的直观支撑和思辨机会，促进算理与算法的深度融合，并引导学生在复杂情境中灵活运用数量关系模型。

  四、学习目标

  1.知识与技能目标：结合具体情境，理解“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”两种基本数量关系的意义，并能用关系式进行表征。掌握三位数乘两位数的笔算方法，理解其算理，能正确、熟练地进行计算。

  2.数学思考与问题解决目标：经历从现实问题中抽象出数量关系、探索计算方法、解决问题的完整过程，发展模型意识和初步的抽象能力。在探究算理的过程中，通过对比、类推、说理等活动，提升运算能力和推理意识。学会分析含有复杂信息的情境，能综合运用数量关系解决多步骤的实际问题。

  3.情感态度与价值观目标：感受数学与日常生活的紧密联系，体验运用数学知识解决实际问题的成就感。在小组合作与探究中养成认真严谨、善于交流、敢于质疑的学习品质。

  五、教学重难点

  教学重点：理解“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”两种数量关系的乘法模型本质；掌握三位数乘两位数的笔算方法及其算理。

  教学难点：理解三位数乘两位数笔算过程中“第二部分积”的书写位置及其算理依据（即为何要末尾与十位对齐）；在复杂多变的情境中，灵活识别、选择并综合运用数量关系模型解决问题。

  六、教学准备

  教师准备：多媒体课件，包含真实购物小票图片、交通工具速度视频片段、动态演示三位数乘两位数竖式计算过程的动画；设计并打印“探究学习单”（含不同层次的问题情境）；实物投影仪。

  学生准备：练习本、笔、直尺；课前简单调查家中几种常见物品的单价。

  七、教学过程（两课时，共80分钟）

  第一课时：数量关系（一）——总价问题与三位数乘两位数算理初探

  （一）情境驱动，问题聚焦（预计时间：8分钟）

  1.生活再现，导入主题：

  教师通过课件展示几张精心选取的真实购物小票（如超市购物、图书购买、文具采购），引导学生观察。提问：“从这些购物小票中，你能发现哪些数学信息？”学生可能回答：买了什么、数量、价格、总钱数等。

  2.关键追问，引发思考：

  教师聚焦其中一张小票（例如：购买《百科全书》，单价128元，数量12套）。提问：“小票上的‘总金额1536元’是怎么得来的？你能用一个算式表示吗？”学生迅速列出算式：128×12或128+128+…（加12次）。教师肯定两种方法，并引导学生比较：“哪种方法更简便？为什么？”自然引出乘法运算。

  3.抽象关系，建立模型：

  教师进一步出示多组数据（来自小票或学生课前调查），如：钢笔每支25元，买4支；笔记本每本6元，买15本。引导学生分别列出求总价的算式。然后组织小组讨论：“观察这些算式，你发现‘单价’、‘数量’和‘总价’三者之间存在着怎样的固定关系？”鼓励学生用自己的语言描述。最终师生共同归纳出数量关系式：总价=单价×数量。教师板书关系式，并强调每个量的含义及单位。

  （设计意图：从最真实的生活素材切入，让学生感受到数学的亲切与实用。通过观察、列式、比较、归纳等一系列思维活动，引导学生自主建构“总价=单价×数量”的数学模型，奠定本课学习的认知基础。）

  （二）探究算法，深究算理（预计时间：22分钟）

  1.任务驱动，尝试计算：

  教师抛出核心问题：“刚才我们知道了关系，现在要具体解决《百科全书》的总价问题：128元×12套。128×12，这是一个三位数乘两位数的算式。你能尝试用以前学过的知识，算出它的结果吗？”将问题呈现在探究学习单上，给予学生独立思考和尝试计算的时间。学生可能的方法有：估算（128≈130，130×12=1560）；转化为两位数乘两位数（若将128视为120和8）；尝试列竖式（可能正确，也可能出现对位错误）。

  2.多元展示，思维碰撞：

  教师选取几种有代表性的方法进行投影展示，尤其是可能出现的错误竖式（如将第二部分积的末位与个位对齐）。先请学生讲解自己的思路，其他学生倾听、质疑或补充。

  3.聚焦难点，突破算理：

  这是本环节的核心。教师不急于宣布正确答案，而是引导学生深入思考：“在竖式计算中，用两位数‘12’个位上的‘2’去乘‘128’，得到的是多少个‘1’？（256个‘1’）那么，用十位上的‘1’去乘‘128’，得到的‘128’又表示多少个‘1’呢？”学生可能会答“128个‘1’”。此时教师利用课件动态演示或计数器、方格图等直观模型进行演示：十位上的“1”表示1个“十”，用1个“十”去乘128，得到的是128个“十”，也就是1280。因此，这个“128”实际表示1280，它的末位“8”应该对齐的是十位。教师板书强调：用哪一位去乘，乘得的积的末位就要和哪一位对齐。

  4.沟通联系，构建网络：

  引导学生将三位数乘两位数的竖式与之前学的三位数乘一位数、两位数乘两位数进行对比。提问：“它们的计算道理有什么相同之处？”（都是用第二个乘数的每一位分别去乘第一个乘数的每一位，乘得的积再相加；注意数位对齐）“不同之处是什么？”（乘数的位数增多，步骤可能多一步，但原理不变）。通过对比，帮助学生将新知识纳入原有的认知结构，实现算法的迁移与算理的贯通。

  5.规范书写，巩固算法：

  师生共同梳理、规范三位数乘两位数的笔算步骤：相同数位对齐；用第二个因数个位上的数去乘第一个因数，得数的末位与个位对齐；用第二个因数十位上的数去乘第一个因数，得数的末位与十位对齐；把两次乘得的积加起来。学生独立完成一至两道模仿性练习（如145×23，307×18），教师巡视指导，重点关注中间有0的乘法计算难点。

  （三）分层应用，内化关系（预计时间：8分钟）

  1.基础应用（学习单第一层）：

  提供简单的购物情境题，直接应用“总价=单价×数量”关系及三位数乘两位数计算解决问题。例如：“学校图书馆要购买35套《中华成语故事》，每套124元，一共需要多少元？”

  2.变式应用（学习单第二层）：

  情境稍加复杂，需要学生先识别关系再计算。例如：“张老师带3000元为班级买篮球。每个篮球156元，买了15个。根据这些信息，你能提出一个数学问题并解答吗？”（问题可能是总价，也可能是“钱够不够”的比较问题）。

  （设计意图：通过分层练习，一方面巩固计算技能，另一方面促进数量关系模型的内化。变式练习开放了问题空间，培养了学生根据信息提出问题的能力。）

  （四）回顾总结，延伸思考（预计时间：2分钟）

  教师引导学生回顾本课收获：“今天我们研究了什么数量关系？是怎样研究的？在计算三位数乘两位数时，最关键要弄清楚什么？”学生总结。教师布置一个简短的实践性作业：“回家后，请你当一回‘家庭采购小参谋’，记录一次购物中至少两样商品的单价和数量，并计算出总价，验证我们今天学的知识。”

  第二课时：数量关系（二）——行程问题与运算综合应用

  （一）情境迁移，再建模型（预计时间：10分钟）

  1.视频激趣，导入新知：

  播放一段包含不同交通工具（高铁、汽车、自行车）行驶的短视频。提问：“这些物体都在做什么运动？要描述它们运动的快慢，我们通常用什么量？”引出“速度”。

  2.信息解读，理解概念：

  出示一组速度信息卡片：高铁的速度大约是每小时300千米，写作300千米/时；汽车的速度是每小时85千米；自行车每分钟行250米。引导学生读一读，说一说这些速度表示的含义（如300千米/时表示每小时行驶300千米），重点理解复合单位“千米/时”的意义。

  3.问题探究，抽象关系：

  创设连贯情境：“如果这列高铁以300千米/时的速度，行驶了4小时，它一共行驶了多远的路程？”学生列式：300×4=1200（千米）。变换数据：“如果行驶了12小时呢？”列式：300×12。教师追问：“仔细观察，求路程需要知道哪两个条件？路程、速度和时间三者之间有什么关系？”引导学生类比上节课的学习过程，进行小组讨论。最终归纳出：路程=速度×时间。教师板书。

  4.模型沟通，形成结构：

  提问：“比较‘总价=单价×数量’和‘路程=速度×时间’，这两个关系式有什么共同特点？”引导学生发现它们本质都是“总量=每份数×份数”的乘法模型，只是具体情境不同。这种沟通有助于学生形成更高层次的知识结构，深化对乘法意义的理解。

  （二）算法巩固，策略优化（预计时间：15分钟）

  1.计算解决行程问题：

  学生独立计算300×12，巩固三位数乘两位数的算法。教师可指名板演，并再次强调算理。

  2.开放情境，策略多样：

  呈现更丰富的行程问题情境：“王叔叔从甲城开车去乙城，车速是105千米/时。他上午8时出发，下午2时到达。甲城到乙城的路程是多少千米？”学生需要先解读“上午8时到下午2时”是6小时，再用105×6计算。鼓励不同思路。

  3.渗透估算与验算：

  在计算前后，引导学生进行估算（如105×6，100×6=600，5×6=30，结果大约630千米），培养数感。强调计算后可用再算一遍、逆运算（除法）或估算进行验算，养成良好的运算习惯。

  （三）综合应用，思维提升（预计时间：12分钟）

  本环节设计一组具有综合性、层次性和一定挑战性的问题链，引导学生灵活运用所学。

  1.信息筛选与关系选择（学习单第三层）：

  提供一段包含多余信息的图文材料：“为筹备校运动会，李老师去体育用品店采购。店里有足球每个125元，篮球每个138元，排球每个95元。李老师买了15个足球和18个篮球。他先付了3000元定金。”（问题：买足球花了多少钱？买篮球花了多少钱？）

  学生需要从众多信息中筛选有效信息，并选择正确的数量关系解决两个独立问题。此练习重在培养学生处理复杂信息的能力。

  2.多步问题与关系综合（学习单第四层）：

  问题：“继续上面的情境，李老师买的这些体育用品总共需要付多少元？付完定金后，还需再付多少元？”

  学生需要先分别算出足球和篮球的总价，再相加得到合计，最后与定金比较求差额。这是对两种数量关系（虽同属总价模型，但对象不同）和加减运算的综合运用。

  3.创新情境与模型迁移（学习单第五层）：

  设计一个非典型的“生产”情境：“一个自动化包装车间，包装机每分钟能包装108件产品。照这样计算，这台机器连续工作25分钟，能完成4000件产品的包装任务吗？”

  学生需要先利用“工作效率×工作时间=工作总量”的关系（本质仍是乘法模型）求出25分钟的工作量，再与4000比较。这考查学生能否识别并迁移乘法数量关系模型到新情境。

  （四）总结反思，拓展延伸（预计时间：3分钟）

  1.系统梳理：

  师生共同梳理两课时的学习内容，形成知识网络图：从生活实际问题出发，抽象出两种基本数量关系（总价模型、行程模型）→为解决问题，深入探究了三位数乘两位数的算法与算理→综合运用关系和计算解决更复杂的问题。强调数学模型（关系式）的工具价值。

  2.反思评价：

  引导学生反思：“在解决这些问题时，你觉得最关键的一步是什么？（分析数量关系）有没有遇到过困难？你是怎么克服的？”

  3.延伸展望：

  教师简要说明：“生活中还有很多这样的数量关系，比如‘总产量=单产量×面积’，‘总字数=打字速度×时间’等。以后我们还会学习更多关于数量关系的知识，并用更强大的数学工具去解决更复杂的世界问题。”激发学生持续探索的兴趣。

  八、板书设计（在两课时内动态生成）

  左侧主板书：

  数量关系

  总价=单价×数量

  例：128×12=1536(元)

  128

  ×12

  ———————

  256……(128×2)个一

  +128……(128×10)个十

  ———————

  1536

  算理关键：用哪一位乘，积的末位就和哪一位对齐。

  路程=速度×时间

  例：300×