吉林省省长春市高三质量监测（二）数学试题（原卷版）

长春市2026届高三质量监测（二）数学本试卷共4页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确在考生信息条形码区．2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知平面向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.13 B.15 C.17 D.194.双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（）A.1 B.3 C.7 D.95.的展开式中的系数为160，则（）A.2 B. C. D.26.某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.67.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（）A. B. C. D.8.已知实数，若且，则（）A.9 B.21 C.27 D.30二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列结论正确的有（）A.的虚部是 B.在复平面内对应的点在第二象限C. D.10.已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则下列有关函数及其性质的描述正确的是（）A.B.为函数图象的一条对称轴C.将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象D.函数的单调递减区间为11.景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（）A.该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为B.该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小C.若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为D.若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，若，则的取值范围是___________．13.在中，，，，的面积为______________.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）．性别身高合计低于170cm不低于170cm男82432女12618合计203050（1）依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？（2）若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率．附：，其中．0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.87916.在数列中，．（1）求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和．17.如图，三棱柱的所有棱长均为2，且．（1）证明：；（2）若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值．18.已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为．（1）求的方程；（2）若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值．19.在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间（单位：月），满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征．定义：若函数在上满足：1．震荡性：在上无限次正负交替；2．衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．则称为震