贵州省黔南布依族苗族自治州2025-2026学年高二上学期教学质量监测考试Ⅲ数学

贵州省黔南布依族苗族自治州高二上学期1月教学质量监测考试Ⅲ数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A．0 B． C． D．不存在2．下列求导运算正确的是（

）A． B． C． D．3．如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（

）

A． B． C． D．4．已知数列，，，以后各项由（，）给出，且数列满足，则（

）A． B． C． D．5．已知函数在上可导，则（

）A． B．C． D．6．已知与相交，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．7．已知等比数列的前n项和为且，若，，，则下列等式恒成立的是（

）A． B． C． D．8．正方体的棱长为1，为棱的中点，则到平面的距离为（

）A． B． C． D．二、多选题9．同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（

）A． B．经过点和C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点10．已知等差数列的前n项和为，公差为d，m，n为互不相等的正整数，则下列说法正确的是（

）A．数列是等差数列 B．若，，则C．若，则 D．若，则11．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线C上的两个动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是抛物线C所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则点M到y轴距离为4C．的最小值为3D．若，则三、填空题12．椭圆的离心率为.13．在中，为坐标原点，、，则内切圆的标准方程为.14．已知数列满足，.若是等差数列，则；若是等比数列，则.四、解答题15．已知函数在处的切线与y轴垂直.(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间.16．在平面直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为，当实数m变化时，解答下列问题：(1)能否出现的情况，并说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值，并求出该定值.17．如图，在三棱锥中，平面PAC，，，，点M，N满足，.(1)求证：；(2)当MN取最小值时，求直线AM与平面CMN所成角的正弦值.18．在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到点的距离之比为，设动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知点，点，为上两点，且，，直线，，分别交轴于点，，，求证：.19．已知数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)保持数列的顺序不变，在、之间插入个数：，，，，，且，，，，，，这个数组成一个等差数列，记.由，，，，，，，，，，，，，，组成的新数列记为.（i）求，，；（ii）记数列的前项和为，比较与的大小.1．B根据直线方程，易得直线与轴垂直，即可求解.【详解】由直线，可得，此时直线与轴垂直，所以直线的倾斜角为.故选：B.2．D利用基本函数求导法则计算出答案【详解】，A错误；，B错误；，C错误；，D正确.故选：D3．C根据空间向量线性运算性质进行求解即可.【详解】.故选：C4．C先根据数列的递推公式求出和的值，再代入中求出结果即可.【详解】因为，，（，），所以.所以.故选：C.5．B由导数的定义进行求解．【详解】对于A，，故A项错误；对于B，，故B项正确；对于C，，故C项错误；对于D，，故D项错误．故选：B6．A先把两圆化为标准形式求出圆心和半径，再利用两点间距离公式求出圆心距，利用圆与圆的位置关系构造不等式，解不等式求出实数a的取值范围．【详解】的标准方程为，圆心，半径，的标准方程为，圆心，半径，则，解得或，，两圆相交，，恒成立，则只需满足，，化简得，解得或，综上，的取值范围为，故A正确．故选：A．7．C利用等比数列的性质及等比数列前n项和公式，结合已知条件对各选项进行逐一分析判断．【详解】是等比数列，设首项是，公比为，，，，当时，，令，且，则，，选项A：，，且，，故不恒成立，故A错误；选项B：，，不恒成立，故B错误；选项C：当时，，，，当时，，，故，综上，恒成立，故C正确；选项D：，不成立，故D错误．故选：C．8．A利用等体积法建立等式，结合三棱柱体积公式计算即可求得点到平面的距离.【详解】如图：

在中，，，.所以，所以，所以.又.设到平面的距离为，则.故选：A9．AD根据两条直线平行计算求出参数判断A，C，根据平行直线位置关系判断D，应用两点求出斜率判断B.【详解】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意；对于B:经过点和，所以斜率为，所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意；对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意；对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意；故选：AD.10．ABD根据等差数列的通项公式和前项和公式进行计算即可.【详解】因为等差数列的前n项和为，公差为d，所以.所以，所以数列是首项为公差为的等差数列，A正确；因为，所以.两式相减得，即，因为m，n为互不相等的正整数，所以，所以.代入得，所以，B正确；因为，当时，.所以，又，所以，则，所以C错误；因为，所以，化简得，因为m，n为互不相等的正整数，所以，所以，所以，D正确.故选：ABD.11．ACD根据抛物线的定义，结合平面向量共线性质、两点间线段最短逐一判断即可.【详解】设点，．该抛物线的准线为，因为，所以的最小值为，所以，故A正确．若，则，所以M到y轴的距离为，故B错误．过点A作抛物线的准线l：的垂线，垂足为点E，由抛物线的定义可得，所以，当且仅当P，A，E三点共线，即当时，取得最小值，故C正确．由向量共线可得直线AB过点，设AB的方程为，与联立可得，则．由，，由，所以，得，所以，故D正确．故选：ACD12．/把椭圆方程化成标准方程，确定，再根据离心率的概念求解.【详解】把椭圆方程化成标准方程，得.表示焦点在轴上的椭圆，且，，所以.所以椭圆的离心率为.故答案为：13．作出图形，分析可知圆心在直线上，设圆心为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，求出的值，可得出圆心的坐标和圆的半径，即可得出所求圆的标准方程.【详解】由题意可知，直线的方程为，即，由题意可知的角平分线所在直线的方程为，如下图所示：

设内切圆圆心为，则圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，整理可得，因为，解得，故圆心为，圆的半径为，所以内切圆的标准方程为.故答案为：.14．根据数列为等差数列设出公差，结合条件解得首项和公差，计算得出结果；根据数列为等比数列设出公比，分和讨论，再结合条件解得首项和公比，计算得出结果【详解】若是等差数列，设公差为，由题意，解得或，当时，，所以；当时，，所以；若是等比数列，设公比为当时，，由题意，，不符合题意；当时，由题意，，可得，解得或当时，，所以；当时，，所以；故答案为：；15．(1).(2)单调增区间为，单调减区间为.（1）首先计算得，结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；（2）由（1）得，由导函数小于求得函数的减区间，导函数大于求得函数的增区间即可.【详解】（1）由题意得，令，得，解得，又函数在处的切线与y轴垂直，，，，则，函数的解析式为.（2）由（1）可知，则，又函数的定义域为，，故当时，，此时，函数在上单调递增；当时，，此时，函数在上单调递减.所以的单调增区间为，单调减区间为.16．(1)答案见解析(2)证明见解析（1）根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式，结合直线斜率公式进行判断证明即可.（2）利用圆的性质求出圆的标准方程，在圆的标准方程中，令，进行运算证明即可.【详解】（1）总能出现，理由如下：在中，令，得，因为，所以曲线一定与横轴有两个不同的交点，设，，因此，于是有，所以，所以总能出现.（2）因为，所以过A，B，C三点的圆的圆心为的中点，设为点，由中点坐标公式可得，即，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为，在中，令，得，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，是定值.17．(1)证明见解析(2)（1）根据线面垂直的性质定理与判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，先求出当MN取最小值时的的值，再利用向量法求线面夹角的正弦值.【详解】（1）因为平面PAC，平面PAC，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以；（2）因为平面PAC，所以，以点为原点建立如图的空间直角坐标系，则，所以，因为，，所以，所以，所以，所以，当时，最小，MN取最小值，此时，所以，设平面CMN的法向量为，则，令，则，所以，设直线AM与平面CMN所成角为，则，所以直线AM与平面CMN所成角的正弦值为.18．(1)(2)证明见解析（1）设，利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式，列出方程后化简即可；（2）设直线，点，求出直线，，然后求出点，，，将证明转化为证明；结合齐次化运算得到的值，代入即可得证.【详解】（1）设，因为点到直线的距离与到点的距离之比为，所以，化简得，所以的方程为；（2）依题意，直线的斜率存在，设直线，，，则，即；又，所以直线，直线；令，则，，，，；易知点在点的同一侧，所以；由（1）知的方程为，所以，化简得；又，所以，化简得，所以，所以；要证明，即证，即证，即证；又，故命题得证，即.19．(1)(2)（i），