初中数学九年级下册《位似图形的概念与画法》教案

初中数学九年级下册《位似图形的概念与画法》教案

一、教学分析

（一）教材分析

本节内容选自人教版《数学》九年级下册第二十七章“相似”中的第七单元“位似”。相似是初中数学“图形与几何”领域的核心内容之一，是学生从全等变换到保距变换再到保角变换认知深化过程中的关键环节。在此之前，学生已经系统学习了“图形的相似”、“相似三角形”的判定与性质，对相似比、对应角相等、对应边成比例等概念已有了深刻理解，并掌握了轴对称、平移、旋转等全等变换。位似变换作为一种特殊的相似变换，不仅是对相似知识体系的拓展与完善，更是连接图形变换思想与相似比例应用的重要桥梁。

从知识结构上看，“位似”概念上承“相似”，下启后续在坐标系中研究位似（位似变换与坐标的关系），其核心思想——通过一个定点（位似中心）和固定的比例（位似比）来控制图形的放大与缩小，广泛应用于地图绘制、工程制图、计算机图形学、艺术设计乃至生物科学等多个领域，具有极高的理论价值与实践意义。教材通过生活实例引入，引导学生观察、归纳位似图形的特征，进而抽象出严谨的数学定义，最后落脚于位似图形的画法，体现了“从具体到抽象，再从抽象到具体”的认知规律。

（二）学情分析

教学对象为九年级下学期学生，其认知发展处于形式运算阶段，具备了一定的抽象思维、逻辑推理和空间想象能力。

1.知识基础：学生已牢固掌握相似多边形的定义与性质，能够熟练识别相似图形并计算相似比；对轴对称、平移、旋转等全等变换的性质与作图有清晰的认识。这为理解另一种图形变换——位似变换——提供了良好的认知锚点。

2.能力倾向：经过近三年的初中数学学习，学生已初步具备观察、猜想、验证、归纳的探究能力，能够在教师引导下进行合作学习与交流。但将动态的变换过程用静态的几何语言（定义、性质）进行精确描述，以及逆向根据要求构造图形，仍是部分学生面临的挑战。

3.潜在困难：

1.4.概念理解：“对应点的连线相交于一点”这一核心特征，学生容易与“中心对称”（特殊的位似，位似比为-1）混淆，对位似中心可以在图形内部、外部或边上等不同位置的认识可能不足。

2.5.性质辨析：对“对应边平行或在同一直线上”这一性质的理解，特别是“在同一直线上”的情形（当位似中心在对应点连线上时），容易产生困惑。

3.6.作图实践：如何确定位似中心和位似比，并严格按照步骤准确画出放大或缩小后的图形，尤其是在比例系数为分数或负数时，对学生的尺规作图技能和耐心是一种考验。

4.7.符号理解：对位似比k（k≠0）的取值范围（k>0与k<0）所代表的图形位置关系（同侧与异侧）的几何意义理解是难点。

（三）教学目标

基于以上分析，依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“图形的变化”中“位似”的要求，并聚焦于数学核心素养的培育，制定如下三维目标：

1.知识与技能：

1.2.理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能准确叙述位似图形的定义。

2.3.掌握位似图形的核心性质：对应点连线所在直线交于一点（位似中心）；对应边平行或在同一直线上；任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（绝对值）。

3.4.能够熟练判断两个图形是否为位似图形，并能找出位似中心和位似比。

4.5.能够利用位似原理，借助尺规或网格，按要求（给定位似中心和位似比）将一个图形放大或缩小。

6.过程与方法：

1.7.经历从生活实例中抽象出位似图形共同特征的过程，发展几何直观和抽象能力。

2.8.通过观察、操作、测量、猜想、验证等活动，探究位似图形的性质，体会从特殊到一般、分类讨论的数学思想方法。

3.9.在探索位似图形画法的过程中，提升尺规作图能力、空间想象能力和解决实际问题的能力，感悟数形结合思想。

4.10.通过小组合作探究与交流，培养数学语言表达和逻辑推理能力。

11.情感态度与价值观：

1.12.感受位似变换在现实世界中的广泛应用（如显微镜成像、电影放映、地图绘制等），体会数学来源于生活又服务于生活的价值。

2.13.在探索与创造位似图形的过程中，体验数学的严谨性与艺术美感，激发学习几何的兴趣和求知欲。

3.14.培养勇于探索、合作交流、细致严谨的科学态度。

（四）教学重难点

1.教学重点：位似图形的概念及其核心性质。

2.教学难点：

1.3.对位似概念中“对应点连线交于一点”这一本质特征的深度理解，特别是对位似中心不同位置（图形内、上、外）及位似比正负（k>0与k<0）含义的理解。

2.4.根据给定的位似中心和位似比，规范、准确地画出已知图形的位似图形。

（五）教学策略与方法

为实现教学目标，突破重难点，本节课将采用“情境-问题”驱动的探究式教学模式，融合以下策略：

1.信息技术深度融合策略：利用几何画板（GeoGebra）动态演示位似图形的生成过程，直观展示位似中心位置变化、位似比变化对图形的影响，使抽象概念可视化，静态性质动态化，有效化解难点。

2.问题链引导探究策略：设计环环相扣、层层递进的问题串，引导学生从观察现象、归纳特征，到抽象定义、探究性质，再到应用画图，实现思维的螺旋上升。

3.合作学习与动手实践策略：通过小组合作完成探究任务，在测量、比较、讨论中建构知识；通过个人与集体的尺规作图实践，将理论转化为技能，在做中学。

4.变式教学与对比辨析策略：通过设计正例与反例、不同位似比（正、负、绝对值大于1、小于1）、不同位似中心位置的多样变式，在对比中深化对概念本质的理解。

主要教学方法：情境导入法、直观演示法、探究发现法、讲练结合法、讨论交流法。

（六）教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（内含丰富的位似生活图片、几何画板动态课件）。

2.3.几何画板软件及已制作好的交互式课例（如可拖动的位似中心、可调节的位似比滑块）。

3.4.三角板、圆规、直尺等教具。

4.5.设计并印制《课堂探究学习单》。

6.学生准备：

1.7.复习相似多边形的相关知识。

2.8.准备好直尺、圆规、量角器、方格纸、铅笔、橡皮等作图工具。

3.9.预习教材相关章节，对“位似”有初步感性认识。

二、教学过程

第一环节：创设情境，激趣引新（预计用时：8分钟）

教师活动：

1.播放视频/展示图片组：

1.2.情境一：用显微镜观察植物细胞切片，视野中细胞的放大图像。

2.3.情境二：电影放映机将胶片上的画面投射到巨幕上。

3.4.情境三：一张古镇地图与其实际航拍照片的局部对比。

4.5.情境四：一幅沙画艺术中，艺术家用手掌作为“中心”抹出的一系列相似图案。

6.提出问题链：

1.7.“同学们，刚才看到的这几组画面中的两个图形，它们之间有什么共同的关系？”（预设：形状相同，大小不同——相似）

2.8.“与我们之前学过的相似图形相比，这些图形之间的相似，有没有什么更特别的地方？仔细观察对应点之间的连线。”（引导学生关注图形之间的“方位”关系）

3.9.“如果我在显微镜视野图和细胞切片图之间、电影胶片图和屏幕图之间分别连接几组对应点，猜猜这些连线会有什么特点？”

10.几何画板动态验证：

1.11.在课件中展示显微镜成像光路简化图，动态连接物点（A）与像点（A‘），显示连线经过透镜中心（O）。拖动物点，像点随之运动，连线始终过O点。

2.12.总结性提问：“这种所有对应点连线都经过同一个固定点的相似，是一种特殊的相似。今天，我们就来深入研究这种图形变换——位似。”

学生活动：

1.观看情境素材，积极思考教师提出的问题。

2.根据生活经验和已有知识，尝试描述图形间的特殊关系。

3.观察几何画板演示，验证自己的猜想，形成对“对应点连线共点”的直观印象。

设计意图：

1.选取跨学科（生物、物理、地理、艺术）的典型实例，体现数学的广泛应用，激发学习兴趣和探究欲望。

2.问题链从“相似”这一旧知切入，自然导向新知的“生长点”，温故而知新。

3.信息技术演示将不可见的光路、抽象的变换过程可视化，为抽象概念的建立提供强有力的感性支撑，初步揭示位似变换的本质特征。

第二环节：合作探究，建构概念（预计用时：15分钟）

教师活动：

1.布置探究任务一（学习单任务1）：

1.2.在几何画板中预先准备好两组图形：

组1：明显是位似的两个三角形（位似中心在图形外）。

组2：仅仅是相似但不是位似的两个三角形（对应点连线不共点）。

2.3.要求各小组：①用工具测量对应角、对应边之比，判断是否相似。②分别连接几组对应顶点（如A与A‘,B与B’,C与C‘），观察这些连线的交点情况。③记录你们的发现。

4.巡视指导：参与小组讨论，引导学生在操作中关注“所有”对应点连线的情况，而不仅仅是个别。

5.组织汇报交流：

1.6.请小组代表分享对组1和组2的观察结论。

2.7.引导学生用精准的数学语言描述组1图形的特征：两个图形相似，且每组对应点所在的直线都相交于同一点O。

8.抽象形成定义：

1.9.基于学生的发现，板书并讲解位似图形的定义：

如果两个相似多边形，且它们对应顶点的连线相交于一点，对应边平行或在同一直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。

2.10.强调定义中的关键词：“相似”、“对应顶点连线相交于一点”、“对应边平行或共线”。说明“对应边平行或共线”是“对应点连线共点”的必然结果，也是判断的实用依据。

11.深化概念理解（问题驱动）：

1.12.问题1：“定义中说‘对应顶点的连线’，为什么要强调‘顶点’？连接其他对应点可以吗？”（引导学生思考：多边形由顶点确定，顶点是关键点。实际上，任意一对对应点连线都过位似中心。）

2.13.问题2：“位似中心一定在图形外面吗？”利用几何画板，动态拖动位似中心，使其位于图形内部、边上、外部。让学生观察并得出结论：位似中心的位置是任意的，可以在图形内、上、外。

3.14.问题3：“位似中心和相似比有什么关系？”引导学生测量OA‘与OA的长度比，OB’与OB的长度比等，发现它们都相等。给出位似比的定义：位似图形上任意一对对应点P与P‘到位似中心O的距离之比（|OP’|:|OP|）称为位似比，通常记为k。

4.15.问题4：“位似比k可以是负数吗？”再次利用几何画板，展示当位似中心位于两个图形“之间”时（即一个图形上的点与另一个图形上的对应点位于位似中心的两侧），测量出的OP‘与OP的比值显示为负（因为有向线段方向相反）。揭示k>0时，两个图形在位似中心同侧；k<0时，两个图形在位似中心异侧。这是本节课的深度认知点。

学生活动：

1.以小组为单位，利用学习单和课件工具进行测量、观察、记录。

2.积极参与小组讨论，尝试归纳共同特征。

3.代表小组发言，阐述探究发现。

4.跟随教师的引导和演示，深入思考问题，理解位似中心位置的多样性和位似比正负的几何意义。

5.在教材或笔记上记录位似图形的定义、位似中心、位似比等核心概念。

设计意图：

1.通过对比探究（位似vs非位似相似），让学生亲身经历概念的发现过程，突出位似图形的本质属性，避免与一般相似混淆。

2.将定义分解为几个核心要素，并通过递进式的问题串，引导学生逐层深入理解概念的细节和内涵，特别是位似比的正负问题，这是达到“顶尖水平”教学设计必须触及的深度。

3.几何画板的动态演示贯穿始终，将抽象定义与直观图形紧密联系，使概念的建构既生动又严谨。

第三环节：剖析性质，总结规律（预计用时：10分钟）

教师活动：

1.引导学生自主归纳：“根据刚才的探究和定义，你能总结出位似图形有哪些性质吗？可以从图形关系、边的关系、角的关系、距离关系等方面思考。”

2.板书完善性质：

1.3.性质1（位置关系）：位似图形的对应点连线所在直线交于一点（位似中心）。

2.4.性质2（边的关系）：位似图形的对应边平行或在同一条直线上。

3.5.性质3（图形关系）：位似图形是相似的图形。因此，对应角相等，对应边成比例。

4.6.性质4（度量关系）：位似图形上任意一对对应点P,P‘到位似中心O的距离之比等于位似比|k|（即|OP’|/|OP|=|k|）。当k>0时，P与P‘在O同侧；当k<0时，P与P’在O异侧。

7.性质应用小练习（口答）：

1.8.判断：①位似图形一定是相似图形。（√）②相似图形一定是位似图形。（×）

2.9.如图，△ABC与△A‘B’C‘是位似图形，点O是位似中心。若OA’:OA=2:1，则△A‘B’C‘与△ABC的相似比是______，位似比是______。(答案：2:1，2或-2需根据图形位置判断)

3.10.指出图中的位似中心，并说明位似比是正还是负。

学生活动：

1.根据探究经验，尝试独立总结位似图形的性质。

2.与教师共同完善性质列表，理解每条性质的由来和表述。

3.快速完成口答练习，巩固对性质的理解，特别是区分相似比与位似比。

设计意图：

1.将探究活动中获得的零散认识系统化、条理化，形成完整的知识结构。性质的归纳由学生发起，教师补充，体现学生的主体地位。

2.通过即时小练习，诊断学生对性质的理解程度，特别是容易混淆的点（相似与位似的关系、位似比与相似比的关系、k的符号），为后续画图扫清理论障碍。

第四环节：范例导学，掌握画法（预计用时：20分钟）

教师活动：

1.出示例1（位似中心在图形外，k>0）：

如图，已知四边形ABCD和位似中心O。以O为位似中心，将四边形ABCD放大为原来的2倍（即位似比k=2）。

2.分析画法原理：

1.3.提问：“放大为原来的2倍，这里的‘2’指的是位似比|k|=2。对于图形上的每个关键点（顶点），如何找到它的对应点？”

2.4.引导学生回顾性质4：对应点到位似中心的距离之比等于|k|。因此，要找到A的对应点A‘，必须满足OA’=2OA，且A‘在射线OA上（因为k>0，同侧）。

5.示范作图步骤（尺规作图）：

1.6.步骤一：连线。连接OA，OB，OC，OD。

2.7.步骤二：截取。在射线OA上截取OA‘=2OA。如何精确做到“2倍”？可以引导学生利用“平行线等分线段”的思想（作辅助平行线），或更直接的，先测量OA长度，再在射线上量取两倍长度。对于尺规作图，可以讲解利用“相似三角形”原理的精确作图法（如过A点作任意直线，在其上截取两等份，连接末端与O点，过等分点作平行线交OA于A‘）。

3.8.步骤三：同法求点。用同样的方法，在射线OB、OC、OD上分别截取OB’=2OB,OC‘=2OC,OD’=2OD。

4.9.步骤四：连线成形。顺次连接点A‘,B’,C‘,D’，得到放大后的四边形A‘B’C‘D’。

5.10.步骤五：验证。连接对应点A与A‘,B与B’等，检查是否交于O点；测量对应边，验证是否平行且AB:A‘B’=1:2。

11.变式探究（几何画板辅助）：

1.12.变式1：若位似比k=-2呢？（强调：距离比仍是2，但对应点应取在反向延长线上，即A’在OA的反向延长线上，且OA‘=2OA）。

2.13.变式2：若位似中心O在四边形内部呢？画法步骤有何异同？（连线、截取步骤完全相同，只是连线都经过图形内部）。

3.14.变式3：如果只给图形，不给位似中心，但告知两个图形是位似图形，如何确定位似中心？（反向操作：延长对应点连线，找交点）。

15.归纳画法要诀：

1.16.板书口诀：“一连线，二定比，三截取，四连线，五验证”。

2.17.强调：确定位似中心和位似比（包括正负）是作图的前提；截取线段时方向（同侧或异侧）是关键。

18.出示例2（网格作图，降难度，重应用）：

在如图的方格纸中（每个小正方形边长为1），△ABC的顶点都在格点上。以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A‘B’C‘，使它与△ABC的位似比为1:2（即缩小为一半）。

1.19.引导学生利用网格特点，通过数格子确定对应点的位置，简化计算和作图过程。

学生活动：

1.观看教师示范，理解每一步作图的原理和依据。

2.跟随教师一起，在练习本上同步完成例1的作图。

3.思考变式问题，通过几何画板演示加深对k值正负和位似中心位置影响的理解。

4.学习并记忆作图步骤口诀。

5.独立或小组合作完成例2的网格作图，体会不同情境下的画法应用。

设计意图：

1.这是突破教学难点的关键环节。通过教师规范、清晰的示范，展示尺规作图的严谨性，渗透数学的精确美。

2.变式教学将各种情况（k正负、中心位置不同）集中对比，使学生全面掌握画法的本质，避免机械模仿。

3.网格作图作为尺规作图的铺垫和补充，降低了纯几何作图的初始难度，增加了成功体验，同时培养了学生利用工具灵活解决问题的能力。

4.总结的口诀将操作步骤程序化，便于学生记忆和应用。

第五环节：分层演练，巩固提升（预计用时：15分钟）

教师活动：

1.基础巩固题（全体必做）：

1.2.题1（识别判断）：教材课后练习第1题，判断各组图形是否为位似图形，并说明理由。

2.3.题2（概念应用）：已知△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，且△ABC与△DEF的相似比为3:5。若OA=6cm，则OD=______cm。（注意区分求的是对应点距离，需判断O与哪两个点对应）

3.4.题3（简单画图）：如图，已知点O和线段AB，以O为位似中心，位似比为1/3，画出线段AB的位似图形A‘B’（两种情况：k>0和k<0）。

5.能力提升题（大部分学生选做）：

1.6.题4（综合画图）：已知五边形ABCDE和形外一点O。请以O为位似中心，画出这个五边形，使得新图形与原图形的位似比为-1.5。

2.7.题5（逆向思维）：如图，四边形A‘B’C‘D’是四边形ABCD的位似图形。请找出位似中心，并写出位似比。

8.拓展探究题（学有余力者挑战）：

1.9.题6（开放设计）：请你利用位似的知识，在方格纸上设计一个具有位似关系的图案（如一棵大小不同的树、一串渐变的灯笼等），并标出你的位似中心和位似比。

2.10.题7（联系实际）：一张照片长10cm，宽8cm。现欲将其放大挂在墙上，要求放大后的照片长15cm。请问：①放大过程中的位似中心可能在何处？（结合实际解释）②放大后的照片宽是多少？③这个过程是放大了多少倍？（位似比是多少？）

11.巡视辅导：在不同层次学生间巡视，对基础题完成有困难的学生进行个别指导；关注提升题和探究题的完成情况，收集有创意的解法或设计。

学生活动：

1.独立完成基础巩固题，确保对概念、性质、基本画法掌握牢固。

2.尝试完成能力提升题，锻炼综合应用和逆向思维能力。

3.学有余力的学生挑战拓展探究题，进行创造性设计和实际问题建模。

4.小组内可以交流提升题和探究题的思路与结果。

设计意图：

1.设计分层练习，满足不同层次学生的学习需求，让所有学生都能在原有基础上获得发展，体现因材施教。

2.基础题紧扣当堂核心知识与技能，起到及时反馈和巩固的作用。

3.提升题和探究题旨在发展学生的高阶思维（分析、综合、评价、创造），将数学知识与艺术设计、生活实际相结合，培养学生的应用意识和创新精神。

第六环节：课堂小结，反思升华（预计用时：5分钟）

教师活动：

1.引导学生自主总结：

1.2.“通过本节课的学习，你收获了哪些数学知识？”

2.3.“我们是如何研究位似图形这个新概念的？（从生活实例→观察特征→抽象定义→探究性质→掌握画法）”

3.4.“在研究过程中，用到了哪些数学思想方法？（数形结合、从特殊到一般、分类讨论、转化等）”

4.5.“你认为理解位似概念和画图的关键是什么？”

6.教师提炼升华：

1.7.用结构图的形式板书本节课的知识框架（概念→性质→画法）。

2.8.强调位似变换作为图形变换家族的一员，与之前学习的轴对称、平移、旋转（全等变换）以及一般的相似变换之间的联系与区别。

3.9.指出位似在科学、技术、工程、艺术等领域的桥梁作用，鼓励学生用数学的眼光观察世界。

学生活动：

1.回顾整堂课的内容，从知识、方法、思想等多个维度进行梳理和总结。

2.积极发言，分享自己的学习心得和仍存在的疑问。

3.在笔记本上完善知识结构图。

设计意图：

1.改变教师单方面总结的模式，引导学生自主回顾、梳理、整合，将新知识纳入已有的认知结构，促进知识的内化和元认知能力的提升。

2.教师的结构化总结和思想方法提炼，帮助学生从更高的视角看待本节课的内容，理解其在数学乃至更广阔领域中的价值。

第七环节：布置作业，延伸学习（预计用时：2分钟）

1.必做题：

1.2.完成教材本节后相应的练习题。

2.3.整理课堂笔记，用思维导图归纳本节知识点。

3.4.自主选择生活中一个位似变换的例子，拍照或画图说明，并尝试找出（或假设）其位似中心和位似比。

5.选做题：

1.6.探究：在平面直角坐标系中，如果两个图形关于原点O位似，且位似比为k，那么它们的对应点坐标之间有什么关系？（为下节课“位似变换与坐标”做铺垫）

2.7.小论文（二选一）：①《从显微镜到电影院：位似变换的应用扫描》。②《位似变换与相似、全等变换的“家族谱系”》。

8.预习任务：

1.9.预习下一课时“用坐标表示位似变换”，思考坐标系如何描述位似变换。

设计意图：

1.必做题巩固双基，联系生活，强化应用意识。

2.选做题具有开