四川省泸州市三校联盟2025-2026学年高二数学上学期第一次联合考试

泸州市三校联盟2025年高二上学期第一次联合考试

数学试题

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷第1至2页，第II卷第3至4页，

满分150分，考试时间共120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑。

3．填空题和解答题的作答：请用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，

确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题，共58分）

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是符合题目要求的。

5

1．复数z在复平面内对应的点位于（）

i32

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（）

A．平均数B．极差C．方差D．中位数

3．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为1，1，若甲、乙两人一起破译这份

35

密码，则密码不能被成功破译的概率为（）

A．1B．1C．8D．2

153153

4．若圆锥的底面圆半径为1，其侧面展开图的面积为π，则这个圆锥的体积为（）

22

3333

A．πB．πC．πD．π

312624

5．下列说法正确的是（）

A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5

B．按比例进行分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大

C．若，，…，的方差为4，则，，，…，的方差是16

x1x2x102x132x232x332x103

D．若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位

数

6．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；

戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调

查，得到如图所示的统计图表．则下列说法错误的是（）

A．丁险种参保人数超过五成B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成

高二·数学第1页共10页

C．18－29周岁人群参保的总费用最少D．人均参保费用不超过5000元

1

7．如图，在斜四棱柱ABCDABCD中，AAABBCCDAD1，

111112

π

BC//AD，AABAADBAD，则AC（）

1131

A．2B．3C．22D．23

8．定义两个向量u与v的向量积uv是一个向量，它的模uvuvsinu,v，它的方向与u和v同时垂

直，且以u，v，n的顺序符合右手法则（如图），

在棱长为2的正四面体ABCD中，则ABADAC

（）

A．42B．4

C．43D．23

二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符

合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．下列命题中正确的是（）

A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有ABBCCDDA0

B．若向量AB，CD，满足ABCD，则AB//CD

C．空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底

D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OPxOAyOBzOC（其中x，y，zR，

且xyz1），则P，A，B，C四点共面

10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示

事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两

次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）

A．乙发生的概率为1B．丙发生的概率为1

22

C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件

11．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内

一动点，则下列结论正确的为（）

A．存在点P，使得EP//平面FBC

B．当P为AB中点时，过E，F，P三点的平面截正方体所得截面图形

的面积为33

2

C．三棱锥CABP的体积为

1113

44π

D．当P在棱AB上时，若APB为120，三棱锥ACBP外接球表面积为

113

第II卷（非选择题，共92分）

注意事项：

高二·数学第2页共10页

（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，

再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。

（2）本部分共8个小题，共92分。

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。

12．已知向量a1,0，向量b1,2，则b在a方向上的投影向量的坐标为_______________．

13．某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的

兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，

则甲只加入其中一个社团的概率为_______________．

14．已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，M是BC的中点，若线段CC1上有一点N，使得

，则侧棱长的取值范围是_______________．

MNAB1AA1

四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosAbcosCccosB3a．

（1）求角A的大小；

（2）若a1，△ABC的周长为51，求△ABC的面积．

16．（本小题满分15分）

如图，在三棱柱中，，，

ABCA1B1C1BCBB1BC1B1COAO

平面BB1C1C．

（1）求证：ABB1C；

（2）若，直线与平面所成的角为，求平

B1BC60ABBB1C1C45

面与平面所成锐二面角的余弦值．

ABC1ABC

17．（本小题满分15分）

2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生

动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票

房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外

票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房

榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100

名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数；

（2）若样本中年龄在［0，10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50，60）的观众年

高二·数学第3页共10页

龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数x和方差s2；

（3）为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40，50），

［50，60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40，50）的概率．

18．（本小题满分17分）

某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，

B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答

错得0分．已知学生甲答对A题的概率为p，答对B题的概率为q，其中0p1，0q1，学生乙

答对A题的概率为3，答对B题的概率为2，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响．

43

（1）若甲比赛后得5分的概率为1，得3分的概率为1．

36

①求p，q的值；

②在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率．

（2）记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率，若，试比较

p1p2pq1p1

与的大小．

p2

19．（本小题满分17分）

如图所示，在直角梯形BCEF中，BF//CE，BCE90，A，D分别是BF，CE上的点，且AD//BC，

ED2AF4，CDt（0t5），BCCD5，将四边形ADEF沿AD向上翻折，连接BE，BF，CE，

在翻折的过程中，设EDC（0π），记几何体EFABCD的体积为V．

（1）求证：BF//平面CDE；

（2）若平面FBE平面CBE．

①求证：BFCE；

②当取得最大值时，求V的值．

数学试题参考答案

高二·数学第4页共10页

一、选择题：本大题共11个小题，第1～8题每小题5分，第9～11题每小题6分，共58分。

题号1234567891011

答案BDCDCBAAADACDABD

二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。

12．（1，0）13．0.58（或29）14．［1，+∞）

50

三、解答题：本大题共5个小题，共77分。

15．（本小题满分13分）

解：（1）由正弦定理可得：2cosAsinBcosCsinCcosB3sinA，

即：2cosAsinBC2cosAsinA3sinA，

3π

因为sinA0，所以cosA，由A0,π得：A．

26

（2）因为a1，△ABC的周长为51，所以bc5，

b2c2a2bc22bca252bc12bc3

由余弦定理可得：cosA，

2bc2bc2bcbc2

4111

所以bc843，即△ABC的面积：SbcsinA84323．

23222

16．（本小题满分15分）

解：（1）因为BB1//CC1，BB1CC1，且BCBB1，所以四边形BB1C1C为菱形，则B1CBC1,

又因为AO平面BB1C1C，B1C平面BB1C1C，

所以AOB1C，又AOBC1O，AO、BC1平面ABC1，所以B1C平面ABC1，

又AB平面ABC1，所以ABB1C．

（2）（方法一）因为AO平面BB1C1C，

所以直线AB与平面BB1C1C所成的角为ABO，即ABO45，

因为AO平面BB1C1C，OB平面BB1C1C，则AOOB，则OAOB，

△

令BB12，由四边形BB1C1C为菱形，B1BC60，则BB1C是边长为2的等边三角形，

3

所以，OCOBBCsin6023，OB1OC1，OAOB3，

12

因为AO平面BB1C1C，OBAC，

以点O为坐标原点，OB、OB1、OA所在直线分别为x、y、z轴，建立如下图所示的空间直角坐

高二·数学第5页共10页

标系，

A0,0,3

则B3,0,0、C13,0,0、B10,1,0、、C0,1,0，

则AB3,0,3，BC3,1,0，

设平面ABC的法向量nx,y,z，

nAB3x3z0

则，取x1，则y3，z1，故n1,3,1，

nBC3xy0

易知平面ABC1的一个法向量为m0,1,0，

mn315

cosm,n，

mn515

15

故平面ABC1与平面ABC的夹角余弦值为．

5

（方法二）因为AO平面BB1C1C，

所以直线AB与平面BB1C1C所成的角为ABO，即ABO45，

因为AO平面BB1C1C，OB平面BB1C1C，则AOOB，则OAOB，

△

令BB12，由四边形BB1C1C为菱形，B1BC60，则BB1C是边长为2的等边三角形，

3

所以，OCOBBCsin6023，OB1OC1，OAOB3，

12

所以，ABOA2OB26，

取AB中点D，连接OD、CD，

16

等腰直角△AOB中，ODAB且ODAB，

22

由勾股定理得ACOA2OC22，

2

因为，则，且222610，

BC2ACCDABCDBCBD2

22

因为ODAB，CDAB，平面ABC1平面ABCAB，

所以平面ABC1与平面ABC的夹角即ODC，

610

在ODC中，OC1，OD，CD，则OC2OD2CD2，即OCOD，

22

OD621515

cosODC，故平面ABC1与平面ABC的夹角余弦值为．

CD21055

17．（本小题满分15分）

解：（1）由题意可得100.010a0.0220.0250.0200.0051，解得a0.018，

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由频率分布直方图可知0,40的频率为0.75，而40,50的频率为0.2，

所以第85百分位数在区间40,50内，设第85百分位数为m，

则0.750.02m400.85，解得m45，

所以第85百分位数为45．

（2）由频率分布直方图可知0,10的频率为0.1，50,60的频率为0.05，

0.10.05

所以x65723，

0.10.050.10.05

0.10.05

s226232557232581．

0.10.050.10.05

（3）由频率分布直方图可知年龄为40,50，50,60的两组观众频率之比为：4:1，

所以按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，

则年龄在40,50中的观众应抽取4人，年龄在50,60中的观众应抽取1人；

记40,50的四名学生编号为1、2、3、4，记50,60的一名学生编号为5，

则选出两名学生的可能结果为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种；

设事件A“抽到的两名学生的年龄都来自40,50”，

则事件A包含的样本点有12，13，14，23，24，34，共6种，

63

所以两名学生的年龄均在40,50的概率PA．

105

18．（本小题满分17分）

1

pq

3

解：（1）由题意得，

1

1pq

6

21

解得p，q．

32

（2）比赛结束后，甲、乙个人得分可能为0，2，3，5，

记甲得分为i分的事件为Cii0,2,3,5，乙得分为i分的事件为Dii0,2,3,5，

Ci，Di相互独立，

记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，

则EC3D5C5D3C5D5，且C3D5，C5D3，C5D5彼此互斥，

1321

易得PC3，PD31，

6436

1321

PC，PD，

535432

所以PEPC3D5C5D3C5D5PC3D5PC5D3PC5D5

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11111111

，

62363236

11

所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为．

36

（3）记甲得分为i分的事件为Cii0,2,3,5，乙得分为i分的事件为Dii0,2,3,5，

C5D0、C3D2、C2D3、两两互斥，

则P1PC5D0C3D2C2D3C0D5

31323232

pq111pq1p1q11p1q

43434343

1pq1

pq，

6342

321

PPCDpqpq，

255432

11pq11111

P2P1pqpqpqpq

263423342

4pq4p3q64pqp3pq6

，

1212

因为pq1，0p1，0q1，

2

pq1

所以pq，当且仅当pq时取等号，

24

1

4p3

4pqp3pq64pqp3p2

所以PP40，

2112121212

即P1P2．

19．（本小题满分17分）

解：（1）证明：根据题意可知AF//DE，AB//CD，

因为AF平面DCE，DE平面DCE，所以AF//平面DCE，

同理，因为AB平面DCE，DC平面DCE，所以AB//平面DCE，

又因为AF,AB是平面ABF内的两条相交直线，所以平面ABF//平面DCE，

因为BF平面ABF，所以BF//平面CDE．

（2）①证明：过点C作CHEB交EB于点H，

因为平面FBE平面CBE，平面FBE平面CBEEB，所以CH平面FBE．

又因为BF平面FBE，则BFCH；

根据题意，平面图形翻折后ADAB，ADAF，

且AF,AB是平面FAB内两条相交直线，

所以AD平面FAB，又BC//AD，得BC平面FAB．

又BF平面FAB，则BFBC，

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因为CH,BC是平面BCE内两条相交直线，所以BF平面BCE，

因为CE平面BCE，所以BFCE．

②方法一：

直角梯形BCEF中，BF//CE，BCE90，且AD//BC，

由①可知AD平面FAB，

由（1）可知由题意平面ABF//平面DCE，

所以E到底面AFB的距离为AD，

在CDE中，设点E到DC的高EK，即EKCD，

因为BC平面CDE，所以BCEK，

因为CDBCC，所以EK平面ABCD，

设点E到底面ABCD的高为EK，

11

在CDE中，根据三角形的面积公式4tsintEK，∴EK4sin；

22

几何体EFABCD的体积为

1115

VVVt5t4sin2tsin5tt5tsin；

EABCDEAFB3323

取DE的中点S，连接SC，

因为SF//BC,SFBC，所以四边形SFBC是平行四边形，所以SC//BF,SCBF，

因为BF平面BCE，所以SC平面BCE，又因为CE平面BCE，所以SCCE，

在△SDE中，SC24t24tcos，

在△ECD中，EC216t28tcos，

t4

在△SCE中，SC2EC2SE2，∴202t212tcos4，化简得到cos，

63t

t422

因为0,π,0t5，所以cos2，当且仅当t22时等号成立，

63t3

1

故当取得最大值时，即cos取得最小值22，sin，

33

55150240

所以几何体体积Vt5tsin22522．

3339

方法二：

直角梯形BCEF中，BF//CE,BCE90，且AD//BC在平面FBE上，

由①可知AD平面FAB，

由（1）可知由题意平面ABF//平面DCE，

所以点E到底面AFB的距离为AD，