2026年山东历城二中高考数学模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年历城二中高三第二次适应性检测数学试题2026.4注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．已知为等比数列，，，则（

）A．8 B．12 C．16 D．173．已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A． B．2 C． D．35．若复数满足，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．6．随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（

）A．0.6 B．0.8 C．1.25 D．1.67．若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为（

）A． B． C． D．28．已知函数，若，且，则（

）A． B． C． D．9．若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（

）A．实轴长相等 B．焦距相等C．离心率相同 D．渐近线相同10．设，为常数，则（

）A． B．C． D．11．半径为1的圆沿圆外侧无滑动滚动一周，设圆上的点的运动轨迹为曲线.已知点的初始位置为，则（

）A．点在曲线上B．曲线围成的区域面积等于16C．曲线与直线有三个交点D．曲线上点的横坐标的最大值为12．已知函数在处取得极小值，则__________．13．已知数列的首项，，则______．14．记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______15．已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面(1)求该棱柱的体积；(2)求平面与平面夹角的余弦值．16．设函数．(1)求的单调区间；(2)若存在极值点，且存在，使得，证明：．附17．记的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若，，，边上的中线，相交于点．（i）求；（ii）求．18．设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，．(1)求曲线的方程；(2)设直线的方程为，求直线的斜率；(3)若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值．19．有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂次，每次分裂生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立.假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞.记个细胞分裂次后共有个细胞的概率为.(1)求、；(2)求；(3)已知：若和均为离散型随机变量，则.证明：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】化简集合，再根据交集的定义求结论.【详解】不等式，可化为，故，不等式，可化为，所以，所以.2．A【详解】由等比中项的性质知，若该数列的公比为，则，显然，所以.3．B【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定结合充分条件、必要条件的概念即可判断.【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的必要条件，设，，显然，从而有成立，但此时不平行，所以故“”是“”的不充分条件，即“”是“”的必要不充分条件.故选：B4．D【分析】根据奇函数的性质，求出函数值即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，则，当时，，则，所以.故选：D.5．C【分析】设复数，根据可得，再结合模长公式，利用二次函数性质可解.【详解】设复数，，，整理得，即，所以，当时取等，即的最小值为，故选：C.6．B【分析】由题可得，，代值化简即可求解./【详解】已知工时递减速率，且,所以，由于生产前件产品的平均工时：，生产前件产品的平均工时：，所以，将​，代入：，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.87．B【分析】根据给定条件，利用余弦定理建立方程并求得双曲线，进而求出离心率.【详解】在中，，，由余弦定理得，则，整理得，由点在双曲线上，得双曲线的方程为，所以双曲线的离心率.8．C【分析】根据题意可得，由余弦函数的对称性，，化简得到，代入即可求解.【详解】由于，所以,因为​，所以，因为，且，则​由余弦函数的对称性，，且，所以，则，则，因为，且，所以9．BD【详解】，，不妨设，的实轴长分别为，不相等，故A错误；的焦距分别为，相等，故B正确；的离心率分别为，不相同，故C错误；的渐近线分别为，相同，故D正确．10．ABD【分析】由，利用两个二项式乘积及其展开式通项求对应项系数判断A、B，应用赋值法求奇偶数项的和判断C、D.【详解】由，对于，展开式通项为，，对于，展开式通项为，，所以，A对，，B对，令，则，令，则，所以，则，C错，，D对.11．ACD【分析】选项A根据题意可知点到原点的距离，从而确定点在曲线上；选项B曲线围成的区域面积大于半径为的圆面积；选项C由曲线方程与直线方程可判断；选项D由参数方程得出点的横坐标，求最大值.【详解】圆沿圆外侧无滑动滚动，所以圆心的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆，点到原点的距离满足，点到原点的距离为，当圆滚动到圆正上方时，点恰好位于，故选项A正确；曲线围成的区域面积介于半径为的圆面积和半径为的圆面积之间，即，不可能等于，选项B错误；由参数方程设圆的圆心为，外摆线参数方程标准形式，代入可得曲线的参数方程为（为参数），解方程，，整理得，作出与在的图象，有2个交点，令，所以曲线与直线有三个交点，C正确；，令，，，，，在上递增，，或，在，上递减，所以在处取得极大值，即最大值.点坐标为，当时，横坐标为最大值，选项D正确.12．【分析】由题意可得，求出的值，再检验是否为极小值点即可.【详解】由，又函数在处取得极小值，则，解得，或，当时，，令，则，或，当时，，当时，，则处取得极小值，故时符合题意；当时，，令，则，或，当时，，当时，，则处取得极大值，故时不符合题意.故答案为：.13．##【分析】根据累加法结合余弦函数的周期性可求.【详解】由题设有，由累加法可得，，即，，故，，，，而的周期为，故是周期为的数列，且，故.故答案为：.14．##【分析】先应用正弦定理及两角和正弦公式计算得出，再换元应用判别式法结合一元二次不等式计算求解最小值即可.【详解】因为，而，由正弦定理得，所以.又因为，设，，所以.又，所以，所以，即，设，所以，即有解，所以，解得.若，则与中至少有一个为负数，这与三角形中最多只有一个钝角矛盾，故.即有，所以，故的最小值为.15．(1)(2)【分析】（1）设的中点为，利用面面垂直的性质可得平面，得到，利用勾股定理得到，进而得到，平面，接着用体积公式求解即可；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可．【详解】（1）解：设的中点为，连接，为等边三角形，边长为，，，，平面平面，平面平面，平面，又平面，，，，则，又平面平面，平面平面，平面，；（2）解：由（1）知平面，，如图，以为原点建立空间直角坐标系，，设平面的一个法向量，，不妨取，则，易知平面的一个法向量，，则平面与平面夹角的余弦值为．16．(1)时，的增区间为，无减区间；时，增区间为，减区间为.(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，就、分类讨论导数的符号后可得函数的单调性；（2）根据极值点可得，再根据结合代数变形可证.【详解】（1）解：，当时，（不恒为零），的增区间为，无减区间；若，则当时，，当时，，故的增区间为，减区间为，综上：时，的增区间为，无减区间；时，的增区间为，减区间为.（2）证明：因为是的极值点，故，故，所以，因为存在，使得，所以，即，因为，所以，因为，所以，因为所以，即，所以，即，因为，所以，即.17．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及辅助角公式得到关于的方程进而得解；（2）（i）通过求向量的模长即可得结果；（ii）通过余弦定理求出，（法一）根据重心的性质求出和，最后通过余弦定理可得结果；（法二）通过求得到结果.【详解】（1）由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴．∵

∴，即．（2）（i）∵，∴．（ii）在中，由余弦定理得，即（法一）由题知是的重心，∴，∴，在中，由余弦定理得．（法二）又，∴．∴．18．(1)(2)(3)【分析】（1）求出的坐标，即可得到的坐标，从而求出抛物线方程；（2）设，，，，联立直线与抛物线方程，求出，的坐标，再由向量的关系求出的坐标，即可得解；（3）推导出，同理，即可得到，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出过定点坐标，再求出的最小值.【详解】（1）抛物线的焦点为，由为线段的中点，可得，所以曲线的方程为；（2）设，，，，联立，消去x整理得，解得，，则，，因为，则，因为，，则，所以，所以，，即，直线的斜率为；（3）因为，，，，所以，，因为，所以因为，，，，所以，①由代入①得，由得，因为，，所以，所以，同理，所以且，所以，因为，所以，所以，得，即，设，联立消去x，得，所以，所以，则，所以过定点，则，当且仅当，即时取等号，所以，所以四边形面积的最小值为19．(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据已知条件，结合一个细胞分别分裂出、、个细胞的概率，根据第二、三次分裂出现个细胞的所有情况，由独立事件概率的乘法公式，求出事件概率；（2）分析出第次分裂后只有、个细胞的情况，根据独立事件概率的乘法公式，求出结果；（3）根据分裂出细胞数和此情况的概率，求出一次分裂后细胞数的期望，根据离散型随机变量的期望的性质，和等比数列求和公式，证明不等式即可.【详解】（1）由题意可得，若第二次分裂出现个细胞，有两种情况：第一种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞分裂成个；第二种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞各分裂成个.所以；若第三次分裂出现个细胞，有两种情况：第一种情况：第二次个细胞分裂成个细胞；第二