福建2024年6月高中学业水平合格考数学试卷真题（含答案详解）

第页2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）一、单选题：本题共19小题，每小题3分，共57分.1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（

）A． B． C． D．3．已知，，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．命题“”的否定为（

）A．B．C．D．5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（

）A．B．C．D．6．（

）A． B．1 C． D．7．学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（

）A．18 B．20 C．22 D．308．在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（

）A.内心B．重心 C．外心D．垂心9．已知，则（

）A．B．C．D．10．已知为的边的中点.若，，则（

）A． B． C． D．11．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．（

）A． B． C． D．13．已知，，，则，，的大小关系为（

）A．B．C．D．14．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（

）A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.4215．设3x＝4y＝36，则的值为（

）A．6B．3C．2 D．116．如果，那么下面不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．17．把函数的图像上的所有的点向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原的一半，最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍，所得图像的表达式（

）A． B．C． D．18．已知向量，，则在上的投影向量是（

）A．B．C．D．19．如上图，某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物15分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为12毫克.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（

）A．15分钟B．分钟C．18分钟D．分钟答题卡区班级姓名座号12345678910111213141516171819二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.20．已知球的表面积为，则它的体积为.21．函数的最大值为22．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是23．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是.三、解答题：本题共3题，共27分.24．（本小题满分8分）如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点．(1)求三棱锥的体积(2)求证：∥平面；25.（本小题满分9分）在中，.(1)求B；(2)若的周长为，求边上中线的长.26．（本小题满分10分）已知函数，.(1)若是奇函数，求的值并判断的单调性（单调性不需证明）；(2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数的取值范围.2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）一、单选题：本题共19小题，每小题3分，共57分.1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，，所以；故选：B.2．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】记三件正品为，一件次品分别为，取出两件有“”共6个样本点，其中恰有一件次品为“”共3个样本点，所以其发生的概率为.由题意得“，”的否定是，，故选：B3．已知，，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由知，角的终边在第三或四象限或轴负半轴上，由知，角的终边在第二或四象限，综上所述，角的终边在第四象限，故选D.4．命题“”的否定为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得“”的否定是，故选：B5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】可用排除法，对于A，自变量分别取与，函数值相等（没有增加），排除；对于B，自变量分别取与，函数值相等（没有增加），排除；对于D，自变量分别取与，函数值相等（没有增加），排除；对于C，可画图像如右，故选C.6．（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】原式，故选：C7．学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（

）A．18 B．20 C．22 D．30【答案】B【解析】记高一、高二、高三的人数分别为，从高一、高二、高三用比例分配的分层随机抽样的方法抽取的人数分别为，则，即得,故选：B.8．在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（

）A.内心B．重心 C．外心D．垂心【答案】C【解析】易得,,全等，所以，所以是的外接圆圆心，即是外心.故选C.9．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由诱导公式，，即，，故选A.10．已知为的边的中点.若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选B.11．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】不等式的解集为或，所以“或”“”，但反之不然，所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.12．（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由二倍角公式.所以，故选C.13．已知，，，则，，的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，即，，，所以,故选A.14．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（

）A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42【答案】D【解析】记事件为“甲地下雨”，事件为“乙地下雨”,则,，因为与相互独立，则与也相互独立，则甲、乙两地都不下雨的概率为.故选D.15．设3x＝4y＝36，则的值为（

）A．6B．3C．2 D．1【答案】D【解析】由，得，，，所以.故选D.16．如果，那么下面不等式一定成立的是（

CD

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】不妨令，，，可排除A与B；对于C，因为函数在上单调递减，且，所以，C正确；对于C，，由基本不等式“”，得D正确.17．把函数的图像上的所有的点向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原的一半，最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍，所得图像的表达式（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数的图像上的所有的点向右平移个单位得，再把所有的点的横坐标缩短到原的一半得，最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍得，故选D.18．已知向量，，则在上的投影向量是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】在上的投影向量是即为.故选B.19．如上图，某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物15分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为12毫克.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（

D

）A．15分钟B．分钟C．18分钟D．分钟【答案】B【解析】当时，设，把代入得，，得，则，令，即，解得且，得；当时，设，把代入得，，得，令，即，解得且，得；综上所述，或，即，所以消毒的有效时间为.故选D.答题卡区班级姓名座号12345678910111213141516171819二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.20．已知球的表面积为，则它的体积为.【答案】【解析】球的表面积为，所以，解得，球的体积为.21．函数的最大值为2.【答案】2【解析】.由于，所以.22．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数的取值范围是.【答案】.【解析】在对称轴左边单调递减，即递减区间为.所以，所以.23．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是7.85.【答案】.【解析】记12个幸福指数从小到大分别为.因为25%=3，则第一四分位数为.三、解答题：本题共3题，共27分.24．（本小题满分8分）如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点．(1)求三棱锥的体积(2)求证：∥平面；【解析】（1）∵平面，所以三棱锥的高为所以；（2）连接交于，连接，则为的中点，且为的中点所以，中位线//，且平面，平面所以，//平面25.（本小题满分9分）在中，.(1)求B；(2)若的周长为，求边上中线的长.【解析】（1）∵，由正弦定理∴，即，且∴,且，即，∴或，解得或，且内角和等于，∴;（2）∵，，∴，由正弦定理，即，设，则，，则周长，解得，则，，边上中线.26．（本小题满分10分）已知函