材料力学（赵振伟）第二章 轴向拉压与压缩

第二章轴向拉伸和压缩MechanicsofMaterials材料力学1§2-1

轴向拉伸和压缩的基本概念一、工程实例：活塞杆、厂房的立柱等。第二章轴向拉伸和压缩234受力简图：二、轴向拉压的概念：（1）受力特点：杆两端各受一外力F,两个力的大小相等，方向相反，作用线与杆轴线重合。（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。FFFFFN1FN1FN2FN2第二章轴向拉伸和压缩5§2-2

内力·截面法·轴力及轴力图一、外力和内力的概念2.内力：由外力作用而引起的、物体内部相邻部分之间相互作用的内力系的合成。1.外力：一个物体对另一个物体的作用力(荷载、支反力)。第二章轴向拉伸和压缩6二、内力的确定——截面法（基本方法）1、截开—欲求哪个截面的内力,就假想的将杆从此截面截开,杆分为两部分。2、代替—取其中一部分为研究对象,移去另一部分,把移去部分对留下部分的相互作用力用内力代替。3、平衡—利用平衡条件，列出平衡方程，求出内力的大小。第二章轴向拉伸和压缩7三、轴向拉压杆的内力1.外力——F2.内力——FN(轴力)（1）轴力的大小：（截面法确定）FF1—1FFN①截开。②代替，用内力“FN”代替。③平衡，∑X=0,FN-F=0,FN=F。第二章轴向拉伸和压缩8FN+FN-（2）轴力的符号规定：原则—根据变形压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。第二章轴向拉伸和压缩9（3）轴力图：轴力沿轴线变化的图形①取坐标系②选比例尺③正值的轴力画在x轴的上侧,负值的轴力画在x轴的下侧。+FNx①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。（4）轴力图的意义第二章轴向拉伸和压缩10(5)注意的问题①在截开面上设正的内力方向。②采用截面法之前，不能将外力简化、平移。FNPFFFFN第二章轴向拉伸和压缩11[例1]图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、

F的力，方向如图，试画出杆的轴力图。ABCDFAFBFCFDO解：求OA段内力FN1：设截面如图第二章轴向拉伸和压缩FN1ABCDFAFBFCFD12同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：FN2=–3F

FN3=5FFN4=F第二章轴向拉伸和压缩ABCDFAFBFCFDOFN2BCDFBFCFDFN3FN4DFDCDFCFD13轴力图FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDO第二章轴向拉伸和压缩14解：取左侧x

段为对象，内力FN(x)为：[例2]图示杆长为L，受分布力q=kx

作用，方向如图，试画出杆的轴力图。（x坐标向右为正，坐标原点在自由端）FN（x）xq(x)FNxO–Lq(x)x第二章轴向拉伸和压缩15第二章轴向拉伸和压缩已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。11解：1、计算各段的轴力。AB段BC段2233FN2F1F2CD段2、绘制轴力图。F1F3F2F4ABCDFN1F1FN3F4练习16§2-3轴向拉压杆的应力问题提出：FFFF1.内力大小不能全面衡量构件强度的大小。2.构件的强度由两个因素决定：①内力在截面分布集度应力；

②材料承受荷载的能力。2F2F第二章轴向拉伸和压缩17一、应力的概念截面某点处内力分布的集度在大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。第二章轴向拉伸和压缩18mmF1F2F3F41、一般受力杆：——ΔA上的平均应力F1F2△F△FN△FT△Ac（1）定义：第二章轴向拉伸和压缩19（2）单位：——帕斯卡（帕）——“切应力”（剪应力）——“正应力”——C点处的总应力千帕兆帕F1F2pστc第二章轴向拉伸和压缩202、轴向拉压杆：——ΔA上的平均正应力——C点处的正应力二、轴向拉压杆横截面上正应力的确定推导的思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式△FNFΔAσFC第二章轴向拉伸和压缩211、实验：变形前受力后FF第二章轴向拉伸和压缩222、变形规律：横向线——仍为平行的直线，且间距减小。纵向线——仍为平行的直线，且间距增大。第二章轴向拉伸和压缩233、平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面且各横截面沿杆轴线作相对平移4、应力的分布规律——均布F

第二章轴向拉伸和压缩各点轴向位移相同各点应变相同各点应力相同利用平截面假设，能得到横截面上正应力分布的规律吗？24由于“均布”，可得——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式第二章轴向拉伸和压缩5、正应力的计算公式由可得25适用范围适用范围正应力公式适用范围正应力公式的必要条件轴向力作用在轴线（横截面形心的连线）上。正应力公式与材料性质无关。

塑性材料脆性材料26正应力公式不适用的情况截面尺寸变化大的区域集中力作用的端面附近截面尺寸突变的区域含有孔、槽的区域276.圣维南原理

(Saint-Venantprinciple)hh/

4hh/

2hh应力变形h4h2h28hh如果作用在物体某些边界上的小面积上的力系用静力等效的力系代换，那么这一代换在物体内部相应产生的应力变化将随着与这块小面积的距离的增加而迅速地衰减。不受影响6.圣维南原理

(Saint-Venantprinciple)298、拉压杆内最大的正应力：等直杆：变直杆：第二章轴向拉伸和压缩(1)公式中各值单位要统一9、注意的问题(2)“FN”代入绝对值，在结果后面标出“拉”、“压”。7、正应力的符号规定——同内力压缩——压应力，为负值，方向指向所在截面。拉伸——拉应力，为正值，方向背离所在截面。30[例]已知一圆杆受拉力F=25kN，直径d=14mm，试求此杆的应力。解：①轴力FN=F

=25kN②应力：FF25kNxFN第二章轴向拉伸和压缩31例试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的环向拉应力。已知：

可认为径向截面上的拉应力沿壁厚均匀分布解：ddbp32根据对称性可得，径截面上内力处处相等dyFN

FN

ddppFR

33jdjdyFN

FN

pFR

34三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算1、斜截面上应力确定(1)内力确定：(2)应力确定：①应力分布——均布②应力公式——FNα=FN=FFFFFFNα第二章轴向拉伸和压缩352、符号规定⑴α：斜截面外法线与x轴的夹角。x

轴正向逆时针转到n

轴“α”规定为正值；x

轴正向顺时针转到n

轴“α”规定为负值。⑵σα：同“σ”的符号规定⑶τα：在保留段内任取一点，如果“τα”对其点之矩为顺时针方向规定为正值，反之为负值。Fn第二章轴向拉伸和压缩

p

364、σ、τ最大值的确定3、说明：计算时“α”、“σα”、“τα”连同它们的符号代入。：（2）

450斜截面上。，第二章轴向拉伸和压缩（1）：横截面上。，5、通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，称为该点的应力状态。37例

如图厚度为

t

的两块板由胶粘接，板自身强度较大。胶层许用应力如上所示

。为使轴向拉伸荷载为最大，合理的粘接角

应为多少度(0

45°)？求此情况下的许用荷载。

FFb合理的角度应使胶层的拉伸强度和剪切强度都得到充分的利用，因此应使胶层的正应力和切应力之比与相应许用应力之比相等。38第二章轴向拉伸和压缩39§2-4拉压杆的变形·胡克定律第二章轴向拉伸和压缩40第二章轴向拉伸和压缩41§2-4轴向拉压杆的变形一、概念1、轴向变形：轴向尺寸的减小或增大。2、横向变形：横向尺寸的减小或增大。二、分析两种变形LbFFL1b1第二章轴向拉伸和压缩421、轴向变形：ΔL=L1-L（1）、轴向正应变线应变：无量纲。值为“+”——拉应变，值为“-”——压应变。（2）、在弹性范围内：----胡克定律E——弹性模量与材料有关，单位——同应力。EA——抗拉压刚度。第二章轴向拉伸和压缩43(2)当轴力为x的函数时N=N(x)——(1)当各段的轴力为常量时——(3)使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作。(4)应力与应变的关系：（胡克定律的另一种表达方式）注意使用公式的时，轴力一定要代入其正、负号。第二章轴向拉伸和压缩442、横向变形：横向正应变：横向变形系数（泊松比）：三、小结：变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺寸的变化。弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。正应变——微小线段单位长度的变形。泊松效应第二章轴向拉伸和压缩45F2FaaABCxFNF3F已知：杆件的E、A、F、a

。求：△LAC、δB（B截面位移）εAB

（AB

段的正应变）。解：1、画FN

图：2、计算：[例]第二章轴向拉伸和压缩46怎样画小变形放大图？（3）变形图严格画法，图中弧线；（2）求各杆的变形量△Li

；（4）变形图近似画法，图中弧之切线分析：（1）研究节点C的受力，确定各杆的内力FNi；L2ABL1CF图

1第二章轴向拉伸和压缩桁架节点位移的计算47写出图2中B点位移与两杆变形间的关系分析：2、1、3、F第二章轴向拉伸和压缩4845°FaAEAF0A

动脑又动笔计算A

点横向和竖向位移。49例：设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为

76.36mm²的钢索绕过无摩擦的滑轮。设

F=20kN，试求：刚索的应力和

C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。解：1）、求钢索内力：以ABD

为研究对象：ABCDFFNFN2)钢索的应力和伸长分别为：60°ABCD60°F400400800刚索第二章轴向拉伸和压缩503）画变形图求C点的垂直位移为：60°ABCD60°F400400800刚索ABCD刚索B′D′21

c△△△第二章轴向拉伸和压缩512-5能量法概述一、变形能（应变能）：

变形固体在外力作用下由变形而储存的能量。

1、弹性变形能具有可逆性。2、塑性变形能不具有可逆性。弹性变形能：变形固体在外力作用下由于产生弹性变形而储存的能量。

第二章轴向拉伸和压缩52二、变形能的计算：

利用能量守恒原理三、能量法：利用功能原理和功、能的概念进行计算的方法。能量守恒原理：

变形固体在外力作用下产生的变形而储存的能量，在数值上等于外力所作的外力功。第二章轴向拉伸和压缩(功能原理)53轴向拉压杆变形能的计算在线弹性范围内：FL△LFΔL1F1dΔL1dF1第二章轴向拉伸和压缩54LaBCAF例3：图示桁架结构，已知BC杆的长度为L，两杆的抗拉压刚度均为EA，在B点受铅垂力F。求B点的垂直位移。

解、①、求内力FFN1FN2xy③、外力功等于变形能②、变形能：第二章轴向拉伸和压缩55第二章轴向拉伸和压缩MechanicsofMaterials材料力学56§2—6材料在拉压时的力学性质一、试验条件：常温静载。二、试验准备：1、试件——国家标准试件。拉伸试件——两端粗，中间细的等直杆。压缩试件——很短的圆柱型：h=(1.5——3.0)dhdLd圆形截面：L=10d;L=5d。矩形截面：L=11.3;L=5.65第二章轴向拉伸和压缩572、设备——液压式万能材料试验机。第二章轴向拉伸和压缩58三、低碳钢拉伸试验1、拉伸图：（F-ΔL曲线）。2、应力——应变图：（σ-ε曲线）。△LFεσ第二章轴向拉伸和压缩59低碳钢拉伸试验第二章轴向拉伸和压缩603、低碳钢拉伸时的四个阶段⑴、弹性阶段:ob。其中oa为直线段；ab为微弯曲线段。σp——为比例极限；σe——为弹性极限。⑵、屈服阶段:bc。σs——屈服极限（屈服段内最低的应力值）。它是衡量材料强度的一个指标。⑶、强化阶段：ce。σb

——强度极限（拉伸过程中最高的应力值）。它是衡量材料强度的另一个指标。σpεσσeσsoabcefσbd第二章轴向拉伸和压缩61⑷、局部变形阶段（颈缩阶段）：ef。在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。4、延伸率：截面收缩率：它们是衡量材料塑性的两个指标。5、区分塑性材料和脆性材料：以常温静载下的δ大小。塑性材料：延伸率δ≥5％的材料。脆性材料：延伸率δ＜5％的材料。第二章轴向拉伸和压缩626、卸载规率：当拉伸超过屈服阶段后，如果逐渐卸载，在卸载过程中，应力——应变将按原有直线规律变化。7、冷作硬化：在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后短期内又继续加载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的现象。8、时效硬化：在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后在较长的一段时间内又继续加载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的现象。d0d1d2εPεeσpεσσeσsoabcefσbd第二章轴向拉伸和压缩63共同特点：断裂时具有较大的残余变形，均属塑性材料。硬铝50钢30铬锰硅钢四、其它金属材料的拉伸试验64σ0.2——产生的塑性应变为时对应的应力值。（又称为名义屈服极限）五、铸铁拉伸试验无明显的直线段；无屈服阶段；无颈缩现象；延伸率很小。σb——强度极限。es0.2s0.2%第二章轴向拉伸和压缩

s65铸铁拉伸试验第二章轴向拉伸和压缩66五、低碳钢的压缩试验弹性阶段，屈服阶段均与拉伸时大致相同。超过屈服阶段后，外力增加面积同时相应增加，无破裂现象产生。六、铸铁的压缩试验压缩的强度极限远大于拉伸的强度极限;破坏面大约为450的斜面（由最大切应力认起的）;塑性差;其它脆性材料压缩时的力学性质大致同铸铁，工程上一般作为抗压材料。e

sσbεσσpσeσsoabc第二章轴向拉伸和压缩67低碳钢的压缩试验第二章轴向拉伸和压缩68铸铁的压缩试验第二章轴向拉伸和压缩69七、小结衡量材料力学性质的指标：σp(σe)、σs、σb、E、δ、ψ

。衡量材料强度的指标：σs、σb。衡量材料塑性的指标：δ、ψ

。第二章轴向拉伸和压缩701、极限应力、许用应力⑴极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而不能安全工作时的最小应力值。“σjx”（σu、σ0）⑵许用应力：构件安全工作时的最大应力。“〔σ〕”（其中n为安全系数值＞1）⑶安全系数取值考虑的因素：给构件足够的安全储备;理论与实际的差异。第二章轴向拉伸和压缩§2—6强度条件·安全因数·许用应力塑性材料（显著塑性变形）：屈服强度；脆性材料：强度极限。塑性材料（无显著塑性变形）：屈服强度；712、强度条件：等直杆：变直杆：3、强度计算：（1）、校核强度——已知：F、A、〔σ〕。求：（2）、设计截面尺寸——已知：F、〔σ〕。求：A解：A≥FNmax／〔σ〕。解：？第二章轴向拉伸和压缩72（3）确定外荷载——已知：〔σ〕、A

求：F

解：FNmax≤〔σ〕A

→F第二章轴向拉伸和压缩73已知：三角架ABC的〔σ〕=120MPa，AB杆为2根80*80*7的等边角钢，AC为2根10号槽钢，AB、AC两杆的夹角为300。求：此结构所能承担的最大外荷载FmaxxyFNACFNAB300F300例：ABCF300第二章轴向拉伸和压缩74解：1、F

与FN

的关系2、FNmax

的确定查表：AAB=10.86×2=21.7cm2

AAC=12.75×2=25.5cm2XYFNACFNAB300F第二章轴向拉伸和压缩753、确定Fmax

：Fmax=130.3

kN第二章轴向拉伸和压缩76§2—5应力集中的概念一、应力集中：由于截面尺寸的突然改变而引起局部应力急剧增大的现象。F1F1σmaxF1σsF1＞Fe第二章轴向拉伸和压缩77三、表现的性质：局部性质。四、材料对应力集中的反映：（静载）塑性材料——影响小。脆性材料——影响大。二、应力集中系数：与材料无关，为一大于1的应力比值。σmax——局部最大应力，σ——认为同一截面均匀分布时的平均应力。第二章轴向拉伸和压缩78轴向拉压小结一、轴向拉压的概念：1、受力特点：作用于杆两端的外力合力作用线与杆轴线重合。2、变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。二、轴力的确定——截面法（基本方法）1、截开——欲求哪个截面的内力,就假想的将杆从此截面截开，杆分为两部分。2、代替——取其中一部分为研究对象,移去另一部分,把移去部分对留下部分的相互作用力，用内力代替。3、平衡——利用平衡条件，列出平衡方程，求出内力的大小。第二章轴向拉伸和压缩79注意的问题①在截开面上设正的内力方向。②采用截面法之前，不能将外力简化、平移。三、轴力图的绘制轴力的符号规定：压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。四、应力：截面某点处内力分布的密集程度1、拉压横截面正应力的分布规律——均布2、拉压横截面应力的计算公式：重点第二章轴向拉伸和压缩803、拉压杆内最大的正应力：等直杆：变直杆：4、公式的使用条件(1)、轴向拉压杆(2)、除外力作用点附近以外其它各点处。（范围：不超过杆的横向尺寸）5、拉压斜截面上应力确定第二章轴向拉伸和压缩811、极限应力、许用应力、安全系数的概念2、强度条件：3、强度计算：（1）、校核强度（2）、设计截面尺寸？A≥FNmax／〔σ〕。？（3）确定外荷载FNmax≤〔σ〕A。→F。？五、拉压杆的强度计算重点六、材料在拉压时的力学性质1、低碳钢拉伸重点第二章轴向拉伸和压缩82(1)、弹性阶段；屈服阶段；强化阶段；局部变形阶段（颈缩阶段）。σp——为比例极限；σe——为弹性极限。σs——屈服极限σb

——强度极限σpεσσeσsoabcefσbd(2)、延伸率：截面收缩率：(3)、区分塑性材料和脆性材料：以常温静载下的δ大小。第二章轴向拉伸和压缩83(4)、卸载规律、冷作硬化、时效硬化的概念。（5）、σ0.2——名义屈服极限的含义2、铸铁拉伸试验无明显的直线段；无屈服阶段无颈缩现象；延伸率很小。σb——强度极限。e

ss

b

3、低碳钢的压缩试验弹性阶段，屈服阶段均与拉伸时大致相同。超过屈服阶段后，外力增加面积同时相应增加，无破裂现象产生。εσσpσeσsoabc第二章轴向拉伸和压缩844、铸铁的压缩试验压缩的强度极限远大于拉伸的强度极限。破坏面大约为450的斜面（由最大切应力认起的）。塑性差。其它脆性材料压缩时的力学性质大致同铸铁，工程上一般作为抗压材料。e

sσb5、衡量材料力学性质的指标：σp(σe)、σs、σb、E、δ、χ。衡量材料强度的指标：σs、σb。衡量材料塑性的指标：δ、χ。s[]nus=:许用应力{}bsussss,,2.0:=极限应力第二章轴向拉伸和压缩85解：1、画轴力图2、由强度条件求面积AB：FN1（x1）=-F-γA1x1例：结构如图，已知材料的[

]=2MPa

，E=20GPa,混凝土容重

=22kN/m³，设计上下两段的面积并求A截面的位移△A。BC：FN2（x2）=-F-γL1A1-γA2x2x1第三章轴向拉压变形x2F=100kN12m12mABCxFNFF+γL1A1F+γL1A1+γL2A286第三章轴向拉压变形3、确定A截面的位移87[例]

已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q

=10kN/m，屋架中的钢拉杆直径d=30mm，许用应力[

]=180M

Pa。试校核刚拉杆的强度。钢拉杆3mq10m第二章轴向拉伸和压缩88①整体平衡求支反力解：FAyFByFAx钢拉杆10mq3mAB第二章轴向拉伸和压缩89③应力：④强度校核与结论：

此杆满足强度要求，是安全的。FCyFCxFN②局部平衡求轴力：

qFAyFAxC第二章轴向拉伸和压缩90CAF=300kNFNAFND

解：

求内力，受力分析如图例：结构如图，AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成，已知材料的[

]=170MPa

，E=210GPa

，AC、EG可视为刚杆，试选择各杆的截面型号和A、D、C点的位移。q

=100kN/mEGCFBADF=300kNH0.8m3.2m1.2m1.8m2m3.4m第三章轴向拉压变形q

=100kN/mEGDFNE

FNGFND91

由强度条件求面积

按面积值查表确定钢号第三章轴向拉压变形92

求变形

求位移,变形图如图第三章轴向拉压变形93钢木结构如图所示，BC为钢杆，AB为木杆。(1)若P=10KN，木杆的横截面积A木=10000mm2，许用应力[σ]木=7MPa；钢杆的横截面积A木=600mm2，许用应力[σ]木=160MPa；试校核各杆的强度。(2)求结构的许可载荷。(3)根据许可载荷，设计钢杆BC的直径。300BCAP1m解：（1）由力的平衡条件可得木杆钢杆例：94两杆都满足强度要求。(2)由木杆强度条件，由钢杆强度条件，因此，结构的许可载荷为40.4KN。(3)由钢杆的强度条件，95[例]简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为F，为使

BD杆最省料，角

应为何值？

已知BD

杆的许用应力为[

]。分析：xLhqFABCD第二章轴向拉压应力与剪切96

BD杆面积A：解：

BD杆内力FNBD：取AC为研究对象，如图FAyFAxFNBDxqFABCL第二章轴向拉压应力与剪切97③求VBD

的最小值：第二章轴向拉压应力与剪切98第二章轴向拉伸和压缩MechanicsofMaterials材料力学99一、工程实例§2—6剪切与挤压的强度计算钢板刀刃铆钉FFⅠ剪切的概念第二章轴向拉伸和压缩100第二章轴向拉伸和压缩101FFmmFFFFmm二、剪切的概念受力特点：作用于构件两侧面上的外力合力大小相等，方向相反，且作用线相距很近。变形特点：两力之间相邻截面发生相对错动。剪切面：相对错动的面。第二章轴向拉伸和压缩102一、外力：F。二、内力：（截面法）剪力Fs=F。三、应力：实用切应力，名义切应力(剪应力）假设——剪切面上只存在切应力，而且其分布是均匀的。方向：同剪力的方向。Ⅱ剪切的实用计算mmFFFFsτ第二章轴向拉伸和压缩1032、许用切应力：四、强度计算1、强度条件：3、强度计算：⑴校核强度，⑵设计截面，⑶确定外荷载。第二章轴向拉伸和压缩104一、基本概念：2、挤压面——相互压紧的表面。其面积用Abs表示。3、挤压力——挤压面上的力。用Fbs表示。4、挤压应力——挤压面上的压强。用σbs表示。1、挤压——构件之间相互接触表面产生的一种相互压紧的现象。Ⅲ挤压的实用计算FF第二章轴向拉伸和压缩1051、强度条件：三、强度计算：2、强度计算：⑴校核强度，⑵设计截面尺寸，⑶确定外荷载。二、挤压应力的确定：（实用的挤压应力，名义挤压应力）假设：挤压面上只存在挤压应力，且挤压应力分布均匀。方向：垂直于挤压面。第二章轴向拉伸和压缩106五、小结——接头处的强度计算1、剪切的强度计算：2、挤压的强度计算：3、轴向拉伸的强度计算：1、实际的挤压面为平面时——按实际平面面积计算。四