广东省深圳市2026届高三下学期第二次调研考试数学试卷（含答案）

广东深圳市2026届高三年级下学期第二次调研考试数学试题一、单选题1．已知，则（

）A． B． C．2 D．2．已知集合，则（

）A． B．{1} C． D．3．的展开式中的系数为（

）A．20 B．40 C．60 D．804．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在平行四边形中，，则（

）A． B． C． D．6．已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（

）A．存在，使得相交 B．存在，使得C．存在，使得的夹角为 D．存在，使得7．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是上一点，，则的离心率为（

）A． B． C．3 D．8．已知函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．C．为偶函数D．的图象关于直线对称10．某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表：月份12345销售额万元1.82.22.83.1根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（

）A．变量与正相关B．C．样本数据的下四分位数为1.8D．当时，的预测值为4.1万元11．已知正三棱柱的高为2，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（

）A．B．平面平面C．截面的面积为D．该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为三、填空题12．若直线是曲线的一条切线，则___________．13．已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可）14．已知圆是圆上的一动点，．若存在一个半径为的圆与直线相切于点，且与圆内切，则的最小值为___________．四、解答题15．记的内角的对边分别为，已知．(1)求的值；(2)若的面积为1，求的周长．16．已知函数．(1)若在时取极值，求的值和的极小值；(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围．17．已知抛物线的焦点为是上不同的两点（其中在第一象限），点．当与轴垂直，且时，．(1)求的方程；(2)若为轴上一点，且（点与不重合）．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①三点共线；②轴；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．18．如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为．(1)求长度的最小值；(2)若点在圆上，且（是所对的圆心角，），证明：存在非零向量，使得恒成立；(3)在（2）的条件下，可知是平面曲线，记所在平面为，求平面与夹角余弦值的取值范围．19．一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为．(1)求；(2)求；(3)求．参考公式：1．若，对于，则；2．若是离散型随机变量，则．参考答案1．A2．C3．B4．C5．A6．D7．A8．B9．AD10．ABD11．BCD12．13．260（均可）14．15．（1）由余弦定理，可得，且，则，解法1：，由正弦定理：，，所以，即，又因为，解得，因为，所以；解法：因为，，所以由，即，不妨设，由余弦定理，即，解得，由正弦定理，，所以.（2）解法1：由（1）知，，，，由正弦定理，，于是，，所以，解得，所以，所以；解法2：由（1），，，则，所以，如图，延长，过点作，由，则，设，所以，所以，则解得，于是.16．（1）由题意可知：，，因为，解得，则，，令，则，令，解得；令，解得；可知在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，且，当趋近于或时，趋近于，可知在定义域内有2个零点和1，当时，，当时，，可知在，内单调递增，在内单调递减，所以在处取极小值，极小值为．（2）解法1：由于不等式对任意恒成立，则，解得，下证：当时，，若，则，令，由（1）可知，在上单调递增，则，则，所以的取值范围为；解法2：令，则，设，，则，设，，则,可知在上单调递增，则，即，可知在上单调递增，则，可得，所以的取值范围为；解法3：因为，，则，设，，则，可知在上单调递增，即在上单调递增，则，且当趋近于时，趋近于，当，即时，则在内存在零点，若，则，可知在内单调递减，可得，不合题意；当，即时，则，可知在上单调递增，则，符合题意；综上所述：的取值范围为；解法4：因为，则，设，则，当，即时，则，可知在单调递减，则，解得；当，即时，令，解得；令，解得；可知在上单调递增，在上单调递减，则，令，下证：，设,，则，可知在上单调递增，则，即，可得，可知不等式恒成立；综上所述：的取值范围为.17．（1）由题，关于轴对称，令，则，于是直线过焦点，在中，有，可得：，则，于是的方程为：；（2）选①②⇒③解法1：由题意知，与轴不垂直，不妨设点，则，于是直线，即，若三点共线，，则，取中点，连接，由，则，而，则，则；解法2：由题，与轴不垂直，不妨设直线，点，，联立直线与：则所以取中点，连接，由，则，而，则，则；解法3：如图，设的准线为，过点分别作的垂线，垂足为，过点作，设直线的倾斜角为，于是，则，即，同理，，在与中，，取中点，连接，于是，则，于是，且，且，则，于是，即；①③②解法1：由题，与轴不垂直，不妨设点，则，于是直线，即，若三点共线，则，取中点，连接，由于，由，且，则，，且，则，即，则，则轴，轴；解法2：由题，与轴不垂直，不妨设直线，点，，联立直线与：取中点，连接，由于，由，且，则，，且，则，即，则，则轴，轴：解法3：如图，设的准线为，过点分别作的垂线，垂足为，设直线的倾斜角为，于是，则，即，同理，，在中，，取中点，连接，于是，则，则，在与中，，且，则，于是，即轴，轴；选②③①解法1：由题，与轴不垂直，不妨设点，则，于是直线，即，取中点，连接，由，则，而由，则，，于是，则直线恒过定点，即三点共线．解法2：由题，与轴不垂直，不妨设直线，点，联立直线与：取中点，连接，由，则，而，由，则，，于是，此时，则直线恒过定点，即三点共线．18．（1）如图，沿圆锥的母线，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形，其中为的中点，与在圆锥中是同一点．因为轨迹在圆锥的侧面上，所以，在侧面展开图中，轨迹是扇形上连接与两点的曲线．又是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短，所以，轨迹是侧面展开图扇形上连接与两点的线段，即线段．由于，所以的长度为，又，所以．所以，在等腰三角形中，，即的长度为．（2）如图，在底面圆中，过点作交圆于点，由于平面，平面，故，，则，两两垂直，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，于是，设，则，于是，则，于是，于是令，则；（3）解法1：由（2）可知，是平面的一个法向量，设平面的法向量为，由于，则，即令，于是平面的一个法向量为，设平面与平面所成角为，于是，即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为；解法2

：由（2）可知，平面的法向量，由于在底面圆周上运动，则平面即平面的法向量可以是底面上任意方向的向量，如图，在平面内，设，过点作，则，设平面与平面所成的角为，则，易知，则，综上，，即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为．19．（1）微生物经历奇数次移动必然到达区域，之后有的概率到达区域，有的概率到达区域，微生物在区域或者区域时，下一步必然到达区域．（2）解法1：微生物第1次到达区域所经历的步数必然为：，若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动，且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是，则不妨设，于是则化简可得，，由题意可知，，所以；解法2：由微生物在2次移动后，有的概率经过区域到达区域，有的概率经过区域回到区域，于是，解得，；（3）解法1：初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为，设初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为，初始位置为时粒子第次到达区域累计移动次数为（初始位置不记为到达），当时，于是：，即，化简有，又由，有即，又由，于是．解法2：不妨设微生物从区域出发，第一次到达区域，需要的次数为随机变量，当时，，微生物由区域出发第1次到达区域所经历的步数必然为：，若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动，且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是，则，由（2）知于是又由，于是．解法3：当时，易知微生物第次到达区域所经历的步数可能为：，当微生物通