二次函数的应用(几何) 中考真题分类汇编解析

二次函数的应用（代数）

一、选择题

1.（2011安徽，10,4分）如图所示，P是菱形A8C3的对角线AC上一动点，过P垂直于

AC的直线交菱形4BCQ的边于M、N两点，设AC=2,BD=\,AP=x,aAMN的面积

为y,则y关于x的函数图象的大致形状是（）

【答案】C

2.（2011山东威海，12,3分）如图,

在正方形A8CO中，AB=3cm,动点M自A点出发沿48方向以每秒1cm的速度运动，同时

动点N自A点出发沿折线AD-DC-CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时

停止，设△4MN的面积为y（cm?）,运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与

【答案】B

3.（2011甘肃兰州，14,4分）如图，正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各

边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函

数图象大致是

4.

二、填空题

1.

2.

3.

4.

5.

三、解答题

1.（2011浙江省舟山，24,12分）已知直线），="+3（k<0）分别交x轴、y轴于A、B

两点，线段04上有一动点P由原点。向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点尸

作x轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为f秒.

（1）当％=-1时，线段。A上另有一动点。由点A向点。运动，它与点P以相同速度

同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）.

①直接写出f=l秒时C、Q两点的坐标；

②若以。、C、A为顶点的三角形与AAOB相似,求/的值.

（）当人=-：时，设以为顶点的抛物线（）

2Cy=x+m2+〃与直线AB的另一交点为。

（如图2）,

①求C。的长；

②设ACO。的OC边上的高为〃，当，为何值时,h的值最大？

（第24题图I）（第24题图2）

【答案】(1)①C(1,2),Q(2,0).

②由题意得：PQ,0),C(t,-f+3),Q(3-t,0),

分两种情形讨论：

情形一：当△AQCjMOB时，ZAQC^ZAOB=90°,二CQ1OA,

'：CPA.OA,.•.点P与点。重合，OQ=OP,即3一片K：.t=1.5.

情形二：当△ACQS^AOB时，ZACQ=ZAOB=90°,♦.•。4=。8=3,.♦.△AOB是等腰

直角三角形，.•.△4CQ是等腰直角三角形，；C0，OA,：.AQ=2CP,即f=2(-/+3),

.1=2..•.满足条件的/的值是1.5秒或2秒.

33

(2)①由题意得:C(3—=r+3),...以C为顶点的抛物线解析式是y=(尤一f)2-二r+3,

44

333

由(x—才)-r+3=x+3，解得x\=tf历=，;过点D作DEA-CP于点E,则

444

ADECD

ZDEC=ZAOB=90°fDE〃OA,:・/EDC=/OAB,AADEC^AAOB,：.——=—,

AOBA

VAO=4,AB=5,DE=t~(1)=1.=二”

44AO416

LX.153x412115129

②・C£)=7,C£>边上的局=—--=—.♦.SAco/>=；7X、x-^~=褒...SAc。。为定值；

165521658

要使OC边上的高〃的值最大，只要0C最短.

12

因为当OC1AB时0C最短，此时0C的长为二，ZBCO=90°,VNAOB=90。，，ACOP

=90°—NBOC=NOBA,又,：CP上OA,：.Rt^PCO^Rt^OAB,

nx3

.OPPCOCxBO3636...当f为电秒时，〃的值最大.

OP=5即nrit=--，

"BO~BABA252525

517

2.(2011广东东莞，22,9分)如图，抛物线y=--f+一1+1与y轴交于点A,过点A

44

的直线与抛物线交于另一点8,过点8作BCLx轴，垂足为点C(3,0).

(1)求直线AB的函数关系式；

(2)动点尸在线段OC上，从原点。出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点尸作，x

轴，交直线AB于点M,抛物线于点M设点尸移动的时间为f秒，MN的长为s个单位，

求s与f的函数关系式，并写出r的取值范围；

(3)设(2)的条件下(不考虑点P与点。，点G重合的情况)，连接CM,BN,当f为何

值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？

说明理由.

5|7

【解】(1)把x=0代入y=--x2+—x+l,得y=l

44

5175

把x=3代入y=——x2H----x+1,得丁=一,

442

:.A、B两点的坐标分别(0,1)、(3,-)

2

设直线AB的解析式为丁=依+。，代入A、B的坐标，得

b=\

3k+b=±5.解得

2

所以，y=-x+l

2

।517

(2)把x=t分别代入到y=—x+l和y=——x2+—x+l

244

1517

分别得到点M、N的纵坐标为一r+1和—/-H—t+1

244

.517,1,、5215

>>MN----1~2H----/+1—(-/+1)——tJ----1

44244

5215

HBI1Js——td----1

44

•.•点P在线段0C上移动，

.♦.0WtW3.

(3)在四边形BCMN中,'：BC//MN

二当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形

5155,0.c

由一^12+]■'=]，得=L'2=2

即当，=1或2时，四边形BCMN为平行四边形

35

当f=l时，PC=2,PM=-,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=一,

22

此时BC=CM=MN=BN,平行四边形BCMN为菱形；

当f=2时，PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=J?,

此时BCWCM,平行四边形BCMN不是菱形；

所以，当『=1时，平行四边形BCMN为菱形.

3.（20H江苏扬州,28,12分）如图，在RtZXABC中，NBAC=90°,AB<AC,M是BC边的

中点，MNLBC交AC于点N,动点P从点B出发沿射线BA以每秒6厘米的速度运动。同时,

动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQLMP。设运动时间为t秒（t>0）

（1）APBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；

（2）若NABC=60°,AB=4，^厘米。

①求动点Q的运动速度；

②设RtaAPQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；

（3）探求BP\PQ?、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。

【答案】解：(1)Z\PBM与△QNM相似；

VMN1BCMQXMPAZNMB=ZPMQ=ZBAC=90°

，ZPMB=ZQMN,ZQNM=ZB=90°-ZC

APBM^AQNM

(2)①•.•/ABC=60°,ZBAC=90°,ABM73,BP=73t

AB=BM=CM=4V3,MN=4

APBM^AQNM

.BPBMBP473r-

..---=----B即f|：---=-----="3

NQMNNQ4

点的运动速度是每秒方厘米,

•••Q点运动速度是每秒1厘米。

②AC=12,CN=8

AQ=12-8+t=4+t,AP=4上一方t

1/o

S=-x(4+Z)x(4V3-V3r)=-—(Z2-16)

22

(3)BP2+CQ2=PQ2

证明如下：VBP=V3t,BP2=3t2

VCQ=8-t.\CQ2=(8-t)2=64-16t+t2

*/PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64

ABP2+CQ2=PQ2

4.(2011山东德州23,12分)在直角坐标系M)，中，已知点「是反比例函数^=一丫一(》＞0)

X

图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A.

(1)如图1,。2运动到与x轴相切，设切点为K,试判断四边形0KB4的形状，并说明

理由.

(2)如图2,(DP运动到与x轴相交，设交点为8,C.当四边形A8CP是菱形时：

①求出点A,B,C的坐标.

②在过A,8,C三点的抛物线上是否存在点M,使AMBP的面积是菱形ABCP面积的人.若

2

存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由.

图1

【答案】解：（1）•••◎「分别与两坐标轴相切，

，PA^OA,PKLOK.

，NB4O=/OKP=90°.

又；/AOK=90°,

/雨0=/0K片/AOK=90°.

...四边形。KF是矩形.

又；OA=OK,

四边形OK%是正方形...............2分

（2）①连接PB,设点尸的横坐标为x,则其纵坐标为拽.

X

过点P作尸GLBC于G.

•.•四边形ABCP为菱形，

：.BC=PA=PB=PC.

••.△P8C为等边三角形.

在RtZ\PBG中，ZPBG=60°,PB=PA=x

273

PG=------.

2A/3

解之得：4±2(负值舍去).

二PG=6,PA=BC^2.................................4分

易知四边形OGB4是矩形，附=OG=2,BG=CG=1,

：.OB=OG~BG=\,OC=OG+GC=3.

/.A(0,x/3),B(1,0)C(3,0).6分

设二次函数解析式为：y=a^+bx+c.

。+〃+。=0

据题意得：19。+3匕+。=0

c=G

余军之得：a=^-,6=_4“,c=\f3.

33

.•.二次函数关系式为：y=-x2-^x+y/3...............9分

33

②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v,据题意得：

w+v=0

2w+v=V3

解之得：〃二,v=—3-73.

直线BP的解析式为：y=，§x—3百.

过点A作直线AM〃P2,则可得直线AM的解析式为：y=£x+6.

y=V3x+V3

解方程组：624Gr-

y=—x------x+yJ3

过点C作直线CM〃PB,则可设直线CM的解析式为：y=gx+t.

0=3G+1.

t=—3下).

直线CM的解析式为：y=x/3x-3V3.

y=百x-3百

解方程组:G-4G6

y=——x-----x+V3

33

%=3x2=4

=0*=6

综上可知，满足条件的M的坐标有四个,

分别为：(0,6),(3,0),(4,G),(7,8下)).12分

解法一："S"AB=S&PBC=]SPABC'

：.A（0,73）,C（3,0）显然满足条件.

延长AP交抛物线于点由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA.

又一AMaBC,

,,S5PBM=S^PBA=2SPABC•

.•.点M的纵坐标为也.

又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4.

.•.点M（4,后）符合要求.

点（7,873）的求法同解法一.

综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0，百），（3,0）,（4,6）,（7,85/3）...............12分

解法三：延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA.

又,：AM〃BC,

..SAPBM=S"BA=]SPABC•

...点M的纵坐标为6.

日n62/r_r-

即—x------x+，3=>/3.

33

解得：%,=0（舍），9=4.

.•.点例的坐标为（4,后）.

点（7,86）的求法同解法一.

综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0,邪）,（3,0）,（4,V3）,（7,8石）...............12分

5.（2011山东薄泽，21,9分）如图，抛物线+法-2与x轴交于A,B两点,与y

轴交于C点，且4—1,0）.

（1）求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（如0）是x轴上的一个动点，当MC+MO的值最小时，求机的值.

解：（1）把点4—1,0）的坐标代入抛物线的解析式）=；，+/加—2,

整理后解得6=-3,

2

所以抛物线的解析式为），=」/-3'一2.

22

顶点。

（2）,：AB=5,A^O^+OC2^,B^O^+OB^O,

.,.AC^+BC^AB2..♦.△ABC是直角三角形.

（3）作出点C关于x轴的对称点C1则C，（0,2）,OC'=2.

连接UD交x轴于点M,

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小.

设抛物线的对称轴交X轴于点E.

△COMs/\DEM.

.OMOC.m2.24

••---=----.••----=>••"1=--•

EMED3_m2541

28

6.（2011山东济宁，23,10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4,-1）的抛物

线交y轴于A点，交x轴于B,C两点（点B在点C的左侧）.已知A点坐标为（0,

3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点8作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相

切，请判断抛物线的对称轴/与。C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A,C两点之间，问：当点尸运动到

什么位置时，APAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和APAC的最大面积.

y

(第23题)

【答案】(1)解：设抛物线为y=4(%-4)2-1.

,抛物线经过点A（0,3）,・・.3=a（0—4）2—1.・・・〃=L.

11

・,•抛物线为y=±（寸-4）20-1=±炉0一2一+3......................................3分

44

（2）答：/与。C相交.....................................................4分

证明：当，（x-4）2—1=0时，X.=2,x2=6.

4

:.B为（2,0）,C为（6,0）AB=｛乎+2?=y/13.

设。。与8。相切于点E,连接CE,则ZBEC=90°=NAO5.

•；NABD=90°,NCBE=90°-ZABO.

又；ZBAO=90°-NABO,二NBAO=ZCBE,：.A4OBs\BEC.

,CEBC,CE6-2，8

==C£>26分

OBAB2屈屈

V抛物线的对称轴/为x=4,C点到/的距离为2.

抛物线的对称轴/与0C相交....................................7分

(3)解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q.

可求出AC的解析式为y=-；1+3.......................................................8分

设P点的坐标为（根，—m2-2m+3）,则。点的坐标为（m，--m+3）.

42

1113

PQ=+3—2-2m+3）=——m2+-

113327

'**SRPAC=SMAQ+S“CQ=5乂（一］加2+万根）x6=一］（加一3）2,

27

・・・当m=3时，ABAC的面积最大为

4

3

此时，P点的坐标为（3,一—）..................................10分

4

y

(第23题)

7.(2011山东威海,25,12分)如图,抛物线了=办2+法+。交》轴于点A(-3,0),点出,

交)，轴于点E(0,-3).点C是点A关于点B的对称点，点尸是线段BC的中点，直线/过

点尸且与y轴平行.直线y=-x+m过点C,交y轴于点£).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点K为线段AB上一动点，过点K作％轴的垂线与直线C。交于点”，与抛物线交于

点G,求线段"G长度的最大值；

(3)在直线/上取点在抛物线上取点M使以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四

边形，求点N的坐标.

【答案】解：(1)设抛物线的函数表达式y=a(x—l)(x+3)

:抛物线与y轴交于点七(0,-3),将该点坐标代入上式，得“=1.

:.所求函数表达式y=(x—l)(x+3),即y=f+2x—3.

(2)：点C是点A关于点8的对称点，点A(-3,0),点8(1,0),

.•.点C的坐标是C(5,0).

将点C的坐标是C(5,0)代入y=-x+m,得加=5.

...直线CD的函数表达式为y=—x+5.

设K点的坐标为(r,0),则H点的坐标为(f,—r+5),G点的坐标为Q-+2r—3).

;点K为线段AB上一动点，

-3<z<1.

,3o41

“6=(—1+5)—(厂+2/—3)=一产9-3r+8=-(?+-)-+—.

2

.•.当/=一3=时，线段"G长度有最大值4”1■.

24

(3)•••点•是线段BC的中点，点3(1,0),点C(5,0),

...点尸的坐标为尸(3,0).

•・•直线/过点尸且与y轴平行，

.••直线/的函数表达式为x=3.

•••点M在直线/上，点N在抛物线上，

设点M的坐标为M(3,m)，点N的坐标为NS,/+2〃—3).

•.•点A(—3,0),点C(5,0),AC=8.

分情况讨论：

①若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN//AC,且

MN=AC=8.

当点N在点M的左侧时，MN=3-n.

3—〃=8,解得〃=一5.

•••N点的坐标为N(—5,12).

当点N在点M的右侧时，MN=n-3.

n—3=8,解得n=11.

点的坐标为N(ll,40).

②若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点

B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称.取点F关于点B对称点P,则点P的坐

标为P(一1,0).过点尸作轴，交抛物线于点M

将x=-1代入y=》2+2x—3,得y=-4.

过点N,B作直线NB交直线I于点M.

在△2PN和△BFM中，

2NPB=NMBF

•••\BF=BP

NBPN=NBFM=90。

:.NB=MB.

.••四边形点ANCM为平行四边形.

/.坐标为(-1,-4)的点N符合条件.

当点N的坐标为(一5,12),(11,40),(-1,-4)时，以点A,C,M,N为顶点的四边是平

行四边形.

8.(2011山东烟台，26,14分)如图，在直角坐标系中，梯形ABC。的底边AB在x轴

上，底边CD的端点。在y轴上.直线CB的表达式为产一：》+?，点A、力的坐标分别为

(-4,0),(0,4).动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点3出发，在折线

BC加上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.

设点P运动f(秒)时，△OPQ的面积为s(不能构成△OPQ的动点除外).

(1)求出点8、C的坐标；

(2)求s随/变化的函数关系式；

(3)当，为何值时s有最大值？并求出最大值.

(备用图2)

【答案】解：(1)把y=4代入y=一二xTH—,得x=l.

3

.♦.C点的坐标为(1,4).

当y=0时，-&x+3=0,

33

工-=4.・,•点8坐标为(4,0).

(2)作CM_LA5于M,则CM=4,BM=3.

二BC=^CM2+BM2-V32+42=f).

：.sinZABC=—=-.

BC5

APOMNB

第26题图

①当0<tV4时，作QNJ_OB于N,

4

则QN=BQ.sinNABC=-1.

114?8

：.S=-OPQN=-(4-/)X-t=~-t29+-t(0<r<4).

22555

②当4<rW5时，(如备用图1),

连接QO，QP，作QNLOB于N.

,4

同理可得QN=

1149Q

：.S=-OPQN=-X(z-4)X-i.(4VW5).

22555

AOPNBX

备用图1

③当5V/W6时，（如备用图2）,

连接。。，QP.

(3)①在0</<4时,

8

当尸一、=2时,

2x(-|)

②在4V/W5时，对于抛物线S=2-一»f,当［=—一.=2时，

552x2

5

<_22_8_8

3最小------X2-X2———.

555

...抛物线S=2f2-»f的顶点为（2,-i）.

555

.•.在4<rW5时，S随r的增大而增大.

2Q

.•.当f=5时，S地大=—X5?一—义5=2.

55

③在5<rW6时，

在S=2f-8中，；2>0,随f的增大而增大.

.•.当f=6时，S最大=2X6-8=4.

.•.综合三种情况，当f=6时，S取得最大值，最大值是4.

（说明：（3）中的②也可以省略，但需要说明：在（2）中的②与③的△OPQ,③中的底边

0P和高CD都大于②中的底边0P和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的

面积.）

9.（2011四川南充市，22,8分）抛物线产以2+加+c与1轴的交点为A（加一4,0）和B（zn,0）,

与直线y=-x+p相交于点A和点C(2m—4,/n—6).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP

面积为12,求点P,Q的坐标；

(3)在(2)条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当/PQM的面积最大时,

请求出ZPQM的最大面积及点M的坐标。

【答案】解：(1),/点A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直线y=-x+p上

二4-所4)+/,解得：1=3

[fn-6=-(2/??-4)+p[p=-1

AA(-1,O)B(3,0),C(2,-3)

设抛物线y=〃r2+/zr+c=a(x・3)(x+l),

•1(2,-3)Aa=l

二抛物线解析式为：y=x2-2x-3

(2)AC=3j^,AC所在直线的解析式为：y=-x-l,ZBAC=45°

•••平行四边形ACQP的面积为12.

.••平行四边形ACQP中AC边上的高为耳=2

3V2

过点D作DKXAC与PQ所在直线相交于点K,DK=2血，；.DN=4

VACPQ,PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条，

APQ的解析式或为y=-x+3或产于5

y=x2_2x_3解得:x2=-2

y=-x+3%=5

',此方程组无解.

1，=_彳_5

即Pi(3,0),P2(-2,5)

：ACPQ是平行四边形，A(-1,O)C(2,-3)

.,.当P(3,0)时,Q(6,-3)

当P(-2,5)时，Q(l,2)

工满足条件的P,Q点是Pi(3,0),Qi(6,-3)或P2(-2,5),Q2(b2)

(1)设M(f/-2f-3),(-l<t<3),过点M作y轴的平行线,交PQ所在直线雨点T,则T(t,-t+3)

MT=(-l+3)-(t2-2t-3)=-t2+t+6

过点M作MS±PQ所在直线于点S,

6,2、V2i225V2

MS=MT=(-1+t+6)——(t—)H-----------

22228

.•.当t=g时，M(g,-3■),/PQM中PQ边上高的最大值为2手

10.(2011浙江杭州，24,12)图形既关于点O中心对称，又关于直线AC,8。对称，AC

=10,BD=6,已知点£,例是线段AB上的动点(不与端点重合)，点。到EF,例N的

距离分别为九，h2.AOE尸与△OGH组成的图形称为蝶形.

(1)求蝶形面积S的最大值；

(2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求6」与为满足的关系式，并求凡的

取值范围.

【答案】⑴如图，设EF与AC交于点K,由△OEFsaABD,得——=——，——一,

fiO56

即=%_%),S=2x；OK・EF=2xg%・9(5-%),整理得S=一翱一|>+上当

九=9时，蝶形面积s的最大，最大值为”.

122

«aa

⑵如图，设MN与AC交于点L,由⑴得EF=g(5—4)，则徐/?-),,ML=-(5-h1)

由OK2+EK2=OE\OL2+ML2=OM2,得OK2+EK2=OI?+MI?,

33

+1(5-/0=芯+|(5-/1,),整理得(九一4)[17(%+4)-45]=0,当点E,M不

重合时‘-//。，2=石.当。ELAB时，小彳所以°访下

2）当点E,M重合时，则此时"的取值范围为0＜々＜5.

解法二：（1）由题意，得四边形ABCO是菱形.

pp5-/16

由EF//BD,得AABO\AEF,—=即E/7=1（5-%）

..S=2S&0EF=族x4=［（5—4）x4=+与

所以当％=|时，Smax=y.

（2）根据题意，得OE=OM.

如图，作0RLA5于R,0B关于OR对称线段为OS,

1）当点E,M不重合时，则OE,OM在OR的两侧，易知RE=RM.

AB=V52+32=A/34,

由ML//EKHOB,得"BEOLBM

OA~AB,~OA~AB

OKOLBEBM2BR即29

OAOA-ABAB~AB17

454545

4+%=万，此时"的取值范围为0＜%〈行且4W—

34

2）当点重合时，则4=%,此时4的取值范围为0<4<5.

11.（2011浙江湖州，24,14）如图1.已知正方形OABC的边长为2,顶点4、C分别在X、

y轴的正半轴上，”是BC的中点.P（0,m）是线段OC上一动点（C点除外），直线交AB

的延长线于点。.

（1）求点。的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当△4P。是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点。作直线ME的垂线，垂足

为H（如图2）.当点尸从点。向点C运动时，点H也随之运动.请直接写出点H所

经过的路径长.（不必写解答过程）

【答案】解：（1）由题意得CM=BM,,:NPMC=/DMB,：.Rt/\PMC^Rt/\DMB,：.DB

=PC,：.DB=2~m,AD=4~m,.,.点。的坐标为（2,4-m）.

（2）分三种情况：①若AP=A。，则4+62=（4一加）2,解得m=一.

2

②若尸£>=%,过户作PFLAB于点尸（如图），PIOAF=FD,AF=FD=-AD=-（4-rv）,

22

i4

又OP=AF,/.tn=—（4-fri）,解得m=—,

23

③若DP=DA,U：APMC^ADMB,：.PM=-PD=-（4-m）,VPC2+CM2=PM2,

22

i2

A（2-m）2+l--（4-m）2,解得叫=2（舍去）.

综上所述，当△AP。是等腰三角形时，过m的值为士3或？4或差2.

233

（3）点”经过的路径长为亚乃.

4

12.（2011宁波市，26,10分）如图.平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（-2,2）,

点8的坐标为（6,6）,抛物线经过A、0、B三点，线段AB交y轴与点E.

（1）求点E的坐标；

（2）求抛物线的函数解析式；

（3）点F为线段。8上的一个动点（不与。、B重合），直线EF与抛物线交与M、N两点

（点N在y轴右侧），连结ON、BN,当点尸在线段。8上运动时，求A80N的面积的最大

值，并求出此时点N的坐标；

（4）连结AM当△BON的面积的最大时，在坐标平面内使得ABOP与AO4V相似（点8、

0、N对应）的点P的坐标.

{—2m+n=2

\&m+n=&

得相=T，〃=3

.•.y=Q-+3

当x=0时y=3・・・E(0,3)

设抛物线的函数解析式为y=ax+hx

将力(-2,2)8(6,6)代入得〃工解得〃=；，〃=一)

[36〃+6/?=642

抛物线的解析式为y=ix-^x

(3)

过点N做x轴的垂线NG,垂足为G,交。B于点Q,过B作8HL轴于4,设N(x,京

则Q(x,x)

则SABON=S△BON+SABON

=|xQNXOG+^XQNXHG

111,/21、3.93/,27

=^XQNX(zOG+HG)=^XQNXOH=^(x—(p:"—rx)[X6=—pf2+/=一彳(工一3)~2十工

(0<x<6)

27

...当x=3时，ABON面积最大，最大值为彳

此时点N的坐标为(3,：)

(4)过点A作AS_LGQ于S

3

VA(-2,2),3(6,6),N(3,-)

35

/.ZAOE=ZOAS=ZBOH=45°,OG=3,NG=~,NS=4,AS=5

在RtASAN和RlANOG中

/.tanZSAN=tanNNOG

ANSAN=NNOG

：.AOAS-ZASN=ZBOG-/NOG

:"OASN=4BON

・・・ON的延长线上存在一点尸，使ABOP〜AOAN

3

VA(-2,2),N(3,-)

在RtAASN中

当—AN时磬嗡...翳矗.：吁呼

4

过点P作PTJ_x轴于点T

D**7"1A1

AOPT〜AONG.,•777=7^=7

UiUkj4

设P(4r,0在在RtAPOT中，有(4/)2+金=(15严)2

・1515，冬、

••人=彳，『一彳（舍）

...点P的坐标为（15,才）

将A08P沿直线OB返折，可得出另一个满足条件的点P'（竽，15）,由以上推理可知，当

点P的坐标为（15,y）或厚15）时△BOP与AOAN相似.

13.（2011浙江衢州，24,12分）已知两直线卜乡分别经过点A（l,0）,点B（—&0）,并且

当两条直线同时相交于y轴正半轴的点C时，恰好有4_L4,经过点A、B、C的抛物线的

对称轴于直线，交于点K,如图所示.

求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式.

抛物线的对称轴被直线4,抛物线，直线4和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数

量关系？请说明理由.

当直线4绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M.请找出使MCK为等腰三角形的点

M.简述理由，并写出点M的坐标.

BOCzCOA

COAOmCO1

BOCO3CO

:.CO=^.

.•.点C的坐标是仅，百）

由题意，可设抛物线的函数解析式为卜=融2+陵+6.

把A（1,O）,8（—3,0）的坐标分别代入y=ax2+bx+y[3,得

a=-----

<2+8+A/5=O3

9a-3O+J5=O.解这个方程组，得*

3

.•・抛物线的函数解析式为y=-弓f-竿x+

解法2：由勾股定理，得(002+082)+(002+042)=302+402=452

又OB=3,OA=1,AB