2026届湖北省高三(4月)调研模拟考试数学+答案

数学试题答案与评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.B2.A3.B4.D5.A6.D7.C8.C

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.BD10.BCD11.ABD

11.【解析】f(x)=xee*,f"(x)=(2x+1)e2*,即f(x)在上单调递减，，在

上单调递增，，；即g(x)在

上单调递减，，在上单调递增，，；从而有

,故A正确；结合图象可知，，

,结合单调性可知，2x=lnx;，即e2*=x故B正确；同理可得i"-a，

由知X,X2,X3,X4不可能构成等比数列，故C错误；由前面分析可知

,故D正确.故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.13.114.

14.【解析】圆锥方程即为，考虑到对称性，不妨设截面与轴垂直，从而双曲线上每

点的纵坐标为常数，不妨设为，则双曲线方程即为，易得离心率为.

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

zC1

15.(1)证：连A1C,交AC1于点E,连DE.因为正三棱柱各棱长均相等，

所以侧面为正方形，为中点又为中点，

AA1C1CEA1C,DBCB1A1

所以DE∥A1B,而DE平面ADC1，A1B平面ADC1，

E

∴A1B∥平面ADC1.………………6分

C

(2)依题意有AD∥BC,以D为原点以DB,DA分别为轴轴建立如图直角坐标系，

BD

设正三棱柱各棱长为2，则A(0,J5,0),B(1,0,0),B1(1,0,2),C1(－1,0,2),A

x

y

1

环=(0,、F,0),丽=(1,0,2),T=(-1,0,2),………………8分

设平面ADB1的法向量为m=(x,y,z1),则取z=1,m=(-2,0,1)，

设平面ADC1的法向量为n=(X2,J'2,Z2),则取z2,=1,n=(2,0,1)，

令二面角B1-AD-C1为θ,

故平面ADB1与平面AD-C1的夹角余弦值为.………………13分

16.(1)依题意c=、6,焦点坐标为

:.a'=8,c2=6,b2=2.椭圆方程为………………5分

(2)设A(xy,1)9B(x2,y2)9联立得

由A=-4t2+16>0得-2<t<0.………………7分

………………9分

点P到直线AB的距离为………………10分

………………12分

设易知在－－上单调递增

f(t)=(2-t)'(2+t),-2<t<0.f'(t)=-4(2-t)2(t+1),f(t)(2,1)，

在(－1,0)上单调递减，f(t)max=(-1)=27.△PAB面积的最大值为35.………………15分

17.解(1)依题意有即(b+c-bcosc-CCOSB)(a+b+c)=3bc,

又由余弦定理有a=bcosC+CCOSB,:(b+c-a)(a+b+c)=3bc,:b2+c'-a'=bc.

又A为△ABC中内角………………5分

2

又而

因为△ABC的面积为5，b=8,C=5.

在△ABC中，………………10分

(2)由(1)知b-a=2,c>4,.

设△ABC周长为L,则令t=c－4,

当且仅当时周长取最小值.

故当△ABC周长的最小时.………………15分

18.(1)

当a≤2时，f"(x)之0,f(x)在上单调递增，恒成立；

当a>2时，令f"(x)=09得则。<x<l<x2,

当xe(1,x2)时，f"(x)<0,f(x)在(1,x2)上单调递减，f(x)<f(1)=0，不合题意.

:as2.a的取值范围为(-0,2].………………5分

若g(x)有2个零点，即方程有2个根.

令h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，且x→+3o时h(x)→0,

解得………………10分

(ii)由(i)知alnx=(a+1)x,alnx2=(a+1)x2,

a(lnxp-lnx,)=(a+1)(xp-x,),a(lnx,+lnx2)=(a+1)(x+x,),

即

2

欲证x1x2>e，即证

3

令

2

p(t)在(1,+oo)上单调递增,:.p(t)>p(1)=0.即证x1x2>e.………………17分

19.(1)设摸到红球的个数为,依题意有………………3分

(2)(i)依题意

第5次时结束，即第4，5次必须是红球，第3次为黄球，前2次至少一次黄球，其概率为

………………7分

(ii)若恰好第n+3次时结束，则第n+1次为黄球，第n+2,n+3次为红球，且第n次没有结束，记第n次摸球没

有结束的概率为Qn,即………………9分

又第n+5次时结束可分为：当第n+1次为黄球时，则第n+2次为黄球红球均可以，之后连三次为黄球、红球、

红球，第n+5次结束，

当第n+1次为红球（且摸求没有结束）时，则第n+2次为黄球，之后连三次为黄球、红球、红球，第n+5次

结束，

综上

经验证：P1,P2,P3,P4,P5满足上式，

N*.………………12分

令PZ2-入P=q(P1-入P)9得P:2=(q+入)P1-入qp9)9

解得或………………13分

或