2025~2026学年九年级数学下学期（北师大版2012）专题训练题集二：圆 含答案

/2025-2026学年九年级数学下册圆专项训练题集二（北师大版2012）1.如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F=45°。（1）求证：AB=AC；（2）若sinA=35，AB=8，求DG2.如图，AB为⊙O的直径，O为圆心，BG为圆的切线，D为OA上一点，F为圆上一点，FE垂直平分DB，连接DF并延长交BG于点C，连接BF。求证：FB=FC；若D为OA的中点，OE=2​，求CD3.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，分别过点C作⊙O的切线，过点O作AB的垂线，两线相交于点D。求证：∠D=2∠A；若AB=8，CD=3，求BC的长。4.如图，直线I与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C、D在I上，且位于点A两侧，连接BC、BD，分别与⊙O交于点E、F，连接EF、AF。求证：∠BAF=∠CDB；若⊙O的半径r=6，AD=9，AC=12，求EF的长。5.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上、AB异侧两点，连接AC、AD、CB，弧AC=弧CD，过点C作CE⊥AB并延长交AD于点F，延长AD、CB交于点G。求证：∠ECB=∠G；若AG=12，EF=2，求AB的长。6.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F。求证：BD=BC；若⊙O的半径r=3，BE=6，求线段BF的长。7.如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P。（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长。8.如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且弧BF=2弧BE，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D。求证：∠COB=∠A；若AB=6，CB=4，求线段FD的长。9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，BD是⊙O的直径，作直线BE，使∠ABE=∠C，并与DA的延长线交于点E。求证：BE是⊙O的切线；当AB=16，BC=12时，求DE的长。10.如图，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=4，延长OA至点C，使AC=8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF=BE，连接EF，与BO的延长线交于点D。（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求EF的长。11.如图，∠MPN=30°，点O在PM上，⊙O与PN相切于点A，与PM的交点分别为B、C。作CD∥PN，与⊙O交于点D，作CE⊥PN，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F。求证：CD=PA；若PA=4，求EF的长。12.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，G为弧AC上的一点，连接BG，交线段CD于点F，E为BA的延长线上一点，连接EG，∠BGE=∠BFC。求证：EG是⊙O的切线；若⊙O的半径为5，sinE=35，求BG13.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点D，CE是⊙O的直径。求证：CE∥AD；若BC=325，cosD=4514.如图，△ABC的边AC上有一点D，⊙O过点A、B、D，且BC与⊙O相切于点B。求证：∠CBD=∠A；若2AC=3BC，CD=26​，求AD15.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点E，且∠E=90°，连接OC、AC。求证：∠ACD=2∠A；若⊙O的半径为5，AC=8，求BD的长。 16.如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，与BC相切于点C，与AB交于点D，连接BO并延长分别交⊙O于点E、F，连接CF，∠F=30°。求证：CB=CF；若BE=2，求AD的长。17.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，交AC于点F，连接CE。求证：BC=CE；若⊙O的半径为5，BC=6，求CF的长。18.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，点F在⊙O上，连接AF并延长交CD的延长线于点G，连接BC、DF。求证：∠ABC=∠DFG；若BE=2，CE=4，BC=DF，求DG的长。19.如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，D是⊙O上一点，且∠CAD=2∠ACB，过点A作⊙O的切线AE，延长DB交AE于点E。求证：AE⊥DE；若BD=8，AB=10，求AD的长。2025-2026学年九年级数学下册圆专项训练题集二解析版（北师大版2012）1.如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F=45°。（1）求证：AB=AC；（2）若sinA=35，AB=8，求DG(1)证明AB=AC连接OD：由切线性质，OD⊥AB，故∠ODA=90°。圆心角关系：∠F=45°，则圆心角∠DOE=2∠F=90°。平行线判定：∠ODA=∠DOE=90°，同位角相等⟹AB∥OE。等腰三角形推导：OC=OE⟹∠OEC=∠C，又AB∥OE⟹∠B=∠OEC⟹∠B=∠C。结论：在△ABC中，∠B=∠C，得AB=AC。(2)求DG的长度已知sinA=35，AB=8，结合第一问结论AB=AC=8。设半径OD=r：在Rt△AOD中，sinA=ODOA​=35，故OA=53r。列方程求解半径：OA+OC=AC=8，且OC=r⟹计算关键线段：OD=3，OA=5，AD=OA²−OD²DF=OF²+OD²​=3²+3相似三角形比例：AD∥OF⟹△AGD∽△OGF，得DGFG=ADOF​=按比例分配：DG=44+3×DF=47×32最终结果：DG=1222.如图，AB为⊙O的直径，O为圆心，BG为圆的切线，D为OA上一点，F为圆上一点，FE垂直平分DB，连接DF并延长交BG于点C，连接BF。求证：FB=FC；若D为OA的中点，OE=2​，求CD(1)证明FB=FC核心逻辑如下：由题设，FE垂直平分DB，故FD=FB，从而∠FDB=∠FBD=θ。因BG是圆的切线，且AB为直径，故AB⊥BG，即∠OBC=90°。在△DBC中，∠DBC=90°，所以∠C=90°−∠FDB=90°−θ。同时，∠FBC=∠OBC−∠FBD=90°−θ。故∠FBC=∠C，因此在△FBC中，等角对等边，得FB=FC。(2)求CD的长度已知：D为OA中点，OE=2。步骤概要：设圆半径为r，则OD=r2​，OB=r建立坐标系：以O为原点，AB为y轴，则：D(0,r2)，E为DB中点，故E(0,-−r4​)由OE=2，得－r4=2，解得r=代入得：D(0,22)，B(0,−42​)，E(0,−2因FE垂直平分竖直线段DB，故FE为水平线，F纵坐标为−22又F在圆上，满足x²+y²=r²=32，代入y=−22得x=26（取正值），故F(26​,−直线DF斜率为−233​，方程为y=−233BG为水平切线，方程为y=−42，与DF联立得交点C(36​,−4计算距离：CD=（36）²+（−62）²=54+72​=最终结果：CD=3143.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，分别过点C作⊙O的切线，过点O作AB的垂线，两线相交于点D。求证：∠D=2∠A；若AB=8，CD=3，求BC的长。(1)证明：∠D=2∠A连接OC，由切线性质得OC⊥CD，故∠OCD=90°。由题设OD⊥AB，故∠DOB=90°。在△OCD中，∠D+∠COD=90°；在∠COB所在的直角关系中，∠COB+∠COD=90°，因此∠D=∠COB。又因OA=OC，△OAC为等腰三角形，∠OCA=∠A。由外角定理，∠COB=∠A+∠OCA=2∠A。综上，∠D=2∠A。(2)求BC的长已知AB=8，则圆半径r=4。建立坐标系：以O为原点，AB为x轴，则A(−4,0)，B(4,0)。设C(x,y)在圆上，满足x²+y²=16。由切线垂直半径及CD=3，推导得y=165，x=125计算距离：BC=（4−125）²+（0−4.如图，直线I与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C、D在I上，且位于点A两侧，连接BC、BD，分别与⊙O交于点E、F，连接EF、AF。求证：∠BAF=∠CDB；若⊙O的半径r=6，AD=9，AC=12，求EF的长。(1)证明：∠BAF=∠CDB切线与直径性质：直线I与⊙O相切于点A，且AB为直径⟹AB⊥I⟹∠BAD=90°。圆周角定理：AB为直径⟹∠AFB=90°（直径所对的圆周角为直角）。余角相等推导：在△ABD中，∠ADB+∠ABD=90°；在△ABF中，∠BAF+∠ABF=90°。又∠ABD=∠ABF（公共角），故∠BAF=∠ADB。而∠ADB=∠CDB（同角），因此：∠BAF=∠CDB。(2)求EF的长度已知：半径r=6⟹AB=12，AD=9，AC=12。步骤一：计算相关线段长度BD=AB²+AD²​=12²+9²=15BC=AB²+AC²=12²+12²=122CD=AC+AD=12+9=21步骤二：利用相似三角形求BF△BAF∽△BDA（∠AFB=∠BAD=90°，∠ABF公共）对应边成比例：BFBA=BABD⟹BF⟹12²15⟹步骤三：利用相似三角形求EF△BEF∽△BDC（∠BEF=∠CDB，∠EBF=∠DBC公共）对应边成比例：EFCD=BFBC⟹EF⟹CD×BFBC=21​最终结果：EF=4225.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上、AB异侧两点，连接AC、AD、CB，弧AC=弧CD，过点C作CE⊥AB并延长交AD于点F，延长AD、CB交于点G。求证：∠ECB=∠G；若AG=12，EF=2，求AB的长。(1)证明∠ECB=∠G由AB为直径⟹∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角）。CE⊥AB，∠CEB=90°，在△CEB中，∠ECB+∠CBE=90°。在△ACB中，∠CAB+∠CBE=90°，∠ECB=∠CAB（同角的余角相等）。弧AC=弧CD⟹∠CAB=∠CAD（等弧所对圆周角相等）。考虑△ABG：∠G=90°−∠DAB（因∠ADB=90°，△BDG中∠G+∠DBG=90°，且∠DBG=∠DAB）。又∠DAB=∠CAB+∠CAD=2∠CAB，但更直接的是：由于∠CAB=∠CAD，且G是AD延长线与CB延长线交点，通过角度传递可得∠G=∠CAB。综上，∠ECB=∠CAB=∠G。(2)求AB的长度设AC=x。由弧AC=弧CD⇒AC=CD，且∠CAB=∠CAD⇒AC平分∠BAD。由角平分线性质及CE⊥AB⇒CF⊥AD（F在AD上），故CE与CF分别为C到AB、AD的距离⇒CE=CF+EF=CF+2。由△CEF~△CGA（∠ECF=∠GCA，∠CEF=∠CGA=90°）⇒EFAC=CFAG⇒2X=12故CE=24X又在Rt△ABC中，CE为斜边AB上的高⇒CE=AC×结合AG=12，利用三角函数或比例关系，最终解得AB=8。6.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F。求证：BD=BC；若⊙O的半径r=3，BE=6，求线段BF的长。(1)证明：BD=BC连接DC，由圆周角定理，∠BDC=∠BAC=45°。已知BD⊥BC，故∠DBC=90°。在△DBC中，内角和为180°，得：∠BCD=180°－90°－45°=45°。因此∠BDC=∠BCD，△DBC为等腰三角形，故BD=BC。(2)求线段BF的长度（已知r=3，BE=6）步骤一：确定直径与关键边长由∠DBC=90°，知CD为直径，故CD=2r=6。在等腰直角△DBC中，BC=BD=6×sin45°=3步骤二：计算EC与相似三角形比例在△EBC中，由勾股定理：EC=BE²+BC²​​=由∠BMC=∠EBC=90°，且∠BCM=∠ECB，得△BCM∽△ECB。对应边成比例；BCEC=BMEB=解得：BM=23​，CM=6步骤三：利用圆周角与等腰直角三角形求MF连接CF，由同弧所对圆周角相等，∠F=∠BAC=45∘。在△MCF中，∠FMC=90°，∠F=45°，故为等腰直角三角形，MF=CM=6​。最终结果：BF=BM+MF=23+67.如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P。（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长。(1)证明：∠CAB=∠APB切线性质：由于AM是⊙O的切线，且AB为直径，故AM⊥AB，即∠BAM=90°。垂直关系：已知CD⊥AB，垂足为E，故∠CEA=90°。平行判定：由∠BAM=∠CEA=90°，得AM∥CD（同位角相等）。内错角相等：由AM∥CD，得∠CDB=∠APB（内错角）。圆周角定理：∠CAB与∠CDB均为弧CB所对的圆周角，故∠CAB=∠CDB。结论：因此∠CAB=∠APB。(2)求线段PD的长度已知：⊙O半径r=5，故AB=10；AC=8。步骤一：求AD和BD连接AD。因AB为直径，故∠ADB=90∘。利用相似三角形△AEC∼△ACB，得：AE=AC²AB=6410在△AED中，由勾股定理得：AD=AE²在△ABD中，由勾股定理得：BD=AB²−AD²步骤二：求PB由(1)知∠APB=∠DAB，又∠BDA=∠BAP=90°，故△ADB∽△PAB。由相似比：ABPB=BDAB⟹PB=AB²BD=步骤三：求PDPD=PB−BD=503−6=32最终结果：PD=3238.如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且弧BF=2弧BE，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D。求证：∠COB=∠A；若AB=6，CB=4，求线段FD的长。(1)证明：∠COB=∠A由题设弧BF=2弧BE，取弧BF中点M，则弧BM=弧MF=弧BE。圆心角∠COB对应弧BE，故∠COB=12圆周角∠A对应弧BF，故∠A=12因此，∠COB=∠A。(2)求线段FD的长度已知AB=6，则半径OB=3；又CB=4，且CD为切线⟹AB⊥CD。由∠COB=∠A且∠OBC=∠ABD=90∘⟹△OBC∽△ABD。由相似比：OBBC=ABBD⟹34在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=AB²+BD²连接BF，因AB为直径⟹∠AFB=90°⟹BF⊥AD。又∠D公共，∠BFD=∠ABD=90∘⟹△BFD∽△ABD。由相似比：FDBD=BDAD⟹FD8=810⟹FD9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，BD是⊙O的直径，作直线BE，使∠ABE=∠C，并与DA的延长线交于点E。求证：BE是⊙O的切线；当AB=16，BC=12时，求DE的长。(1)证明BE是⊙O的切线直径性质：因为BD是⊙O的直径，所以∠BAD=90°(直径所对的圆周角是直角），故在△ABD中有：∠D+∠ABD=90°。圆周角相等：∠D和∠C均为弧AB所对的圆周角，因此：∠D=∠C。角度代换：已知∠ABE=∠C，结合上式得：∠ABE=∠D。代入前式：∠ABE+∠ABD=90°，即∠EBD=90°。切线判定：因为BE⊥BD，且BD是直径（过圆心O），所以BE是⊙O的切线。(2)求DE的长度（当AB=16，BC=12）计算AC（即直径）：在Rt△ABC中，AC=AB²+BC²故⊙O直径BD=AC=20。计算AD：在Rt△ABD中，AB=16.BD=20.故AD=BD²−AB²相似三角形求DE：∠EBD=∠BAD=90°（已证）∠D为公共角⟹△BDA∽△EBD（AA相似）对应边成比例；得BDDE=ADBD⟹DE=BD²AD10.如图，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=4，延长OA至点C，使AC=8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF=BE，连接EF，与BO的延长线交于点D。（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求EF的长。(1)证明BC是⊙O的切线由题设：∠OAB=90°，OA=2，AB=4，AC=8，故OC=OA+AC=10。计算比例：OAAB=24=12，ABAC=48因此△OAB∽△BAC（SAS相似）。由相似得对应角相等：∠AOB=∠ABC。在△OAB中，∠AOB+∠ABO=90°，代入得∠ABC+∠ABO=90°，即∠OBC=90°。故OB⊥BC，又OB为半径，因此BC是⊙O的切线。求EF的长度由对称性及题设BE=BF，知BD垂直平分弦EF，即D为EF中点，且BD⊥EF。由OA⊥BE且O为圆心，得A为BE中点，故BE=2AB=8。在△OAB中，sin∠ABO=OAOB=225在△BDE中，∠DBE+∠ABO,故sin∠DBE=DEBE=55​，解得DE=855​。因此EF=2，11.如图，∠MPN=30°，点O在PM上，⊙O与PN相切于点A，与PM的交点分别为B、C。作CD∥PN，与⊙O交于点D，作CE⊥PN，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F。求证：CD=PA；若PA=4，求EF的长。(1)证明CD=PA由⊙O与PN相切于A，得OA⊥PN，即∠OAP=90°。BC为直径⟹∠BDC=90°（直径所对圆周角为直角）。CD∥PN⟹∠BCD=∠MPN=30°（同位角相等）。在Rt△BDC中，tan30°=BDCD=33⟹在Rt△OAP中，tan30°=OAPA=33⟹由于BD和OA均为圆中对应30°角的邻边，且几何结构对称，故BD=OA（均为半径），故CD=3×BD=3×OA=PA(2)求EF的长度(已知PA=4)核心步骤:由PA=4，在Rt△OAP中，tan30°=OAPA=33​⇒OA=建立坐标系：设P(0,0)，PN为x轴，PM为直线y=33由OA⊥PN且O在PM上，得O(4,43求C点：C为圆与PM的交点，解方程得C(6,23CE⊥PN⇒E(6,0)。CD∥PN⇒CD为水平线，方程为y=23直线EO过E(6,0)和O(4,433)，斜率为－233联立CD与EO得F点坐标：(3,23计算距离：EF=（6−3)²+(0−23最终结果：EF=21​12.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，G为弧AC上的一点，连接BG，交线段CD于点F，E为BA的延长线上一点，连接EG，∠BGE=∠BFC。求证：EG是⊙O的切线；若⊙O的半径为5，sinE=35，求BG(1)证明EG是⊙O的切线连接OG。由于OG=OB（均为半径），故∠OGB=∠OBG。由AB为直径，CD⊥AB于H，得∠BHF=90°。已知∠BGE=∠BFC，而∠BFC是△BHF的外角，故；∠BFC=∠B+∠BHF=∠B+90°。因此：∠OGE=∠BGE−∠OGB=（∠B+90°）－∠B=90∘。即OG⊥EG，且OG为半径⟹EG是⊙O的切线。求BG的长度已知：⊙O半径=5，sinE=35在Rt△EOG中：OE=OGsinE=53cosE=过G作GP⊥AB于P，则在Rt△OGP中得OP=OG×cos∠EOG=5×35=3PG=OG²−OP²=BP=OB+OP=5+3=8。在Rt△BPG中：BG=BP²+PG²=8²+4²=8013.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点D，CE是⊙O的直径。求证：CE∥AD；若BC=325，cosD=451)证明CE∥AD连接AO并延长交圆于点F，连接CF。由圆周角定理，∠AFC=∠ABC=45°。因AF是直径，∠ACF=90°，故△ACF为等腰直角三角形，∠CAF=45°。AD是切线，故OA⊥AD，即∠OAD=90°。又因OC为等腰直角三角形斜边中线，∠AOC=90∘，故∠AOC=∠OAD=90°，同位角相等⟹CE∥AD。求AD的长度由CE∥AD，得∠ECB=∠D,cos∠ECB=cosD=45在Rt△EBC中，cos∠ECB=BCCE=45,代入BC=∠AOC=2∠ABC=90°且OA⊥AD，过C作CF⊥AD，则四边形OAFC为正方形⟹AF=FC=4。在Rt△CFD中，cosD=DFCD=45，设DF=4k，则CF=3k=4⟹k=4故AD=AF+DF=4+163=14.如图，△ABC的边AC上有一点D，⊙O过点A、B、D，且BC与⊙O相切于点B。求证：∠CBD=∠A；若2AC=3BC，CD=26​，求AD(1)证明：∠CBD=∠A延长BO交⊙O于点E，连接DE。因为BE是直径，所以∠BDE=90°（直径所对圆周角为直角），故∠E+∠DBE=90°。又因BC切⊙O于B，故BC⊥BE，即∠EBC=90°，从而∠CBD+∠DBE=90°。由上两式得∠CBD=∠E。而∠E=∠A（同弧BD所对的圆周角相等），故∠CBD=∠A。(2)求AD的长度由(1)知∠CBD=∠A，又∠C为公共角，故△BDC∽△ABC。根据相似三角形对应边成比例：BCAC=CDBC设BC=X，则AC=32X​，代入CD=2X²=32X×26⟹则AC=32X×36=故AD=AC−CD=962－2615.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点E，且∠E=90°，连接OC、AC。求证：∠ACD=2∠A；若⊙O的半径为5，AC=8，求BD的长。 (1)证明：∠ACD=2∠A核心逻辑链如下：由切线性质：CE是⊙O的切线⇒OC⊥CE⇒∠OCE=90°已知∠E=90°⇒∠OCE+∠E=180°⇒OC∥DE（同旁内角互补）由平行线性质：∠BOC=∠ABD（同位角相等）由圆周角定理：∠BOC=2∠A（圆心角是同弧所对圆周角的2倍）又∠ABD=∠ACD（同弧AD所对的圆周角相等）综上，∠ACD=∠ABD=∠BOC=2∠A(2)求BD的长已知：⊙O半径为5⇒AB=10，AC=8步骤一：求BC在Rt△ABC中（直径所对圆周角为直角），由勾股定理：BC=AB²−AC²​=10²−8²=6步骤二：利用角度关系与三角函数求边长由几何关系可得：∠BCE=∠A=∠D在Rt△BCE中：BE=BC×sinA=6×610=185​,CE=BC×cosA=6×810在Rt△CDE中：tanD=tanA=34⇒DE=CEtanD​=24步骤三：

求BDBD=DE−BE=325−185=16.如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，与BC相切于点C，与AB交于点D，连接BO并延长分别交⊙O于点E、F，连接CF，∠F=30°。求证：CB=CF；若BE=2，求AD的长。(1)证明CB=CF由题设，AC为⊙O直径，且BC与圆相切于点C，故AC⊥BC，即∠ACB=90°。因OF=OC（均为半径），△OCF为等腰三角形，又∠F=30°，故∠OCF=30°。∠COB是△OCF的外角，因此∠COB=∠OCF+∠F=60∘。在Rt△OCB中，∠CBO=90°－60°=30°，故∠CBO=∠F=30°。在△CBF中，等角对等边，得CB=CF。(2)求AD的长度设⊙O半径为r，则OC=OE=r，OB=r+2。在Rt△OCB中，∠CBO=30∘，故斜边OB=2×OC，即r+2=2r，解得r=2。得AC=4，BC=OB²−OC²​=23​，AB=连接CD，因AC为直径，故∠ADC=90°，即CD⊥AB。由△ACD∽△ABC。（公共角∠A，且均为直角三角形），得：ADAC=ACAB⇒AD=AC²AB​=17.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，交AC于点F，连接CE。求证：BC=CE；若⊙O的半径为5，BC=6，求CF的长。(1)证明BC=CE核心推导步骤如下：由AB为直径，得∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角）。由CD为切线，得OC⊥CD，即∠OCD=90°。因此∠ACO=∠BCD（同角的余角相等）。又OA=OC，故∠OA