高中数学苏教版 (2019)必修 第一册8.2 函数与数学模型教案

高中数学苏教版(2019)必修第一册8.2函数与数学模型教案教学内容高中数学苏教版（2019）必修第一册8.2函数与数学模型

本节课主要涉及函数与数学模型的相关知识，包括函数的概念、性质、图像以及函数模型在实际问题中的应用。具体内容包括：函数的定义、函数的图像、函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）、函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等）。通过本节课的学习，学生能够掌握函数的基本概念和性质，并能运用函数模型解决实际问题。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六大核心素养。通过学习函数与数学模型，学生能够理解函数的本质，发展数学抽象能力；通过分析函数性质，锻炼逻辑推理和直观想象；通过建立和解决实际问题，提升数学建模和数据分析能力；同时，通过函数图像的绘制和函数性质的探究，强化数学运算能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了高中数学必修课程的基础知识，包括实数、函数的基本概念、集合、数列等。他们对函数的定义和性质有一定的了解，能够绘制简单的函数图像，并对函数的简单应用有一定的认识。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对数学的学习兴趣因人而异，一些学生对函数的抽象性质和应用场景表现出浓厚的兴趣，而另一些学生可能对抽象的数学概念感到困惑。学生的数学能力也有差异，部分学生具有较强的逻辑推理能力和抽象思维能力，能够较快地理解和掌握函数的相关知识；而部分学生可能在理解和运用函数概念时遇到困难。

学生的学习风格各异，有的学生偏好通过实例和直观的图像来理解数学概念，有的学生则更倾向于通过逻辑推导和符号运算来解决问题。因此，在教学过程中，需要兼顾不同学生的学习风格。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习函数与数学模型时，可能遇到的困难包括：对函数概念的深入理解、函数图像的准确绘制、函数性质的灵活运用以及如何将函数模型应用于实际问题。特别是在解决实际问题时，学生可能难以将抽象的数学模型与具体情境相结合。因此，教师需要通过多种教学策略帮助学生克服这些挑战，如提供丰富的实例、引导学生进行合作学习、鼓励学生进行问题探究等。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、计算机）、白板、粉笔、黑板

-课程平台：学校内部教学平台、在线教育资源平台

-信息化资源：函数图像绘制软件、数学建模案例库、数学教学视频资源

-教学手段：PPT课件、教学模型、实物教具（如函数图像的模型）、互动式教学软件教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求，例如要求学生预习函数的基本概念和一次函数的性质。

设计预习问题：围绕“函数的基本概念和一次函数的性质”，设计问题如“什么是函数？函数有哪些基本性质？一次函数的图像是什么形状？”，引导学生自主思考。

监控预习进度：通过平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果，例如通过预习报告或在线测试来了解学生的预习情况。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生按照预习要求，自主阅读预习资料，理解函数的基本概念和一次函数的性质。

思考预习问题：学生针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问，例如对函数定义中的“对应关系”进行深入思考。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过预习任务，培养学生的自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台和微信群，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解函数的基本概念和一次函数的性质，为课堂学习做好准备。

培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过现实生活中的实例，如描述物体的运动轨迹，引出“函数”的概念，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解函数的定义、性质以及一次函数的图像和方程，结合实例帮助学生理解，例如通过绘制函数图像来展示函数的性质。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生根据函数的性质讨论并预测函数图像的形状。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题，例如“如何判断一个函数是单调的？”

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，通过合作学习来加深对函数性质的理解。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解函数的定义和性质。

实践活动法：通过小组讨论等活动，让学生在实践中掌握函数的性质。

作用与目的：

帮助学生深入理解函数的定义和性质，掌握一次函数的图像和方程。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置与函数相关的应用题，如经济模型中的函数应用，巩固学习效果。

提供拓展资源：提供与函数模型相关的书籍或在线资源，如数学建模的案例研究。

学生活动：

完成作业：学生认真完成作业，如分析实际问题的函数模型。

拓展学习：学生利用拓展资源，如在线论坛或数学建模俱乐部，进行进一步的学习。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：通过作业和拓展学习后的反思，帮助学生发现自身不足。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的函数知识和技能。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。教师随笔Xx拓展与延伸一、提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

1.《数学建模与数学应用》：这本书详细介绍了数学建模的基本原理和方法，以及数学模型在各个领域的应用实例，如经济学、生物学、工程学等。通过阅读这本书，学生可以了解函数模型在实际问题中的应用，并学习如何构建和应用数学模型。

2.《高等数学导论》：这本书是大学阶段高等数学的入门教材，其中包含了函数、极限、导数、积分等基本概念和理论。学生可以通过阅读这本书，进一步深化对函数的理解，为后续学习打下坚实的基础。

3.《数学思维训练》：这本书通过大量的数学题目和案例，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。其中涉及到的函数问题，可以帮助学生从不同角度理解和掌握函数的相关知识。

二、鼓励学生进行课后自主学习和探究

1.函数的性质探究：鼓励学生探究函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，并尝试用数学语言描述这些性质。例如，学生可以尝试证明函数$f(x)=ax^2+bx+c$（其中$a\neq0$）的单调性。

2.函数图像变换探究：引导学生探究函数图像的平移、伸缩、翻折等变换规律，并尝试用数学语言描述这些变换。例如，学生可以尝试证明函数$y=a\sin(bx+c)+d$的图像变换规律。

3.函数在实际问题中的应用探究：鼓励学生收集生活中的实际问题，如经济、物理、生物学等领域，尝试用函数模型进行描述和解决。例如，学生可以尝试用函数模型描述城市人口增长、商品销售量等。

4.函数竞赛题目的训练：推荐学生参加数学竞赛，如全国高中数学联赛、美国数学竞赛（AMC）等，通过解决竞赛题目，提高学生的数学思维能力和解题技巧。

5.数学建模实践：鼓励学生参加数学建模竞赛或实践活动，如全国大学生数学建模竞赛等。通过实际操作，学生可以学习如何将数学知识应用于解决实际问题，提高数学建模能力。

6.利用网络资源进行学习：引导学生利用网络资源，如在线课程、教育论坛等，拓宽知识面，提高学习效果。例如，学生可以观看相关的数学教学视频，了解函数的最新研究成果。

三、总结

本节课的拓展与延伸旨在帮助学生深入理解函数的相关知识，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。通过拓展阅读材料、课后自主学习和探究，学生可以更好地掌握函数的性质、图像变换以及在实际问题中的应用，为后续学习打下坚实的基础。教师随笔教学评价1.课堂评价：

在课堂教学中，我将通过提问、观察和测试等方式，对学生的学习情况进行实时评价。提问环节将设计不同难度的问题，旨在检验学生对函数概念、性质和图像的理解程度。通过观察学生的课堂参与度、回答问题的准确性和思维的深度，我可以及时了解学生的学习状态，发现他们在学习过程中可能存在的困难。例如，对于函数图像的识别，我会提出“如何判断函数在特定区间内的单调性？”这样的问题，以评估学生对函数单调性的掌握情况。

2.形成性评价：

为了全面了解学生的学习进度，我会在课堂上进行一些随堂小测试，如绘制函数图像、解答简单的函数问题等。这些测试将帮助学生巩固知识点，同时也能让我了解他们对知识的掌握程度。此外，我会鼓励学生参与小组讨论和合作学习，通过观察他们在小组活动中的表现，评估他们的团队协作能力和沟通技巧。

3.作业评价：

学生的作业是评价他们学习效果的重要途径。我会对学生的作业进行认真批改和点评，确保每个学生都能得到个性化的反馈。作业评价不仅包括对答案正确性的检查，还包括对解题过程的评价，以鼓励学生展示他们的思维过程。对于错误，我会提供详细的解释和纠正方法，帮助学生理解错误的原因，并学会如何避免类似的错误。例如，对于一次函数的图像绘制作业，我会关注学生是否正确理解了斜率和截距的概念，并能够准确地绘制图像。

4.总结性评价：

在课程结束时，我会通过期末考试或综合测试来对学生进行总结性评价。这些评价将涵盖整个学期的学习内容，包括函数的定义、性质、图像和模型应用等。通过这些评价，我可以全面了解学生对函数知识的掌握情况，并为下一阶段的教学提供参考。

5.反馈与改进：

教学评价的结果将用于反馈给学生，帮助他们了解自己的学习进步和需要改进的地方。同时，这些反馈也将用于自我反思和教学改进，确保教学活动能够更好地适应学生的学习需求，提高教学效果。典型例题讲解1.例题：已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(h,k)$，求函数的解析式。

解答：由于函数的图像开口向上，可知$a>0$。顶点坐标为$(h,k)$，则函数的对称轴为$x=h$。根据顶点公式，有：

$$

\begin{cases}

h=-\frac{b}{2a}\\

k=f(h)=a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c

\end{cases}

$$

解得：

$$

\begin{cases}

a=\frac{1}{2}\\

b=-2\\

c=1

\end{cases}

$$

因此，函数的解析式为$f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+1$。

2.例题：已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像与x轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$，且顶点坐标为$(2,4)$，求函数的解析式。

解答：由于函数的图像与x轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$，可知$x=1$和$x=3$是函数的根。根据顶点公式，有：

$$

\begin{cases}

h=-\frac{b}{2a}=2\\

k=f(h)=4

\end{cases}

$$

又因为$f(1)=0$和$f(3)=0$，代入函数解析式得：

$$

\begin{cases}

a+b+c=0\\

9a+3b+c=0

\end{cases}

$$

解得：

$$

\begin{cases}

a=-1\\

b=2\\

c=-1

\end{cases}

$$

因此，函数的解析式为$f(x)=-x^2+2x-1$。

3.例题：已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向下，且经过点$(0,1)$和$(1,0)$，求函数的解析式。

解答：由于函数的图像开口向下，可知$a<0$。代入点$(0,1)$和$(1,0)$，得：

$$

\begin{cases}

f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=1\\

f(1)=a\cdot1^2+b\cdot1+c=0

\end{cases}

$$

解得：

$$

\begin{cases}

c=1\\

a+b+c=0

\end{cases}

$$

解得：

$$

\begin{cases}

a=-2\\

b=1

\end{cases}

$$

因此，函数的解析式为$f(x)=-2x^2+x+1$。

4.例题：已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像与y轴交于点$(0,c)$，且过点$(1,2)$和$(2,1)$，求函数的解析式。

解答：代入点$(1,2)$和$(2,1)$，得：

$$

\begin{cases}

a\cdot1^2+b\cdot1+c=2\\

a\cdot2^2+b\cdot2+c=1

\end{cases}

$$

解得：

$$

\begin{cases}

a=-\frac{1}{2}\\

b=\frac{3}{2}\\

c=1

\end{cases}

$$

因此，函数的解析式为$f(x)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x+1$。

5.例题：已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(h,k)$，过点$(1,4)$和$(2,3)$，求函数的解析式。

解答：由于函数的图像开口向上，可知$a>0$。代入点$(1,4)$和$(2,3)$，得：

$$

\begin{cases}

a\cdot1^2+b\cdot1+c=4\\

a\cdot2^2+b\cdot2+c=3

\end{cases}

$$

又因为顶点坐标为$(h,k)$，有：

$$

\begin{cases}

h=-\frac{b}{2a}\\

k=f(h)=ah^2+bh+c

\end{cases}

$$

解得：

$$

\begin{cases}

a=1\\

b=-2\\

c=1

\end{cases}

$$

因此，函数的解析式为$f(x)=x^2-2x+1$。板书设计①函数与数学模型

-函数的定义

-函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）

-函数图像

-函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数）

②函数的基本概念

-定义域

-值域

-对应法则

③函数图像的绘制

-坐标轴

-确定关键点（顶点、交点、渐近线）

-连接点形成图像

④函数性质的应用

-单调性：增减性

-奇偶性：对称性

-周期性：周期长度

⑤函数模型的应用

-一次函数：线性关系

-二次函数：抛物线关系

-指数函数：指数增长或衰减

-对数函数：对数增长或衰减

⑥实际问题中的应用

-经济模型

-物理模型