高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用教案

高中数学北师大版(2019)必修第一册4.3一元二次不等式的应用教案教学课题课时备课时间授课时间课程基本信息1.课程名称：一元二次不等式的应用

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2023年10月12日第2节课

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标分析二、核心素养目标分析通过实际问题抽象一元二次不等式模型，培养数学抽象能力；在推导解集过程中强化逻辑推理，发展严谨思维；运用不等式解决最值、范围等问题，提升数学建模意识；准确求解不等式，增强数学运算素养；结合函数图像直观理解解集，发展直观想象；分析实际问题中的变量关系，渗透数据分析观念。教学难点与重点1.教学重点，①一元二次不等式在实际问题中的建模方法，将利润、行程等具体问题转化为不等式模型；②结合二次函数图像求解一元二次不等式，理解解集与根、对称轴的关系。

2.教学难点，①从实际问题中抽象出变量间的不等式关系，准确理解题意并确定约束条件；②含参数一元二次不等式的分类讨论，依据参数对二次项系数、判别式的影响确定解集。教学方法与手段教学方法：

①问题驱动法，通过利润最大值、行程时间等实际问题情境，引导学生自主建模；

②合作探究法，分组讨论含参数不等式的分类讨论策略，培养协作能力；

③讲练结合法，精讲图像解法与实际应用例题，即时反馈学生解题效果。

教学手段：

①PPT动态展示二次函数图像与不等式解集的对应关系；

②几何画板演示参数变化对解集的影响，突破分类讨论难点；

③实物投影展示学生典型解题过程，强化规范书写与逻辑表达。教学过程设计基本内容1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对一元二次不等式实际应用的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，商家如何定价才能使利润最大化？这个问题能用数学方法解决吗？”

展示商场促销海报图片，标注进价、售价与利润关系，引导学生思考变量间的约束条件。

简短介绍一元二次不等式在优化问题中的核心作用，强调其作为数学建模工具的现实意义，自然过渡到本节课主题。

2.一元二次不等式基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生掌握一元二次不等式建模方法及图像解法。

过程：

讲解一元二次不等式的标准形式\(ax^2+bx+c>0\)（或\(<0\)），明确二次项系数\(a\)、判别式\(\Delta\)、方程根与解集的对应关系。

动态PPT展示二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像，标注开口方向、x轴交点，直观呈现解集与函数值的关联。

以教材P89例1为例，分析“商品定价问题”中利润函数\(P(x)=-x^2+100x-2000\)的建模过程，示范如何通过求根确定售价范围。

3.典型案例分析（20分钟）

目标：通过实际案例深化对一元二次不等式应用的理解。

过程：

案例1（教材P89例1）：

-背景分析：商品定价问题，利润函数为二次函数。

-特点讲解：求利润非负时售价\(x\)的取值范围，需解不等式\(-x^2+100x-2000\geq0\)。

-关键步骤：先求对应方程的根\(x_1=20,x_2=80\)，结合抛物线开口向下确定解集\([20,80]\)。

案例2（教材P90例3）：

-背景分析：行程时间问题，涉及速度与时间的不等式约束。

-特点讲解：建立不等式\(\frac{60}{v}+\frac{60}{v+20}\leq2.5\)，转化为\(v^2+80v-2880\geq0\)求解。

-小组任务：讨论判别式\(\Delta>0\)时两根\(v_1=16,v_2=-180\)，结合实际意义\(v>0\)确定解集\([16,+\infty)\)。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养合作解决含参数不等式问题的能力。

过程：

分组任务：每组讨论含参数不等式\(x^2-(k+1)x+k>0\)的解集随\(k\)的变化规律。

讨论方向：

-分析判别式\(\Delta=(k+1)^2-4k=k^2-2k+1=(k-1)^2\geq0\)恒成立；

-根据方程根\(x_1=1,x_2=k\)，分类讨论\(k<1\)、\(k=1\)、\(k>1\)时的解集。

每组记录讨论结果，准备展示逻辑推理过程。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼表达能力，深化对参数分类讨论的理解。

过程：

小组代表展示：

-第一组：当\(k<1\)时，解集为\((-\infty,k)\cup(1,+\infty)\)；

-第二组：当\(k=1\)时，不等式恒成立，解集为\(\mathbb{R}\)；

-第三组：当\(k>1\)时，解集为\((-\infty,1)\cup(k,+\infty)\)。

师生互动：提问“若\(k=0\)，解集是否成立？”，强化对根的大小关系的理解。

教师总结：强调分类讨论的依据（参数对根的位置影响），规范书写解集的区间表示。

6.课堂小结（5分钟）

目标：巩固核心方法，强化应用意识。

过程：

回顾内容：一元二次不等式建模的“三步法”——建立函数模型、求根、结合图像确定解集。

强调价值：在利润优化、行程规划等实际问题中，不等式是决策的重要数学工具。

布置作业：

-基础题：教材P91习题4.3第1、3题（巩固解法）；

-拓展题：设计一个“商品定价”问题，要求利润不低于2000元，写出不等式并求解。学生学习效果六、学生学习效果

###一、知识掌握：系统构建一元二次不等式应用的知识体系

学生能够准确理解一元二次不等式的标准形式\(ax^2+bx+c>0\)（或\(<0\)），明确二次项系数\(a\)的符号决定抛物线开口方向，判别式\(\Delta=b^2-4ac\)决定方程根的情况，进而掌握解集与根、开口方向的对应关系。例如，对于不等式\(x^2-5x+6>0\)，学生能快速求出根\(x_1=2\)、\(x_2=3\)，结合开口向上确定解集为\((-\infty,2)\cup(3,+\infty)\)。同时，学生能区分“严格不等式”与“非严格不等式”解集的端点处理，如\(x^2-4x+4\geq0\)的解集为\(\{2\}\cup\mathbb{R}\setminus\{2\}\)（即实数集），体现了对细节的精准把握。

在含参数不等式方面，学生能依据参数对二次项系数、判别式及根的影响进行分类讨论。例如，对于不等式\(x^2-(k+1)x+k>0\)，学生能通过判别式\(\Delta=(k-1)^2\geq0\)恒成立，进一步分析根\(x_1=1\)、\(x_2=k\)的大小关系，分\(k<1\)、\(k=1\)、\(k>1\)三种情况写出解集，展现了逻辑的严密性。

###二、能力提升：强化数学建模与问题解决的核心能力

学生具备将实际问题抽象为一元二次不等式模型的思维能力。以教材P89例1“商品定价问题”为例，学生能自主设售价为\(x\)元，建立利润函数\(P(x)=-x^2+100x-2000\)，并根据“利润非负”列出不等式\(-x^2+100x-2000\geq0\)，通过求根\(x_1=20\)、\(x_2=80\)及开口向下确定售价范围为\([20,80]\)元，体现了“实际问题—数学模型—解集应用”的完整建模过程。

在解决变式问题时，学生能灵活调整模型。例如，对于行程时间问题（教材P90例3），学生能设速度为\(v\)km/h，建立不等式\(\frac{60}{v}+\frac{60}{v+20}\leq2.5\)，通过通分转化为\(v^2+80v-2880\geq0\)，结合实际意义\(v>0\)求解得\(v\geq16\)，展现了迁移应用能力。

###三、核心素养发展：落实数学学科核心素养的培养目标

1.**数学抽象**：学生能从具体问题中抽象出变量与不等式的关系。例如，在“商品定价”问题中，忽略无关信息（如包装成本），聚焦售价\(x\)与利润\(P(x)\)的二次函数关系，提炼出核心数学模型。

2.**逻辑推理**：学生在分类讨论中展现严谨思维。例如，含参数不等式\(ax^2+bx+c>0\)中，学生能先讨论\(a=0\)（是否为一次不等式），再讨论\(a\neq0\)时\(\Delta\)的符号，最后结合开口方向确定解集，步骤清晰，逻辑连贯。

3.**数学建模**：学生能运用不等式解决优化问题。例如，在“利润最大化”问题中，不仅求解非负范围，还能进一步通过二次函数顶点坐标确定最优售价\(x=50\)元，体现建模的深度应用。

4.**直观想象**：学生能通过二次函数图像理解解集。例如，对于不等式\(x^2-2x-3<0\)，学生能画出抛物线\(y=x^2-2x-3\)，标出与x轴交点\(x_1=-1\)、\(x_2=3\)，根据开口向下直观得出解集为\((-1,3)\)。

5.**数学运算**：学生能熟练求解一元二次方程及不等式。例如，对不等式\(2x^2-3x-2>0\)，学生能通过求根公式准确求出\(x_1=-\frac{1}{2}\)、\(x_2=2\)，并正确写出解集\((-\infty,-\frac{1}{2})\cup(2,+\infty)\)。

###四、应用意识增强：体会数学与生活的紧密联系

学生认识到一元二次不等式在生活中的广泛应用，主动用数学视角分析问题。例如，在讨论“商品促销”时，学生能提出“若进价40元，售价不低于50元且不高于80元时利润不低于1000元，如何列不等式？”的问题，并自主建模求解；在“行程规划”中，能根据时间限制推导速度范围，体现了“用数学解决实际问题”的意识。

###五、学习习惯养成：规范表达与合作探究能力提升

学生养成规范书写解题过程的习惯。例如，在含参数不等式求解中，能分情况标注“①当\(k<1\)时……”“②当\(k=1\)时……”，并明确写出解集的区间表示；在小组讨论中，能分工合作（如一人负责求根、一人负责分类讨论、一人负责记录），清晰表达思路，并在课堂展示中主动补充其他同学的不足，展现了良好的合作与表达能力。

综上，通过本节课的学习，学生不仅扎实掌握了一元二次不等式的应用知识，更在核心素养、问题解决能力及学习习惯方面得到全面提升，为后续学习函数、导数等知识奠定了坚实基础，真正实现了“学数学、用数学”的教学目标。教学反思与改进这节课结束后，我注意到学生在含参数不等式的分类讨论上还存在混淆，特别是当参数影响二次项系数或判别式时，容易遗漏情况。比如讨论\(ax^2+bx+c>0\)时，部分学生忘记先分\(a=0\)和\(a\neq0\)两种情况。另外，建模环节中，学生对“行程问题”的转化速度较慢，可能是因为教材例题的铺垫不够充分。

下节课准备增加对比练习，比如同时给出\(kx^2-2x+1>0\)和\(x^2-kx+1>0\)两类不等式，引导学生对比参数位置对分类逻辑的影响。同时，在建模环节补充教材P91习题4.3第5题的变式，增加“成本控制”类问题的训练，强化学生从文字中提取关键约束条件的能力。

课堂展示环节，部分小组的发言逻辑不够清晰，下次会提前指导学生用“条件—分析—结论”的模板组织语言，并增加教师追问环节，如“若参数取负值，解集会怎样变化？”，帮助学生深化理解。最后，计划在课后增加错题归档，收集典型错误分类案例，为后续复习提供针对性素材。教学评价课堂评价：通过课堂提问实时检测学生对一元二次不等式建模的理解，如针对教材P89例1提问“利润非负时售价范围如何确定”，观察学生是否能准确列出不等式并求解；在小组讨论环节巡视含参数不等式（如\(x^2-(k+1)x+