【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟 函数的模型及其应用 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练（十七）函数的模型及其应用1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y=2x-2 B.y=12(x2C.y=log2x D.y=log12.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为6.3×1010焦耳，6级地震所释放的能量为6.3×1013焦耳，则平原县发生的5.5级地震所释放的能量约为(参考数据：lg6.3≈0.8，100.05≈1.1)()A.8×1011焦耳 B.1.1×1011焦耳C.8×1012焦耳 D.1.1×1013焦耳3.某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为y=y0·ekt，其中y0为初始量，k为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%.该品牌塑料袋残留量为初始量的10%，大约需要经过(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A.20年 B.16年C.12年 D.7年4.“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=−10t+290，0≤tA.5小时 B.6小时C.7小时 D.8小时5.(2024·沈阳二模)[多选]半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用f(t)表示从t=0开始，晶体管数量随时间t变化的函数，若f(0)=1000，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是()A.若t是以月为单位，则f(t)=1000+1253B.若t是以年为单位，则f(t)=1000×(2)tC.若t是以月为单位，则lgf(t)=3+lg224D.若t是以年为单位，则lgf(t)=3+lg6.[多选]为预防流感病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒，教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示.在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=18x−a(A.当0≤x≤0.2时，y=5xB.当x>0.2时，y=1C.2330D.13157.记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，则太阳的质量M=4π2R3GA.2×1029kg B.2×1030kgC.3×1029kg D.3×1030kg8.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则PP棉滤芯的层数最少为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A.9 B.8C.7 D.69.研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5℃.若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约℃.(参考数据：lg2≈0.3010)

10.研究发现某人的行车速度v(km/h)与行驶地区的人口密度p(人/km2)有如下关系：v=50×(0.5+2-0.00004p)，若此人在人口密度为a人/km2的地区的行车速度为70km/h，则他在人口密度为2a人/km2的地区的行车速度是km/h.

11.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.12.某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为f(x)(单位：万元)，当年产量不超过14万件时，f(x)=23x2+4x；当年产量超过14万件时，f(x)=17x+400(1)写出年利润g(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片?

（解析）精练（十七）函数的模型及其应用1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y=2x-2 B.y=12(x2C.y=log2x D.y=log1解析：选B由题表可知函数在(0，+∞)上单调递增，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为6.3×1010焦耳，6级地震所释放的能量为6.3×1013焦耳，则平原县发生的5.5级地震所释放的能量约为(参考数据：lg6.3≈0.8，100.05≈1.1)()A.8×1011焦耳 B.1.1×1011焦耳C.8×1012焦耳 D.1.1×1013焦耳解析：选D由题意可设lgE=λM+μ，则lg(6.3×1010)=4λ+μ，lg(6.3×1013)=6λ+μ，解得λ=1.5，μ=4.8，所以lgE=1.5M+4.8，所以E=103.某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为y=y0·ekt，其中y0为初始量，k为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%.该品牌塑料袋残留量为初始量的10%，大约需要经过(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A.20年 B.16年C.12年 D.7年解析：选B依题意有t=2时，75%y0=y0·e2k，则ek=0.75.当y0·ekt=10%y0时，有0.75t=0.1，lg(0.75)t=lg0.1，t=lg0.1lg0.75=−1124.“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=−10t+290，0≤tA.5小时 B.6小时C.7小时 D.8小时解析：选C由题知，当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动，即当AQI小于等于200时，适宜开展户外活动，即y≤200.因为y=−10t+290，0≤t≤12，56t−24，12<t≤24，所以当0≤t≤12时，只需-10t+290≤200，解得9≤t5.(2024·沈阳二模)[多选]半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用f(t)表示从t=0开始，晶体管数量随时间t变化的函数，若f(0)=1000，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是()A.若t是以月为单位，则f(t)=1000+1253B.若t是以年为单位，则f(t)=1000×(2)tC.若t是以月为单位，则lgf(t)=3+lg224D.若t是以年为单位，则lgf(t)=3+lg解析：选BC选项A，f(24)=2000=2f(0)，f(48)=3000≠2f(24)，不符合；选项B，f(2)=2000=2f(0)，f(4)=4000=2f(2)，f(2n)=1000×2n，n∈N*，符合；选项C，lgf(t)=3+lg224t，则f(t)=103+lg224t=1000×2t24，f(24)=2000，f(48)=4000=2f(24)，f(24n)=1000×2n，n∈N*，符合；选项D，lgf(t)=3+lg32t+12，则f(t)=1000×6.[多选]为预防流感病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒，教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示.在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=18x−a(A.当0≤x≤0.2时，y=5xB.当x>0.2时，y=1C.2330D.1315解析：选AD当0≤x≤0.2时，设y=kx，则1=0.2k，故k=5，故A正确；当x>0.2时，把(0.2，1)代入y=18x−a，可得180.2−a=1，∴a=0.2，故B错误；令18x−0.2<0.25，即127.记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，则太阳的质量M=4π2R3GA.2×1029kg B.2×1030kgC.3×1029kg D.3×1030kg解析：选B由题意在M=4π2R3GT2中两边取对数得，lgM=lgR3GT2+lg4π2=lgR3GT2+2lgπ+2lg2.因为lgR38.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则PP棉滤芯的层数最少为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A.9 B.8C.7 D.6解析：选A设经过n层PP棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为y，则y=80×1−13n=80×23n.令80×23n≤2，解得23n≤140，两边取常用对数得nlg23≤lg140，即nlg329.研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5℃.若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约℃.(参考数据：lg2≈0.3010)

解析：设目前大气中二氧化碳的含量为a，依题意，当二氧化碳的含量为1.25a时，地球平均温度上升0.5℃，当二氧化碳的含量为a×1.252时，地球平均温度上升(0.5×2)℃，依次类推，当大气中二氧化碳的含量为a×1.25n时，地球平均温度上升(0.5×n)℃.令a×1.25n=4a，即1.25n=4，方程两边同时取常用对数，则n=lg4lg1.25=2lg2lg54=2lg21−3lg2答案：310.研究发现某人的行车速度v(km/h)与行驶地区的人口密度p(人/km2)有如下关系：v=50×(0.5+2-0.00004p)，若此人在人口密度为a人/km2的地区的行车速度为70km/h，则他在人口密度为2a人/km2的地区的行车速度是km/h.

解析：由70=50×(0.5+2-0.00004a)，得2-0.00004a=0.9，所以当人口密度为2a人/km2时，他的行车速度v=50×(0.5+2-0.00004×2a)=50×[0.5+(2-0.00004a)2]=65.5km/h.答案：65.511.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.解：(1)由题意得当0<x≤4时，v=2；当4<x≤20时，设v=ax+b，a≠0，显然v=ax+b在(4，20]上单调递减，由已知得20a+所以v=-18x+5故函数v=2，0<(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)=2当0<x≤4时，f(x)单调递增，故f(x)max=f(4)=4×2=8.当4<x≤20时，f(x)=-18x2+52x=-18(x2-20x)=-18