【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟 离散型随机变量及其分布 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练（七十四）离散型随机变量及其分布1.[多选]下列随机变量是离散型随机变量的是()A.某景点一天的游客数XB.某篮球下降过程中离地面的距离XC.水文站观测到江水的水位数XD.某收费站一天内通过的汽车车辆数X2.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.6，设Y=3X-2，那么P(Y=-2)等于()A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.43.已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)=()X024P1m1-3mA.2 B.3 C.4 D.54.(2025·广州模拟)已知随机变量X的分布列如下表所示：X-101P1mn若P(X≤0)=12，且2X+Y=1，则D(Y)=()A.2918 B.47C.299 D.5.一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X=k)=()A.kn B.1C.k−1n ∴P(X=k)=n−1n×n−2n−1×…×n6.某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1），已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为()A.13 B.1C.12 D.7.某企业计划加大技改力度，需要换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：A品牌的使用年限2345概率0.40.30.20.1B品牌的使用年限2345概率0.10.30.40.2更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析()A.不更换设备 B.更换为A设备C.更换为B设备 D.更换为A或B设备均可8.[多选]随机变量ξ的分布列如表所示，其中xy≠0，下列说法正确的是()ξ012Pxy2yA.x+y=1 B.E(ξ)=5C.D(ξ)有最大值 D.D(ξ)随y的增大而减小9.袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X=0，两球全红，1，两球非全红，则X的分布列为X01P38X01P3810.已知离散型随机变量X的分布列为X02aP0.20.4b若E(X)<1.6，则正整数a=.

11.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=，E(ξ)=.

12.随着相关科技成果不断落地，人工智能技术与实体经济加速融合，助推传统产业转型升级，某公司利用人工智能技术推动产业转型升级，三个产业转型升级的指标值ξ是随机变量，ξ的可能取值为0，1，x，且P(ξ=0)=12，P(ξ=1)=13，E(ξ)=(1)求x和D(ξ)的值；(2)若η=3ξ-1，求E(η)和D(η)的值.13.(2025·北京模拟)“地上文物看山西”，由于山西现存大量的古代建筑，今年暑期来自全国各地的游客都选择山西作为旅游目的地.某景区趁此时机，举行暑期网上购票抽奖立减活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个进行门票价格立减，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、30元，已知该景区门票每张100元，全部实行网上购票.(1)记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；(2)已知每位游客除门票外平均在该景区消费20元、60元、90元的概率分别为12①举行抽奖活动后该景区暑期的门票收入是增加了，还是减少了?②举行抽奖活动后该景区暑期的总收入是增加了，还是减少了?14.(2025·合肥模拟)高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为p(0<p<1)，有3个选项正确的概率为1-p.在一次模拟考试中：(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p.(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若p=13

（解析）精练（七十四）离散型随机变量及其分布1.[多选]下列随机变量是离散型随机变量的是()A.某景点一天的游客数XB.某篮球下降过程中离地面的距离XC.水文站观测到江水的水位数XD.某收费站一天内通过的汽车车辆数X答案：AD2.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.6，设Y=3X-2，那么P(Y=-2)等于()A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.4解析：选D当Y=-2时，由3X-2=-2⇒X=0，所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.故选D.3.已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)=()X024P1m1-3mA.2 B.3 C.4 D.5解析：选B由题意得15+m+1-3m=1，解得m=110，所以E(X)=0×15+2×1104.(2025·广州模拟)已知随机变量X的分布列如下表所示：X-101P1mn若P(X≤0)=12，且2X+Y=1，则D(Y)=()A.2918 B.47C.299 D.解析：选C由P(X≤0)=12，得m=12-13=16，n=1-P(X≤0)=12，则E(X)=-1×13+0×16+1×12=16，D(X)=E(X2)-(E(X）2=1×56+0×16-162=2936，由2X+Y=1，得5.一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X=k)=()A.kn B.1C.k−1n 解析：选B∵{X=k}表示“第k次恰好打开，前k-1次没有打开”，∴P(X=k)=n−1n×n−2n−1×…×n6.某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1），已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为()A.13 B.1C.12 D.解析：选B由题意得，比赛一局得分的均值为3×a+1×b+0×c=1，故3a+b=1，又a，b，c∈[0，1)，故3a+b≥23ab，解得ab≤112，当且仅当3a=b，即a=16，b=12时，等号成立.故7.某企业计划加大技改力度，需要换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：A品牌的使用年限2345概率0.40.30.20.1B品牌的使用年限2345概率0.10.30.40.2更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析()A.不更换设备 B.更换为A设备C.更换为B设备 D.更换为A或B设备均可解析：选B设更换为A品牌设备使用年限为X，则E(X)=2×0.4+3×0.3+4×0.2+5×0.1=3，更换为A品牌设备年均收益为(3×100-60)÷3=80(万元)；设更换为B品牌设备使用年限为Y，则E(Y)=2×0.1+3×0.3+4×0.4+5×0.2=3.7，更换为B品牌设备年均收益为(3.7×100-90)÷3.7≈75.68(万元).因为80>75.68，所以更换为A品牌设备.8.[多选]随机变量ξ的分布列如表所示，其中xy≠0，下列说法正确的是()ξ012Pxy2yA.x+y=1 B.E(ξ)=5C.D(ξ)有最大值 D.D(ξ)随y的增大而减小解析：选ABC由题意可知x+y3+2y3=1，即x+y=1，故A正确；E(ξ)=0×x+1×y3+2×2y3=5y3，故B正确；D(ξ)=x0−5y32+y31−5y32+2y32−5y32=(1-y)0−5y32+y31−5y32+2y32−5y32=-259y2+3y，因为xy≠0，x+y=1，易得0<9.袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X=0，两球全红，1，两球非全红，则X的分布列为解析：P(X=0)=C62C112=311，P(X=1)=1-X01P38答案：X01P3810.已知离散型随机变量X的分布列为X02aP0.20.4b若E(X)<1.6，则正整数a=.

解析：由0.2+0.4+b=1，得b=0.4，所以E(X)=0×0.2+2×0.4+a×0.4<1.6，则a<2，正整数a=1.答案：111.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=，E(ξ)=.

解析：由题意知P(ξ=2)=C21C42+C22C41C73=1635.ξ的可能取值为1，2，3，4.P(ξ=1)=C62C73所以ξ的分布列为ξ1234P31631E(ξ)=1×37+2×1635+3×335+4×1答案：163512.随着相关科技成果不断落地，人工智能技术与实体经济加速融合，助推传统产业转型升级，某公司利用人工智能技术推动产业转型升级，三个产业转型升级的指标值ξ是随机变量，ξ的可能取值为0，1，x，且P(ξ=0)=12，P(ξ=1)=13，E(ξ)=(1)求x和D(ξ)的值；(2)若η=3ξ-1，求E(η)和D(η)的值.解：(1)设P(ξ=x)=p，则12+13+得p=16，又E(ξ)=0×12+1×13+x×16=2所以D(ξ)=0−232×12+1−232×1(2)因为η=3ξ-1，所以E(η)=E(3ξ-1)=3E(ξ)-1=1，D(η)=D(3ξ-1)=9D(ξ)=9×59=513.(2025·北京模拟)“地上文物看山西”，由于山西现存大量的古代建筑，今年暑期来自全国各地的游客都选择山西作为旅游目的地.某景区趁此时机，举行暑期网上购票抽奖立减活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个进行门票价格立减，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、30元，已知该景区门票每张100元，全部实行网上购票.(1)记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；(2)已知每位游客除门票外平均在该景区消费20元、60元、90元的概率分别为12①举行抽奖活动后该景区暑期的门票收入是增加了，还是减少了?②举行抽奖活动后该景区暑期的总收入是增加了，还是减少了?解：(1)X的可能取值为10，15，20，35，40，60，P(X=10)=C22C62=115，P(X=15)=C21C21C62=415，PP(X=40)=C21C21C62=415故X的分布列为X101520354060P141441期望为E(X)=10×115+15×415+20×115+35×415+40×4(2)①假设不举行抽奖活动，该景区在暑期客流量为n人，门票收入为100n，举行此抽奖活动后预计可使该景区暑期客流量增加40%，故客流量为1+40%n=1.4n，故门票收入为1.4×(100-30)n=98n，由于98n<100n，故门票收入减少了.②每位游客除门票外平均在该景区消费20元、60元、90元的概率分别为12故期望值为20×12+60×13+90×不举行抽奖活动，该景区暑期总收入为(100+45)n=145n，举行抽奖活动后，该景区暑期总收入为1.4×(100+45-30)n=161n，由于161n>145n，故举行抽奖活动后，该景区暑期总收入增加了.14.(2025·合肥模拟)高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为p(0<p<1)，有3个选项正确的概率为1-p.在一次模拟考试中：(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p.(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若p=13解：(1)根据题意可知，X=0，4，6，若该题有2个选项正确，则P(X=0)=23p，P(X=6)=13若该题有3个选项正确，则P(X=4)=33×(1-p)=1-则X的分布列为X046P231-p13所以E(X)=0×23p+4×(1-p)+6×13p=4-2p=3，解得p=(2)不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件A1，“有3个选项正确”为事件A2.若小明选择方案①，记小明该题得分为X，则X的可能取值为2，3，对应概率为P(X=2)=P(A2)=23，P(X=3)=P(A1)=1故E(X