2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练39平面向量的数量积 含答案

/通用版高考数学一轮复习课时突破练39平面向量的数量积基础达标练1.(2025·八省联考,4)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)=()A.2 B.1C.0 D.-12.(2024·安徽合肥高三期末)已知平面向量a=(0,1),b=(-23,4),则a·b=()A.23 B.4C.-23 D.4-233.(2024·江西吉安期末)已知平面向量a=(2-m,4),b=(1,8),满足a⊥b,则m=()A.2 B.4 C.17 D.344.(2024·江苏南京模拟)已知向量a,b满足|a|=2,(4a+b)·b=4,则|2a+b|=()A.25 B.26 C.125 D.5.在△ABC中,设AB=c,BC=a,CA=b,若c·(b-c-a)>0,则△ABC的形状是()A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.无法确定6.(2024·河北沧州高三期末)在△ABC中,AB=AC=1,AN=NC,P是BN上一点,且AP=mAB+13ACA.-16 B.19 C.07.(多选)(2024·江苏盐城高三期中)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=3,则下列结论中正确的是()A.a与b的夹角为2πB.a·b=-1C.a⊥(a-b)D.|a-b|=78.已知点A,B,C是半径为3的圆上三点,BC=2,点D是BC的垂直平分线上任意一点,则AD·CB的最小值为9.在长方形ABCD中,AB=23,AD=1,点P满足AP=12AB+AD,则|AP|=能力提升练10.(2024·天津东丽高三期末)向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且b⊥(a+b),则向量a+2b在向量b上的投影向量为()A.b B.-b C.-12b D.111.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,将△ACD沿AC折起至△PAC处,使得二面角P-AC-B的平面角的大小为60°,则P到B的距离为()A.2 B.3 C.1055 D.12.(2024·山东日照高三期末)勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形;在如图所示的勒洛三角形中,已知AB=4,P为弧AC(含端点)上的一点,则PB·(BC−BP)的取值范围为(A.[0,8] B.[1,8]C.[0,43] D.[0,9]13.(多选)(2024·广东佛山模拟)已知|a|=1,|b|=2,则下列说法正确的是()A.若a⊥b,则a·b=0B.若a∥b,则a与b的夹角为0°C.若a与b的夹角为120°,则b在a上的投影向量为-aD.|a+b|的取值范围是[1,3]14.(2024·天津高三期末)在△ABC中,∠BAC=π3,AD=2DB,P为CD上一点,且满足AP=xAC+35AB(x∈R),则x的值为;若AC=15.(2024·山东日照高三期末)已知平行四边形ABCD,AB=2,AD=3,∠BAD=2π3,BE=2EC.若F为线段DE上的一点,且AF=λAB+56素养拔高练16.(多选)(2024·江苏淮安期末)设Ox,Oy是平面内相交成α角的两条数轴,其中α∈0,π2,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,若OP=xe1+ye2,则有序数对(x,y)叫做向量OP在夹角为α的坐标系xOy中的坐标,记为OP=(x,y)(α).已知OP=(1,1)π3,OQ=(-1,1)A.OP·OQ=B.|OP|=3C.△OPQ为等腰三角形 D.PQ=(-2,0)17.(多选)对非零向量a,b,定义运算“(*)”:a(*)b=|a|cosθ+|b|sinθ,其中θ为a与b的夹角,则()A.若a∥b,则|a(*)b|=|a|B.若a=(-1,2),b=(-3,1),则(a-b)(*)a=5C.若Rt△ABC中,C=π2,AC=2,BC=1,则AB(*)D.若△ABC中,AB(*)BC=BC(*)AB,则△答案：1.B∵a=(0,1),b=(1,0),∴a-b=(-1,1),∴a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1.故选B.2.B∵a=(0,1),b=(-23,4),∴a·b=0×(-23)+1×4=4,故选B.3.D由题意,因为a⊥b,所以a·b=0,可得32+(2-m)=0,解得m=34.故选D.4.A由(4a+b)·b=4,得4a·b+b2=4,又因为|a|=2,所以|2a+b|=(2a+b)25.A因为c·(b-c-a)>0,所以AB·(AB+BC−CA)=AB·2AC<0,即AB·2AC=2|AB|·|AC|cosA<0,可得cosA<0,又因为0<A<π,所以6.C如图,∵AN=NC,∴AN=12∵P,B,N三点共线,故m+23=1,即m=13,故AP·BC=13AB+13AC·(AC−AB7.ABD由|a+b|=3两边平方,得a2+2a·b+b2=3,因为|a|=1,|b|=2,故可得a·b=-1,故B正确;对于A,由a·b=-1可得cos<a,b>=-12,因为0≤<a,b>≤π,故得<a,b>=2π3,即A正确;对于C,由a·(a-b)=a2-a·b=1-(-1)=2≠0,则a与a-b不垂直,即C错误;对于D,由|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×(-1)+4=7,即|a-b|=7,故D正确8.-6以圆心O为坐标原点,线段BC的垂直平分线所在直线作为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,b),D(0,c),根据题意得B(1,-22),C(-1,-22),AD=(-a,c-b),CB=(2,0),所以AD·CB=-2a,因为-3≤a≤3,所以当a=3时,AD·CB9.2-3如图,以A为原点,AB,AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(23,0),C(23,1),D(0,1),所以AB=(23,0),AD=(0,1),因为AP=所以AP=12AB+AD=12所以|AP|=3+1=2,P(3,1),所以PA=(-3,-1),PC=(3,0),所以PA·PC=-10.A因为b⊥(a+b),所以b·(a+b)=0,所以a·b+|b|2=0,所以a·b=-1,设b与向量a+2b的夹角为θ,所以向量a+2b在向量b方向上的投影向量为|a+2b|cosθ·b|b|=b·(故选A.11.D在矩形ABCD中,分别过D,B作AC的垂线,垂足分别为E,F,如图所示,易求DE=BF=25,AE=CF=15,所以EF=因为PB=PE+EF+FB,所以|PB|2=(PE+EF+FB)2=PE2+EF2+12.A取BC中点为O,连接PO,显然|PO|∈[2,23],所以PB·(BC−BP)=PB·PC=(PO+OB)·(PO+OC)=(PO+OB)13.ACD若a⊥b,则a·b=|a||b|cos90°=0,A正确;若a∥b,则a与b的夹角为0°或180°,B错误;若a与b的夹角为120°,则a·b=1×2×-12=-1,则b在a上的投影向量为|b|a·b|a||b|·a|a|=2×-11×2·a=-a,C正确;设a与b的夹角为θ,则|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=5+4cosθ,因为0°≤θ≤180°,则-1≤cosθ14.1102310因为AD=2DB,所以AB=3因为C,D,P三点共线,所以设存在λ,使得DP=λDC,故AP−AD=λAC-λAD,即AP=λAC故x=λ,9CD=AD−AC=23AB−AC,则AP·CD=110AC+35AB·2因为AC=3,AB=4,∠BAC=π3所以AP·CD=25×42-110×15.192在▱ABCD中,BE=2EC,则AE即AB=AE−23AD,于是AF=λAE−23AD+56AD=λAE+56−23λAD,而点F由AB=2,AD=3,∠BAD=2π3,得AB·AD=2×3×-12=-3,则|AF16.ABD由题意可知|e1|=|e2|=1,e1·e2=1×1×cosπ3=12,OP=e1+e2,OQ=-e1+e2,对选项A,OP·OQ=(e1+e2)·(-e1+e2)=e22−e12=0,故A正确;对选项B,|OP|=(e1+e2)2=e12+e22+2e1·e2=3,故B正确;对选项C,D,|OQ|=(-e1+e2)217.ABD对于A,因为a∥b,所以θ=0°或180°,当θ=0°时,cosθ=1,sinθ=0,所以|a(*)b|=|a|;当θ=180°时,cosθ=-1,sinθ=0,所以|a(*)b|=|a|,所以A正确.对于B,a-b=(2,1),cosθ=(a-b)·a|a-b||a|=0,所以sin