2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练46利用空间向量证明平行、垂直 含答案

/通用版高考数学一轮复习课时突破练46利用空间向量证明平行、垂直1.(13分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3,试证明AM⊥平面BMC.2.(15分)(2024·江苏南京高三期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E,F,G分别是AA1,BC,C1D1的中点.(1)用空间向量法证明:B1D⊥平面EFG;(2)在直线DB上是否存在点P,使得B1P∥平面EFG?若存在,请指出P的位置;若不存在,请说明理由.3.(15分)(2024·广东湛江模拟)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求C到平面AEC1F的距离.(2)EF与平面ABCD平行吗?请说明理由.4.(15分)(2024·云南曲靖模拟)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,侧面PAB是等边三角形,BC=2AB,AC=3AB,PB⊥AC.(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(2)设Q为侧棱PD上一点,四边形BEQF是过B,Q两点的截面,且AC∥平面BEQF,是否存在点Q,使得平面BEQF⊥平面PAD?若存在,求PD的值;若不存在,说明理由

答案：1.证明(1)由题意知AD⊥BC,如图,以O为坐标原点,以过O点且平行于BC的直线为x轴,OD,OP所在直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz.则A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),可得AB=(4,5,0),AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0),∵AP·BC=0×(-8)+3×0+4×0=0,∴AP(2)由(1)可得|AP|=02+32+42=5,∵M是AP上一点,且AM=3,∴AM=35AP=(0,95,12设平面BMC的法向量为n=(a,b,c),则n令b=1,则a=0,c=43,即n=(0,1,43),显然AM=95n,故AM2.(1)证明以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B1(2,2,2),E(2,0,1),F(1,2,0),G(0,1,2),DB1=(2,2,2),EF=(-1,2,-1),EG=(-设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则n·EF=-x+2y-z=0,n∵DB1∥n,∴B(2)解存在点P,使得B1P∥平面EFG,P在DB的延长线上,且BP=12由题意得B(2,2,0),B1B=(0,0,-2),DB设BP=λDB=(2λ,2λ,0),λ∈R,则B1P=B1B+BP=(2λ∵B1P∥平面EFG,∴B1P⊥n,B1P·n=2λ+3.解(1)显然直线DA,DC,DF两两垂直,以D为原点,直线DA,DC,DF分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),设F(0,0,z),由平面ADF∥平面BCC1E,平面AEC1F∩平面ADF=AF,平面AEC1F∩平面BCC1E=C1E,则AF∥C1E,同理AE∥C1F,即四边形AEC1F为平行四边形,有AF=即(-2,0,z)=(-2,0,2),解得z=2,即F(0,0,2),则AE=(0,4,1),AF=(-2,0,2),设平面AEC1F的法向量n=(x,y,z),则n·AE=4y+z=0,n·AF=-2x+2z=0,取y=-1,得n=(4,(2)由(1)知,FE=(2,4,-1),而平面ABCD的法向量为m=(0,0,-1),由FE·m=1≠0,得EF与m不垂直,所以EF与平面ABCD不平行4.(1)证明在△ABC中,因为BC=2AB,AC=3AB,所以AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB,又AC⊥PB,PB∩AB=B,且PB,AB⊂平面PAB,所以AC⊥平面PAB,又AC⊂平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.(2)解假设存在点Q,使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB中点为H,连接PH,则PH⊥AB,因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PH⊥平面ABCD.如图所示建立空间直角坐标系,不妨设AB=2,则A(0,0,0),B(2,0,0),D(-2,23,0),P(1,0,3),则AD=(-2,23,0),AP=(1,0,3),BD=(-4,23,0),DP=(3,-23,设n1=(x1,y1,z1)是平面PAD的法向量,则n令y1=1,则n1=(3,1,-1).设DQ=λDP,其中0≤λ≤1则BQ=BD+DQ=BD+λDP=(3λ-4,23-23λ,3λ),连接EF,因为AC∥平面BEQF,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面BEQF=EF,故AC设n2=(x2,y2