2026年高考数学第一轮专题复习：圆锥曲线综合1 含答案

/圆锥曲线综合一．选择题（共8小题）1．（2025•泉州模拟）已知抛物线C1：y2＝2px的焦点F为双曲线C2：x2−y2b2=1的右焦点，点Q（x0，y0）为C1和C2的一个公共点．若|A．3 B．23 C．4 D．2．（2025春•宝山区期中）若椭圆x2m+y2n≥1(m＞n＞0)和双曲线x2s−yA．n+t B．12(n+t) C．m23．（2025•湖北模拟）设F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)A．213 B．273 C．74．（2025•宿迁模拟）已知椭圆C：x2a2+y2=1的右顶点与抛物线A．12 B．34 C．345．（2025•沧州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，0），B（0，6），动点P满足OP→=λOA→A．点P的轨迹为圆 B．点P到原点最短距离为2 C．点P的轨迹是一个正方形 D．点P的轨迹所围成的图形面积为246．（2025春•资中县校级期中）已知四边形ABCD满足|AB→+AD→|=|AB→−AD→|，且|AB→|=|AD→|=2．设平面内有一点P满足AP→=λA．322 B．522 C．7．（2025•宝安区模拟）已知a＞b＞0，椭圆C：x2a2+y2b2=1与双曲线E：x2a2−y2A．x±5y=0 B．2x±y＝0 C．8．（2025•望城区校级一模）如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且|AP|=210A．55π B．255π 二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•聊城二模）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：x3+y3＝3axy（a＞0），其中a是参数．已知某笛卡尔叶形线过点(32，32)，点P（x0，y0）（A．当x0=2时，yB．x0的取值范围是(0，3C．直线x+y＝3是曲线的一条切线 D．若x+y＝t是曲线的渐近线，则t＝﹣1（多选）10．（2025•太原二模）已知双曲线E与焦点在y轴上的椭圆C的离心率之积为1，点P（2，2）是其公共点，若双曲线E的渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是（）A．双曲线E的实轴长为2 B．椭圆C的离心率为22C．椭圆C的长轴长为210D．椭圆C与双曲线E的焦距相同（多选）11．（2025•天河区模拟）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点P为底面A1B1C1D1上的动点（包括边界），则（）A．满足MP∥平面BDA1的点P的轨迹长度为2 B．满足|MP|=6的点PC．存在点P满足∠APM＝90° D．存在点P满足PA+PM＝4（多选）12．（2025•揭阳模拟）已知曲线C：|x|+|y|=1一条不过原点的动直线l与xA．曲线C有4条对称轴 B．曲线C形成封闭图形的面积大于4﹣π C．当|AB|=22时，线段AB中点的轨迹与曲线CD．当|OA|+|OB|＝1时，直线l与曲线C相切三．填空题（共4小题）13．（2025•日照二模）已知⊙O：x2+y2＝16与x轴相交于C，D两点，点A(−23，0)，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD14．（2025春•宝山区期中）曲线C为到两定点M（﹣2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的编号为．①曲线C一定经过原点；②曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；③△MPN的面积不大于8；④曲线C在一个面积为64的矩形范围内．15．（2025春•湖南期中）已知在平面直角坐标系xOy中，M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM|•|PN|＝4，则|OP|的取值范围是．16．（2024秋•延庆区期末）已知曲线C：4y2﹣x|x|＝4，点F(①曲线C关于x轴对称；②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积大于2；③曲线C上任意点P满足|PF|≥2；④曲线C与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0，（m∈R）的交点个数可以是0个、2个、3个、4个．其中，所有正确结论的序号是．四．解答题（共4小题）17．（2025•汕头二模）已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．如图，以矩形的中心为坐标原点，分别平行于AB、AD的直线为x、y轴建立平面直角坐标系．设y轴分别交AB、DC于点E、F，点P为平面上的动点，且直线PE、PF的斜率的积为−1（1）证明点P不在矩形ABCD的外部；（2）现将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设折痕所在直线l的斜率为k．①求直线l的方程；②重新展平矩形ABCD，当折痕的长最大时，求折痕被点P的轨迹所截得的弦长．18．（2025•江西模拟）在直角坐标平面内，设P是圆O：x2+y2＝4上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足MQ→=32PQ（1）求曲线C的方程；（2）过点N（3，0）的动直线l交C于A，B两点，求△AOB面积的最大值．19．（2025•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2−y2=1（a＞0），离心率为233，点P是C1（1）求C1的方程；（2）过点P作C1的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；（3）PC，PD是C2的两条切线，C，D是切点，求△PCD面积的最小值．20．（2025春•云岩区校级期中）若双曲线C：x2（1）求双曲线C的方程；（2）设过焦点F的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点（不重合），①求直线l的倾斜角的取值范围；②在x轴上是否存在定点M，使得直线MA和MB的斜率之积为常数，若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由．

圆锥曲线综合答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025•泉州模拟）已知抛物线C1：y2＝2px的焦点F为双曲线C2：x2−y2b2=1的右焦点，点Q（x0，y0）为C1和C2的一个公共点．若|A．3 B．23 C．4 D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的焦点和焦距．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】D【分析】由抛物线和双曲线的方程，结合抛物线的定义和两点的距离公式，解方程可得所求值．解：抛物线C1：y2＝2px的焦点F（p2，0）为双曲线C2：x2−y2可得p2=c点Q（x0，y0）为C1和C2的一个公共点，可得y02=2px0若|QF|＝5，则x0+p2=由①②③，解得p＝6，x0＝2，|y0|＝26，b2＝8，或p＝4，x0＝3，|y0|＝26，b2＝3．故选：D．【点评】本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．2．（2025春•宝山区期中）若椭圆x2m+y2n≥1(m＞n＞0)和双曲线x2s−yA．n+t B．12(n+t) C．m2【考点】圆锥曲线的综合．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】A【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出|PF1|与|PF2|的和与差，变形求得积．解：若椭圆x2m+y2n≥1(m＞而P是这两条曲线的一个交点，设c为半焦距，不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由椭圆和双曲线的定义，可得|PF1则|P故选：A．【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3．（2025•湖北模拟）设F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)A．213 B．273 C．7【考点】圆与圆锥曲线的综合；求双曲线的离心率．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】A【分析】不妨设切点P在第一象限，由题意可知PF2与渐近线bx﹣ay＝0垂直，画出图形，通过点到直线的距离公式以及三角形的面积，转化求解离心率即可．解：不妨设切点P在第一象限，由题意可知PF2与渐近线bx﹣ay＝0垂直，如图所示，故∠F1P又|OF2|＝c，故|OP|＝a．设P（x，y），则S△OPF2=由S△F1由S△OPF1=S△OP从而可得ba=23故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线与圆的位置关系的应用，是中档题．4．（2025•宿迁模拟）已知椭圆C：x2a2+y2=1的右顶点与抛物线A．12 B．34 C．34【考点】圆锥曲线的综合；求椭圆的离心率．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】D【分析】利用抛物线的性质得到椭圆的基本量，再求解离心率即可．解：由抛物线y2＝8x，得其焦点为（2，0），∵椭圆C：x2a2+y2∴a＝2，又b＝1，∴c=a可得椭圆的离心率为32故选：D．【点评】本题考查椭圆与抛物线的几何性质，是基础题．5．（2025•沧州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，0），B（0，6），动点P满足OP→=λOA→A．点P的轨迹为圆 B．点P到原点最短距离为2 C．点P的轨迹是一个正方形 D．点P的轨迹所围成的图形面积为24【考点】轨迹方程．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．【正确答案】D【分析】设P点坐标为（x，y），由已知条件OP→=λOA→+μOB→，结合向量的坐标表示可用x，y表示λ，μ，结合|λ|+|μ解：设P点坐标为（x，y），由已知条件OP→=λ又因为|λ|+|μ|＝1，所以P点坐标对应轨迹方程为|x2|+|yx≥0，且y≥0时，方程为3x+y＝6；x≥0，且y＜0时，方程为y＝3x﹣6；x＜0，且y≥0时，方程为y＝3x+6；x＜0，且y＜0时，方程为3x+y＝﹣6．P点对应的轨迹如图所示：kAB＝kCD＝﹣3，所以P点的轨迹为菱形，A，C错误；原点到直线的距离为：d=69+1＜轨迹图形是平行四边形，面积为4×12×故选：D．【点评】本题主要考查了点的轨迹的求解，考查了综合解决问题的能力，属于难题6．（2025春•资中县校级期中）已知四边形ABCD满足|AB→+AD→|=|AB→−AD→|，且|AB→|=|AD→|=2．设平面内有一点P满足AP→=λA．322 B．522 C．【考点】轨迹方程．【专题】数形结合；定义法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．【正确答案】B【分析】根据数量积的运算律得到AB→⋅AD→=0，即可得到平行四边形ABCD为正方形，建立平面直角坐标系，求出P点的轨迹方程，即可求出E、F的坐标，再作E关于x轴对称的点为E′，作F解：因为|AB→+AD→|＝|AB→−AD→|，所以AB→所以AB→•AD→=0，所以AB→⊥AD→所以平行四边形ABCD为正方形，建立平面直角坐标系，如图所示：则A（0，0），B（2，0），D（0，2），所以AB→=（2，0），设P（x，y），则AP→=（x，因为AP→=λAB→+（5所以AP→所以x=2λy=52−2令x＝2，可得y=12，所以E（2，令y＝2，可得x=12，所以F（作E关于x轴对称的点为E′（2，−12），作F关于y轴对称的点为F′（则|E所以|EG→|+|GH→|+|HF→|=|所以|EG→|+|故选：B．【点评】本题考查了平面向量的运算问题，也考查了点的轨迹方程应用问题，是中档题．7．（2025•宝安区模拟）已知a＞b＞0，椭圆C：x2a2+y2b2=1与双曲线E：x2a2−y2A．x±5y=0 B．2x±y＝0 C．【考点】圆锥曲线的综合；求椭圆的离心率；求双曲线的渐近线方程；求双曲线的离心率．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】C【分析】通过椭圆以及双曲线的离心率的关系，求解a，b的关系，然后求解双曲线的离心率．解：椭圆C：x2a2+y2b2=1与双曲线E：x3e1＝e2，可得9a2−9b2可得ba所以双曲线的渐近线方程为：2x±5y故选：C．【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，是中档题．8．（2025•望城区校级一模）如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且|AP|=210A．55π B．255π 【考点】轨迹方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】D【分析】由题意分析出P在半球面形成的轨迹为圆周，再由三点共线及勾股定理解出r，最后按照圆的周长求得即可．解：由于|AP|=210如图：记圆柱上顶面圆心为M，点P的轨迹所在圆的圆心为N，则A，M，N共线，AN⊥PN，设|PN|＝r，|MN|＝d，在△ANP和△MNP中使用勾股定理有(25解得r=255d故选：D．【点评】本题主要考查点的轨迹的判断，考查计算能力，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•聊城二模）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：x3+y3＝3axy（a＞0），其中a是参数．已知某笛卡尔叶形线过点(32，32)，点P（x0，y0）（A．当x0=2时，yB．x0的取值范围是(0，3C．直线x+y＝3是曲线的一条切线 D．若x+y＝t是曲线的渐近线，则t＝﹣1【考点】曲线与方程．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【正确答案】BCD【分析】由笛卡尔叶形线过点(32，32)，得曲线方程为x3+y3＝3xy，设y0的最大值为m＞0，则曲线与y＝m在第一象限只有一个交点，构造函数f（x）＝x3﹣3mx+同理即可判断B；若直线x+y＝3是曲线的一条切线，则x+y＝3与曲线在第一象限只有一个交点，联立方程组即可判断C；根据极限思想即可判断D．解：由笛卡尔叶形线过点(32，32所以x3+y3＝3xy，对于A，设y0的最大值为m＞0，则曲线与y＝m在第一象限只有一个交点，联立得x3+m3＝3xm，设f（x）＝x3﹣3mx+m3，x＞0，令f'（x）＝3x2﹣3m＝0，解得x＝m12当x∈（0，m12）时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，m1当x∈（m12，+∞）时，f'（x）＞0，则f（y）在（m12，+∞）单调递增，又f（0）＝m所以必满足f（m32即f（m12）＝m32−3m•m12+m3＝﹣2m32+m3＝m32所以y0的最大值为223，此时x0＝m12=（223对于B，设x0的最大值为t＞0，则曲线与x＝t在第一象限只有一个交点，联立得t3+y3＝3ty，与A同理得，t=223=34，所以对于C，若直线x+y＝3是曲线的一条切线，则x+y＝3与曲线在第一象限只有一个交点，联立得x3+（3﹣x）3＝3x（3﹣x），整理得4x2﹣12x+9＝（2x﹣3）2＝0，所以方程有2个相等的实数根，所以x+y＝3与曲线在第一象限只有一个交点，故C正确；对于D，因为曲线过（0，0），所以x＝0不是曲线渐近线，设曲线的渐近线为y＝mx+b（m≠0），代入曲线方程得（m3+1）x3+（3m2b﹣3m）x2+（3b2m﹣3b）x+b3＝0，同时除以x3≠0得，(m当x→∞时，1x，1则上式为（3b+3）1x+（3m﹣3b）1x2+1x3=当x→∞，1x→0，1x所以曲线的渐近线为y＝﹣x﹣1，即x+y＝﹣1，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．（多选）10．（2025•太原二模）已知双曲线E与焦点在y轴上的椭圆C的离心率之积为1，点P（2，2）是其公共点，若双曲线E的渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是（）A．双曲线E的实轴长为2 B．椭圆C的离心率为22C．椭圆C的长轴长为210D．椭圆C与双曲线E的焦距相同【考点】圆锥曲线的综合；求椭圆的离心率；求双曲线的渐近线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】BC【分析】由双曲线的渐近线方程，求解离心率，推出椭圆的离心率，求解双曲线方程，椭圆方程，然后判断选项即可．解：双曲线E的渐近线方程为y＝±x，可知双曲线的离心率为2，所以椭圆的离心率为22，所以B点P（2，2）是其公共点，所以双曲线的焦点坐标在x轴上，所以D不正确；设双曲线方程为：x2﹣y2＝t，可得t＝4﹣2＝2，双曲线的标准方程x2双曲线的实轴长为22，所以A不正确；设椭圆方程：y2a2+x2b2=1，可得2椭圆长轴长为210，所以C正确．故选：BC．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，是中档题．（多选）11．（2025•天河区模拟）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点P为底面A1B1C1D1上的动点（包括边界），则（）A．满足MP∥平面BDA1的点P的轨迹长度为2 B．满足|MP|=6的点PC．存在点P满足∠APM＝90° D．存在点P满足PA+PM＝4【考点】轨迹方程．【专题】数形结合；向量法；立体几何；逻辑思维．【正确答案】AC【分析】建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定、点的轨迹方程、向量垂直的数量积表示以及最短距离问题对各选项逐一分析．解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），M（2，2，1），设P（x，y，2），其中0≤x≤2，0≤y≤2，对于A，BD→=（﹣2，2，0），BA1→=（﹣2，0，2），易知平面BDA1的法向量n→=（1，1，1），若MP∥平面BDA1，则MP→•n→=故点P轨迹为连接C1D1和B1C1的中点的线段，长度为12+1对于B，|MP|=6时，（x﹣2）2+（y则点M轨迹是底面A1B1C1D1上以为C1圆心，以5为半径的圆弧，圆心角为90°，故P的轨迹长度为52π＞对于C，AP→=（x，y，2），令AP→•MP→=0，得x（x即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝0，解得x＝1，y＝1，故存在点P（1，1，2）满足∠APM＝90°，C正确；对于D，点M关于平面A1B1C1D1的对称点M'（2，2，3），则PA+PM≥AM'=17因为4＜17，所以不存在点P满足PA+PM＝4，故D故选：AC．【点评】本题主要考查线面平行的判定、动点的轨迹问题、向量垂直的判定以及最短距离问题，属于中档题．（多选）12．（2025•揭阳模拟）已知曲线C：|x|+|y|=1一条不过原点的动直线l与xA．曲线C有4条对称轴 B．曲线C形成封闭图形的面积大于4﹣π C．当|AB|=22时，线段AB中点的轨迹与曲线CD．当|OA|+|OB|＝1时，直线l与曲线C相切【考点】曲线与方程；轨迹方程．【专题】计算题；分析法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】ACD【分析】选项A：通过分析方程|x|+|y|=1的对称性，判断对称轴数量．选项B：计算曲线在第一象限的积分面积，再乘以4，与4﹣π解：选项A：曲线C关于x轴、y轴、直线y＝x和y＝﹣x对称．将x替换为﹣x或y替换为﹣y，方程不变；交换x和y的位置，方程形式不变．因此，曲线C有4条对称轴，选项A正确；选项B：计算曲线C的面积．在第一象限内，方程为x+y=1积分计算第一象限面积：01总面积为四倍第一象限面积，即23≈0.6667，由于4﹣π≈0.8584，显然23选项C：当|AB|=22时，线段该圆与曲线C在点（±0.25，±0.25）处相切．在第一象限点（0.25，0.25），曲线C的切线斜率为﹣1，与圆在此点的切线斜率相同，选项C正确．选项D：当|OA|+|OB|＝1时，直线方程为xa+yb=1无论a和b的符号如何，直线与曲线C均相切．例如，当a＝b＝0.5时，直线x+y＝0.5在点（0.25，0.25）处与曲线相切，选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•日照二模）已知⊙O：x2+y2＝16与x轴相交于C，D两点，点A(−23，0)，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD【考点】轨迹方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】8．【分析】由两圆内切可以判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定S△BCD最大值．解：因为⊙O：x2+y2＝16与x轴相交于C，D两点，点A(−2又以AB为直径的圆与⊙O内切，所以作出示意图如下：设以AB为直径的圆的圆心为E，F(2因为两圆内切，所以|OE又OE为△ABF的中位线，所以|OE所以12所以B的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，2a＝8⇒a＝4，c=2显然当B为椭圆短轴顶点即（0，±2）时，S△BCD的面积最大，最大值为12故8．【点评】本题考查圆的几何性质及应用，属中档题．14．（2025春•宝山区期中）曲线C为到两定点M（﹣2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的编号为③④．①曲线C一定经过原点；②曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；③△MPN的面积不大于8；④曲线C在一个面积为64的矩形范围内．【考点】轨迹方程．【专题】动点型；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．【正确答案】③④．【分析】求出动点轨迹方程，由方程确定轨迹的性质，判断各结论．解：设P（x，y），则(x对于①，原点（0，0）代入方程，得2×2≠16，所以曲线C一定不经过原点，故①错误；对于②，以﹣y代替y，可得(x以﹣x代替x，可得(−x即曲线C关于x、y轴对称，故②错误；对于③，显然P、M、N三点不共线，设|PM|＝a，|PN|＝b，∠MPN＝θ，则ab＝16，由余弦定理得cosθ=当且仅当a＝b＝4时等号成立，则θ为锐角，所以sinθ=则△MPN的面积为S△对于④，16=(可得﹣16≤x2﹣4≤16，得x2≤20，解得−25由③知S△MPN=12曲线C在一个面积为45故③④．【点评】本题考查轨迹方程，考查曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15．（2025春•湖南期中）已知在平面直角坐标系xOy中，M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM|•|PN|＝4，则|OP|的取值范围是[3，【考点】轨迹方程．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】[3【分析】设点P（x，y），由距离公式得到x2+y2+1=16+4解：因为在平面直角坐标系xOy中，M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM|•|PN|＝4，设点P（x，y），则|PM|2•|PN|2＝16，所以[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]＝16，化简可得x2所以|OP因为16＝[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]≥（x﹣1）2（x+1）2＝（x2﹣1）2，当且仅当y＝0时取等号，由（x2﹣1）2≤16，解得0≤x2≤5，所以16≤16+4x2≤36，则4≤16+4所以|OP故[3【点评】本题考查动点轨迹问题的求解，属中档题．16．（2024秋•延庆区期末）已知曲线C：4y2﹣x|x|＝4，点F(①曲线C关于x轴对称；②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积大于2；③曲线C上任意点P满足|PF|≥2；④曲线C与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0，（m∈R）的交点个数可以是0个、2个、3个、4个．其中，所有正确结论的序号是①②④．【考点】曲线与方程；命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】见试题解答内容【分析】根据点对称即可判断①；根据椭圆的几何性质可判断②；根据双曲线和椭圆上的点到F(解：对于①：因为点（x，y），（x，﹣y）均在C上，所以曲线C关于x轴对称，故①正确；对于②：当x≤0，x2+4y2＝4，此时曲线是焦点为(5当x≥0时，曲线C的方程可化为y2对应的曲线为以(0，5)，(0，−5所以封闭图形面积大于△ABD的面积，因为△ABD面积为12所以曲线C与y轴围成的封闭图形的面积大于2，故②正确；对于③：当x≤0时，曲线的方程可化为x2此时|PF当x＝0时，|PF|min＝2，当x＞0时，y2此时|PF当x=43综上所述，曲线C上任意点P满足|PF对于④：方程可化为（x﹣m）2﹣4y2＝0，代入4y2﹣x|x|＝4中，可得（x﹣m）2﹣x|x|＝4，当x＞0时，2mx＝m2﹣4，当m＝0时，该方程无解，当m≠0时，解得x=当m＞2或﹣2＜m＜0时，解得x=当0＜m＜2或m＜﹣2时，解得x=当m＝±2时，x=所以当m＞2或﹣2＜m＜0时，方程（x﹣m）2﹣x|x|＝4有一个正根，当0＜m＜2或m＜﹣2时，方程（x﹣m）2﹣x|x|＝4没有正根，所以当m＞2或﹣2＜m＜0时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x＞0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0有两个交点，当0≤m≤2或m≤﹣2时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x＞0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0没有交点，当x≤0时，（x﹣m）2﹣x|x|＝4可化为2x2﹣2mx+m2﹣4＝0，即(x当m=22时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的根为当m=−22时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的根为当|m|＞22时，方程2x2﹣2mx+当m＝2时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的根为x＝2（舍去）或x＝0，当m＝﹣2时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的根为x＝﹣2或x＝0，当2＜m＜22时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根为x当﹣2＜m＜2时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0两个根为x3=m当−22＜m＜−2时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根为所以当m＜−22或m＞2时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x≤0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣当−22＜m＜−2时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x≤0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2当﹣2＜m≤2或m=−22时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x≤0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣当m＝﹣2时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x≤0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0有三个交点，综上所述，曲线C与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0，（m∈R）的交点个数可以是0个、2个、3个、4个，故④正确．故①②④．【点评】本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理、分类讨论、数形结合和运算能力，属于难题．四．解答题（共4小题）17．（2025•汕头二模）已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．如图，以矩形的中心为坐标原点，分别平行于AB、AD的直线为x、y轴建立平面直角坐标系．设y轴分别交AB、DC于点E、F，点P为平面上的动点，且直线PE、PF的斜率的积为−1（1）证明点P不在矩形ABCD的外部；（2）现将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设折痕所在直线l的斜率为k．①求直线l的方程；②重新展平矩形ABCD，当折痕的长最大时，求折痕被点P的轨迹所截得的弦长．【考点】轨迹方程．【专题】数形结合；分类讨论；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）证明详见解析；（2）①y＝kx+k（k+2）（﹣2≤k≤0）；②160+483【分析】（1）根据所建直角坐标系以及直线PE、PF的斜率的积为−14，可求出点P轨迹方程，根据方程中x、（2）①设折叠后A点落在线段DC上的点为G（t，1），分k＝0和k≠0进行讨论，k≠0时，利用A与G关于折痕所在的直线对称，可得点G坐标，以及线段AG中点坐标，可求出折痕所在的直线方程；②同样分k＝0和k≠0进行讨论，其中k≠0时又分为：（i）若折痕所在的直线分别与边AD、BC相交，（ii）若折痕所在的直线分别与边AD、AB相交，（iii）若折痕所在的直线分别与边CD、AB相交三种情形，比较后得出折痕最长时所在直线方程，再求出其与（1）中点P轨迹交出的弦长．解：（1）设P（x，y），由题设知E（0，﹣1）、F（0，1），从而y−1x⋅所以点P的轨迹为椭圆（去掉上下顶点），其范围是﹣2≤x≤2，﹣1＜y＜1，故点P不可能在矩形外部；（2）①设折叠后A点落在线段DC上的点为G（t，1）（﹣2≤t≤2），若k≠0，由A与G关于折痕所在的直线对称，有kAG•k＝﹣1，即2t所以G（﹣2k﹣2，1）（﹣2≤k＜0），AG中点坐标为（﹣k﹣2，0），从而折痕所在的直线方程y＝k[x﹣（﹣k﹣2）]，即y＝kx+k（k+2）（﹣2≤k＜0）；若k＝0，则折痕所在直线方程为y＝0，也符合上述方程；故折痕所在的直线方程y＝kx+k（k+2）（﹣2≤k≤0）；②当k＝0时，折痕的长为4；当k≠0时，（i）若折痕所在的直线分别与边AD、BC相交，则交点坐标为N（﹣2，k2），M（2，k2+4k），此时，−2+3＜k（ii）若折痕所在的直线分别与边AD、AB相交，则交点坐标为N（﹣2，k2），M(−此时，−1≤k≤−2+3f′(令f'（k）＝0得k=−k∈[﹣1，−22）时，f'（k）＜0，f（k）递增，k∈[−22，﹣2+3）时，f'（k所以f(（iii）若折痕所在的直线分别与边CD、AB相交，则交点坐标为N(−k2此时，﹣2≤k＜﹣1，MN综上所述，当且仅当k=−2+3时，即折痕长的最大值为64(2−3由y=kx+k(k+2)x24+y2=1，得（1+4k2）x2+8所以x1+x故弦长d=1+【点评】本题主要考查轨迹方程、直线方程以及求直线与椭圆相交所得弦长，属于较难题．18．（2025•江西模拟）在直角坐标平面内，设P是圆O：x2+y2＝4上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足MQ→=32PQ（1）求曲线C的方程；（2）过点N（3，0）的动直线l交C于A，B两点，求△AOB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【正确答案】（1）x24+【分析】（1）设M（x，y），P（x0，y0），借助MQ→=32PQ（2）依题意，知道直线AB不垂直于y轴，设其方程为x＝my+3，直曲联立，借助韦达定理和三角形面积公式得S△AOB=解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），则x02+y02=4，过P作x轴的垂线，垂足为因为MQ→=3则y=32y0x=整理得x2所以曲线C的方程为x2（2）依题意知道，直线AB不垂直于y轴，则设其方程为x＝my+3，由消去x，得x=并整理得（3m2+4）y2+18my+15＝0，Δ＝182m2﹣60（3m2+4）＝48（3m2﹣5）＞0，解得m2设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y则S△令t=3m2−5当且仅当t=9t所以△AOB面积的最大值为3．【点评】本题考查椭圆、圆的方程的应用，属于中档题．19．（2025•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2−y2=1（a＞0），离心率为233，点P是C1（1）求C1的方程；（2）过点P作C1的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；（3）PC，PD是C2的两条切线，C，D是切点，求△PCD面积的最小值．【考点】圆锥曲线的综合；抛物线的定点及定值问题；根据abc及其关系式求双曲线的标准方程．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）x2（2）证明过程见解析；（3）166【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可；（2）设出直线AP的方程，将直线方程与渐近线方程联立，求出A点的坐标和|OA|，同理得到B点坐标和|OB|，再代入面积公式中求证即可；（3）推出直线CD的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式求解即可．解：（1）设双曲线的焦半距为c，此时c2＝a2+1，因为双曲线的离心率为23所以ca解得a=则双曲线C1的方程为x2（2）证明：设P（x0，y0），OA为渐近线y=33x，直线AP的方程为y−联立y=解得A(所以OA=同理得B所以OB=|因为直线OA的斜率k=所以∠AOx＝30°，