2026数学高考一轮总复习专题讲义：三角函数的图象和性质 含答案

/2026数学高考一轮总复习专题讲义：三角函数的图象和性质链接高考1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题试卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．22．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题试卷）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴3．（2024·天津·高考真题试卷）下列函数是偶函数的为（

）A． B． C． D．4．（2024·北京·高考真题试卷）设函数.已知，，且的最小值为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023·天津·高考真题试卷）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．6．（2023·天津·高考真题试卷）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（

）A． B．C． D．7．（2022·全国甲卷·高考真题试卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2020·全国I卷·高考真题试卷）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（

）A． B．C． D．【考向分析】考向一、三角函数的定义域及值域1．若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．考向二、三角函数的单调性1．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．f(x)=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A． B． C．2 D．3考向三、三角函数的奇偶性1．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（

）A． B．C． D．2．函数是A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数考向四、三角函数的周期性1．函数的最小正周期为A． B． C． D．2．在函数中，最小正周期为的函数是（

）A． B． C． D．【高考解题速通】1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题试卷）下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．2．关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数

②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点

④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③3．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为A．11 B．9C．7 D．54．函数的最大值为A．4 B．5 C．6 D．75．下列函数中为偶函数的是A． B． C． D．6．已知函数，下面结论错误的是A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数7．函数是A．以为周期的偶函数 B．以为周期的奇函数C．以为周期的偶函数 D．以为周期的奇函数8．函数是上的偶函数，则的值是（

）A．0 B． C． D．9．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减10．设函数，则（）A．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；B．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；C．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；D．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；11．下列函数中，在区间上为减函数的是A． B． C． D．12．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则A． B．C． D．13．（2020·山东·高考真题试卷）下列命题为真命题的是（

）A．且 B．或C．， D．，14．函数的最小值等于A． B． C． D．15．函数是（

）A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数16．设函数，则的最小正周期A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关17．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．18．设，，，则（）A． B． C． D．19．设则A． B． C． D．20．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．21．在函数①，②，③,④中，最小正周期为的所有函数为（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③22．对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是A． B．C． D．23．当时,函数的最小值是A． B． C． D．424．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为A． B．C． D．25．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（

）A． B． C． D．26．（2020·山东·高考真题试卷）（多选）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（

）A． B． C． D．27．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为.28．已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为．29．（2020·全国III卷·高考真题试卷）关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是．30．设向量（I）若（II）设函数31．已知向量,设函数.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期.(Ⅱ)求f(x)在上的最大值和最小值.2026数学高考一轮总复习专题讲义：三角函数的图象和性质【链接高考】1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题试卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．2【正确答案】D【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.【详解】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题试卷）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴【正确答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误；B选项，显然，B选项正确；C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC3．（2024·天津·高考真题试卷）下列函数是偶函数的为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，，，则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，且不恒为0，则不是偶函数，故D错误.故选：B.4．（2024·北京·高考真题试卷）设函数.已知，，且的最小值为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【正确答案】B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，则，即，且，所以.故选：B.5．（2023·天津·高考真题试卷）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．【正确答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D6．（2023·天津·高考真题试卷）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中，B选项中，C选项中，D选项中，排除选项CD，对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，故选：B.7．（2022·全国甲卷·高考真题试卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．故选：C．8．（2020·全国I卷·高考真题试卷）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（

）A． B．C． D．【正确答案】C【分析】根据三角函数的图像和性质即可解得.【详解】因为图像经过，所以.即.解得.由图像可知，即，解得，所以，.所以的最小正周期为.故选：C【考向分析】考向一、三角函数的定义域及值域1．若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】利用辅助角公式化简，结合正弦型函数的有界性和正切函数的单调性，得出选项．【详解】∵，∴当时，此式的取值范围是，而在上小于1，故排除A､B；在上，∴不可能相等，所以排除D，故选：C本题考查三角函数的性质，考查三角恒等变换，属于中档题．考向二、三角函数的单调性1．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．【正确答案】A【详解】由题意可得,，，，．故A正确．考点：三角函数单调性．2．f(x)=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A． B． C．2 D．3【正确答案】B【详解】由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；只有k=0时，ω=满足选项．故选B考向三、三角函数的奇偶性1．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（

）A． B．C． D．【正确答案】A【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选A．考点：三角函数的性质.2．函数是A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数【正确答案】C【详解】试题分析：本题考查三角函数的性质f（x）=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数．解：∵f（x）=2sinxcosx=sin2x，∴f（x）为周期为π的奇函数，故选C考点：二倍角的正弦．考向四、三角函数的周期性1．函数的最小正周期为A． B． C． D．【正确答案】C【详解】由题意，故选C．【名师点睛】函数的性质：(1).(2)最小正周期(3)由求对称轴.(4)由求增区间;由求减区间.2．在函数中，最小正周期为的函数是（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据正余弦、正切函数的性质求各函数的最小正周期即可.【详解】由正弦函数性质，的最小正周期为，的最小正周期为；由余弦函数性质，的最小正周期为；由正切函数性质，的最小正周期为.综上，最小正周期为的函数是.故选：A【高考解题速通】1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题试卷）下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．2．关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数

②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点

④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【正确答案】C【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④

正确，故选C．画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．3．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为A．11 B．9C．7 D．5【正确答案】B【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在上单调，可得ω的最大值．【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选B．本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.4．函数的最大值为A．4 B．5 C．6 D．7【正确答案】B【详解】试题分析：因为，而，所以当时，取得最大值5，选B.【考点】正弦函数的性质、二次函数的性质【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时，函数取得最大值.5．下列函数中为偶函数的是A． B． C． D．【正确答案】B【详解】根据偶函数的定义，A选项为奇函数;B选项为偶函数；C选项定义域为不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.故选：B.6．已知函数，下面结论错误的是A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数【正确答案】D【详解】试题分析：,所以函数的最小正周期为,函数在区间上是增函数,函数的图像关于直线对称,函数是偶函数.考点：1.三角函数的周期性；2.三角函数的奇偶性；3.图像得对称轴；4.函数的单调性.7．函数是A．以为周期的偶函数 B．以为周期的奇函数C．以为周期的偶函数 D．以为周期的奇函数【正确答案】A【详解】，8．函数是上的偶函数，则的值是（

）A．0 B． C． D．【正确答案】C【分析】根据是奇函数，是偶函数，对选项逐一排除即可．【详解】解：当时，为奇函数不满足题意，排除；当时，为非奇非偶函数，排除；当时，，为偶函数，满足条件．当时，，为奇函数，排除；故选：．本题主要考查三角函数的奇偶性及诱导公式，属于基础题．9．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减【正确答案】D【详解】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．故选D.10．设函数，则（）A．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；B．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；C．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；D．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；【正确答案】D【详解】试题分析：，时，，所以在上单调递减．令，．所以图像关于直线对称．故D正确．考点：1三角函数的化简；2余弦函数的单调性，对称轴．11．下列函数中，在区间上为减函数的是A． B． C． D．【正确答案】D【详解】试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.考点：函数增减性12．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则A． B．C． D．【正确答案】D【详解】试题分析：由题意知，因为所以所以且所以故选D.考点：1、线面角；2、正弦函数与余弦函数．13．（2020·山东·高考真题试卷）下列命题为真命题的是（

）A．且 B．或C．， D．，【正确答案】D【分析】本题可通过、、、、得出结果.【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误；B项：根据、易知B错误；C项：由余弦函数性质易知，C错误；D项：恒大于等于，D正确，故选：D.14．函数的最小值等于A． B． C． D．【正确答案】C【详解】，选C.15．函数是（

）A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数【正确答案】C【分析】用诱导公式化简，然后利用三角函数的性质判断即可得到选项.【详解】解：，，为偶函数，不是奇函数，不是单调函数.故选：C.16．设函数，则的最小正周期A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【正确答案】B【详解】试题分析：，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．【考点】降幂公式，三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数的最小正周期．17．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】由周期公式计算即可.【详解】由周期公式，又,所以函数的周期，故选B.本题考查三角函数的最小正周期，理解公式是关键，本题属于基础题.18．设，，，则（）A． B． C． D．【正确答案】D【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D.19．设则A． B． C． D．【正确答案】C【详解】试题分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出．解：∵a=sin33°，b=cos55°=sin35°，∴a＜b，又，∴c＞b＞a．故选C．考点：不等式比较大小．20．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】利用函数的周期公式即可求解.【详解】由题意可知，，所以函数的最小正周期为.故选：B.21．在函数①，②，③,④中，最小正周期为的所有函数为（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【正确答案】A【分析】由三角函数性质判断各项函数的周期，即可得答案.【详解】①函数为偶函数，周期与相同，；②函数周期是的一半，即；③由余弦型函数性质；④由正切型函数性质.故选：A22．对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是A． B．C． D．【正确答案】D【详解】由为准偶函数的定义可知，若的图象关于对称，则为准偶函数.在D中，的图象关于对称，故选D.考点：新定义，函数的图象和性质.23．当时,函数的最小值是A． B． C． D．4【正确答案】D【分析】分子与分母同除以，得利用二次函数求最值即可解答【详解】分子与分母同除以，得，时，的最大值为综上，的最小值为4故选D本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题24．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为A． B．C． D．【正确答案】D【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为，，故选D.考点：三角函数图像与性质25．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（

）A． B． C． D．【正确答案】D由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x＝1时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；当x→＋∞时，y→＋∞，排除B.故选：D.本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.26．（2020·山东·高考真题试卷）（多选）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（

）A． B． C． D．【正确答案】BC【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,不妨令,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.27．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为