解三角形中的几何问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/解三角形中的几何问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（

）A． B． C． D．12．在中，已知是边上的中线，则（

）A． B． C． D．3．在中，，，的角平分线交于，，则（

）A． B．C． D．4．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题5．已知的内角的对边分别为，且，则（

）A． B．的外接圆半径为C．若，则的面积为 D．边上中线的最大值为46．在中，若的角平分线交AC于点D，则下列说法正确的是（

）A．B．的外接圆周长为C．D．7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，．若边上的中线，角A的角平分线交于点E，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．的面积为三、填空题8．在中，已知，若边上的高为，则．9．在平面四边形ABCD中，，，，且四边形ABCD的面积为，则．10．的内角、、所对的边分别为、、若，边上的高为，则.11．在中，，的角平分线交BC于D，则．12．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为．四、解答题13．在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足．(1)求；(2)若，，求边上的高．14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求证：A，B，C成等差数列；(2)若，，线段AC延长线上的一点D满足，求BD的长.15．在中，内角所对的边分别是，已知.(1)求角；(2)已知角的平分线与边相交于点，且，求的面积.16．中，角对应的边分别为，(1)求角；(2)若点在边上，且，求的面积.17．如图所示，在平面四边形中，角为钝角，且.

(1)求钝角的大小；(2)若，求的大小.18．记中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，边上的中线长为，求的面积.19．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，角的角平分线交于点，且．(1)求的长；(2)求的面积．

答案题号1234567答案BBBCBCABDABD1．B【分析】令，且，根据已知得、，再由列方程求边长即可.【详解】令，则，由题设，有，，所以，则，所以，可得（负值舍）.故选：B2．B【分析】利用两次余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理得：，再由余弦定理得：，则，故选：B3．B【分析】利用正弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项.【详解】如下图所示：在中，，，则，在中，，所以，，在中，由正弦定理可得，所以，A错；在中，，则，且，由正弦定理可得，则，B对；，D错；因为，所以，，C错.故选：B.4．C【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围．【详解】由是边上的中线，得，则，由正弦定理得，得，，则，而，，于是，由为锐角三角形，，得，即，则，，因此，即，所以的取值范围为.故选：C5．BC【分析】利用正弦定理边化角来求出利用正弦定理求外接圆半径，利用勾股定理来判断直角三角形求出的面积为，利用中线长公式，再结合基本不等式可求出最大值为，从而可作出各选项的判断.【详解】对于A：由和正弦定理，可得移项得，即因，则，代入上式，得，因，则，故，又因为，则，故A错误；对于B：由正弦定理，，即三角形的外接圆半径为故B正确；对于C：由余弦定理得，，因为，所以，，又因为，则，可知三角形的面积为，故C正确；对于D：由余弦定理和基本不等式，可得，当且仅当时取等号，因为边上的中线，则有，两边取平方，可得，则，当且仅当时的最大值为，故D错误．故选：BC.6．ABD【分析】应用余弦定理计算求解判断A，应用正弦定理计算求出外接圆半径判断B，应用二倍角余弦公式计算求解判断C，根据向量数量积公式计算求解判断D.【详解】在中，由余弦定理可得，所以，故A正确；又，可得，所以的外接圆直径，所以的外接圆周长为，故B正确；因为BD为的角平分线，所以，所以，所以，在中，，故C错误；又因为，所以，故D正确．故选:ABD．7．ABD【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出判断A；利用余弦定理及数量积的运算律求出判断B；利用数量积的定义计算判断C；由三角形面积公式求出面积判断D.【详解】在中，由及正弦定理，得，而，则对于A，，则，A正确；对于B，由余弦定理得，又，两边平方得，解得，B正确；对于C，，C错误；对于D，因为，为中点，所以，由角A的角平分线交于点E，得，则，因此点到边的距离，，D正确.故选：ABD8．/【分析】设角所对的边为c，由题设用表示出，再应用余弦定理求.【详解】设角所对的边为c，依题意得边上的高，而，所以，，在中，，在中，；在中，．故9．/0.5【分析】根据给定条件，利用余弦定理、三角形面积公式列式，再利用和角的余弦求解.【详解】在中，由余弦定理得，整理得，由四边形ABCD的面积为，得，整理得，因此，整理得，所以.故10．【分析】利用三角形的面积公式可得出，设，则，利用余弦定理可得出，再由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值.【详解】由题意可得，整理可得，不妨设，则，由余弦定理可得，故，所以，，因为，故.故答案为.11．【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故．本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．12．9【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.故答案为.［方法二］：角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式由三角形内角平分线性质得向量式．因为，所以，化简得，即，亦即，所以，当且仅当，即时取等号．［方法三］：解析法＋基本不等式如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以．下同方法一．［方法四］：角平分线定理＋基本不等式在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式在与中，由正弦定理得．在中，由正弦定理得．所以，由正弦定理得，即，下同方法一．［方法六］：相似＋基本不等式如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则．由，得，即，从而．下同方法一．【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．13．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用余弦定理求出的值，求出的面积，即可求出边上的高．【详解】（1）由正弦定理，有，有，

通分后，有，有，因为，则，又由，有，可得，

又由，可得.（2）设边上的高为，由及余弦定理，有，

的面积为，则.14．(1)证明见解析(2).【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得答案；（2）结合（1）可得，在和中分别用正弦定理推出，再利用等面积法，即可求出答案.【详解】（1）由及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，因为，所以，又，所以，则，所以A，B，C成等差数列．（2）由（1）可知：及，，得，即，解得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由得，所以，即，所以，设的面积为，则，即，又，解得，所以BD的长为.15．(1)(2)【分析】（1）利用正余弦定理可求得，进而可求角；（2）利用，可得，结合余弦定理可求得，从而可求面积.【详解】（1）因为，由正弦定理知，即，由余弦定理知，所以.（2）由已知，则，所以.在中，由余弦定理，即，所以，解得，.16．(1)(2)【分析】(1)利用三角形内角和定理，结合正弦定理边化角，即可求角；(2)利用同角公式求正弦值，再结合正弦定理求出，然后再根据余弦定理结合已知条件求出，从而可求出的面积.【详解】（1）由三角形内角和定理可知：，再由，利用正弦定理边化角得：，因为，所以有，则；（2）由，在中，可得，再由正弦定理得：，再由余弦定理可得：，即，解得或，因为，所以为钝角，故，所以的面积.17．(1)(2)【分析】（1）利用两角和的余弦公式，二倍角余弦公式，诱导公式将条件式化简，求得的值得解；（2）设，由正弦定理求得，结合条件，求得，结合角的范围求得结果.【详解】（1）因为，所以，所以，又，所以，即，解得或者，又为钝角，所以.（2）设，四边形内角和为，由（1）的结论知：，在中，由正弦定理得：，即，在中，，即，又，则，即，即，，即，，即，即的大小为.18．(1)(2)4【分析】（1）将边化角，结合两角和的正弦公式即可化简求解；（2）在中，由余弦定理可求，进而可得，再利用三角