数列的最值高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/数列的最值高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．已知为正项等差数列，若，则的最大值为（

）A．4 B．6 C．8 D．102．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（

）A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或153．在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．84．记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（

）A．40 B．41 C．42 D．435．正项等差数列中，，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．6二、多选题6．对于给定的数列，对任意的，总存在，使得，则称为“数列”，则（

）A．若，则数列是“数列”B．若，则数列是“数列”C．若数列是“数列”，则数列也是“数列”D．若项数有限的数列是“数列”，且各项互不相等，则项数的最大值为37．已知数列的前项的和，，若，则下列说法正确的是（

）A．为等差数列B．C．能取得最小值D．当时，取得最小值三、填空题8．已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于9．已知数列满足，则的最小值为.10．已知数列满足，，则①当时，存在，使得；②当时，为递增数列，且恒成立；③存在，使得中既有最大值，又有最小值；④对任意的，存在，当时，恒成立．其中，所有正确结论的序号为．11．已知在数列中，，且，设，若，则正整数的最大值为.12．若，，记数列的前项和为，则的最小值为.四、解答题13．已知正项等比数列的前项和为，满足，.(1)求数列的前项和.(2)在（1）的条件下，若，，求的最小值.14．记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足.(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的最小值及取得最小值时的值．15．设数列的前项和，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前项和，求使成立的的最小值．16．已知等差数列满足，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列．(1)求的通项公式；(2)探究的单调性，并求其最值．17．已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且.(1)求，；(2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值.18．已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；（3）设，，求的取值范围，使得对任意，，，且.19．记为数列的前项和，已知．(1)求；(2)证明：数列是等比数列；(3)求的最值．

答案题号1234567答案CABBBBCDBC1．C【分析】由题意求得，，进一步将所求转换为关于的二次式子即可求解.【详解】，解得，由于为正项等差数列，则，解得，，等号成立当且仅当，所以的最大值为8.故选：C.2．A【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，结合及数列单调性确定取最小值时的值.【详解】由，，所以，数列的公差，且，所以，且数列单调递增，故取最小值时，的值为15或16.故选：A3．B【分析】根据等比数列性质及分组求和法，利用等比数列的前项和及数列的单调性即可求解.【详解】由可得，故，设的公比为，则，即，故，则．由于时，，故随着的增大而增大，而，，故满足的最小正整数的值为6．故选：B.4．B【分析】由等差数列求和公式得，根据题意列出不等式即可求解.【详解】由已知可得，的公差为，故，故，令，又，所以，故n的最大值为41，验证，，所以n的最大值为41.故选：B.5．B【分析】设公差为，由求出，则，由及乘“1”法计算可得.【详解】正项等差数列中，设公差为，因为，所以，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B6．BCD【分析】依据题目数列的要求，对选项逐一判断即可.【详解】对于A，若，则是等比数列，由，得，所以不是“数列”，A错误；对于B，若，对任意，则，又，则存在，使得，所以数列是“数列”，B正确；对于C，若是“数列”，则，由，得，所以是“数列”，C正确；对于D，因为各项互不相等，若是“数列”中的一项，可知是数列中的项，取，解得或，即0，1可能符合题意，若，则，即也可能符合题意，对于数列是“数列”，假设数列还有其他项是“数列”，取，则存在，使得；取，则存在，使得，；依此类推，可得到，此时数列不满足项数有限，即假设不成立，可知数列不存在其他项，所以项数的最大值为3，故D正确.故选：BCD.7．BC【分析】对两边同除以，即可判断选项A，由，利用累加法即可求得，进而求得，判断选项B，结合导数判断函数单调性，即可判断选项C，结合与的关系式，赋值法即可判断选项D.【详解】对于选项A，两边同除以，得，故选项A错误；对于选项B，由，可得，累加法得，代入，得，又满足上式，故，，故选项B正确；对于选项C，令，则，由得，由得，所以当时取得最小值，经验证时，能取得最小值，故选项C正确；对于选项D，由，，所以，由得，由得，由上可知的最小值在或时取得，当时，，当时，，经验算时取得最小值，故选项D错误.故选：BC8．【分析】由题意可知数列是首项为10，公差为的等差数列，求出前n项和，转化为求函数的最大值问题即可.【详解】当时，，且，所以，数列是首项为10，公差为的等差数列，则数列的前n项和为，因，故当时，取得最大值18．故．9．【分析】根据数列的知识以及基本不等式求得正确答案.【详解】，但没有正整数解，所以等号不等成立，，，所以的最小值为.故10．②③④【分析】根据数列递推式，求得判断①②；举出特例说明判断③；按和分类讨论判断④.【详解】由，得，则，，对于①，当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，则，即，数列单调递增，，因此不存在，使得，①错误；对于②，当时，由①知，，则数列单调递增，，又，因此，②正确；对于③，取，则，而，因此，数列有最大值2，最小值为，③正确；对于④，若，则当时，，不等式恒成立；若，则，随着正整数无限增大，无限趋近于0，无限趋近于，而，，则无限趋近于，因此必存在，当时，恒成立，则对任意的，存在，当时，恒成立，④正确.故②③④11．1012【分析】根据条件得数列为严格递增数列，且，从而得出，再由，得到，进而得，即可解决问题.【详解】由，，得，且，即数列为严格递增数列，由，知，所以，得到，因为，所以.由，得，解得，所以正整数的最大值为1012.故1012.12．【分析】由题意得，令，则，可得，令，求导分析单调性结合的范围即可求解.【详解】，则，所以，令，则，所以，令，则，所以当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，因为，且，当时，，当时，，所以的最小值为.故答案为.易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.13．(1)(2)【分析】（1）根据等比数列的性质可求解公比，即可求解通项，进而利用错位相减法即可求和，（2）将问题转化为求解，利用作差法求解数列的单调性即可求解.【详解】（1）由于为正项等比数列，，故，故公比，故，则，两式相减得，所以（2）由已知得由可得，即设，当时，；当时，所以当时，取最大值，即.故的最小值是.14．(1)，(2)，和.【分析】（1）解方程组求出等比数列公比，即可求得；继而可求出等差数列的首项，即可求得的通项公式；（2）结合（1）可得数列的通项公式，利用作差法可判断数列单调性，即可求得答案.【详解】（1）设等比数列的公比为q，，，可知,故，解得，故，又数列是公差为1的等差数列，且，故，即，解得，故；（2）由于，则，则，当时，，当时，，即，故数列的最小值为，此时和.15．(1).(2)10.【详解】试题分析：（1）借助于将转化为，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列的通项公式，可知数列为等比数列，求得前n项和，代入不等式可求得n的最小值试题解析：（1）由已知，有，即．从而．又因为成等差数列，即．所以，解得．所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列．故．（2）由（1）得．所以．由，得，即．因为，所以．于是，使成立的n的最小值为10．考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和16．(1)(2)先单调递减后单调递增，有最小值，无最大值【分析】（1）设出等差数列的公差，利用方程组解出和，进而得通项公式；（2）利用等比数列的通项公式求得，再利用数列单调性的定义判断单调性即可.【详解】（1）设的公差为，由题可得，解得，所以，即的通项公式为.（2）由题意得，又是公比为2的等比数列，所以，则．所以，因此，当时，，当时，，所以，所以数列先单调递减后单调递增，且有最小值，最小值为，无最大值．17．(1)，(2)【分析】（1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解；（2）转化问题为对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解.【详解】（1）由，当时，，当时，，满足上式，所以.由，正项等比数列的首项为1，当公比时，，，不满足；当公比，且时，，解得，此时.综上所述，.（2）由，，则，即对任意的恒成立，当时，，当时，设数列在第项取得最小值，则，解得，而，则，此时取得最小值，由于，即，则实数的最大值为.18．（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）由题知是等差数列，即求；（2）由题得为常数列，可证；（3）由可得，由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值为，结合条件即得.【详解】（1）因为，，所以，所以是等差数列，首项为，公差为6，∴.（2）由，得.所以为常数列，，即.因为，，所以，即.故的第项是最大项.（3）因为，所以，当时，.当时，，符合上式.所以.因为，且对任意，，故，特别地，于是，此时对任意，，当时，，，由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值为，∴的最大值及最小值分别是及，由及，解得，综上所述，的取值范围是.19．(1)(2)证明见解析(3)的最小值为，无最大值【分析】（1）已知，要