正弦定理、余弦定理的综合应用高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/正弦定理、余弦定理的综合应用高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（

）A． B． C． D．2．已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（

）A． B． C．2 D．3．在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（

）A． B． C． D．4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（

）A． B． C． D．5．已知中，角的对边分别是，且，的外接圆半径为，边上的高为2，则（

）A．5 B．6 C．8 D．96．在中，，则（

）A． B． C． D．7．如图，在所在平面内，分别以为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，的面积，，则（

）

A． B． C．4 D．二、多选题8．在中，内角所对的边分别为，其中，且，若边上的中点为，则（

）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为9．四边形内接于半径为的圆，如图所示，其中，，则下列结论正确的有（）A． B．C．四边形的面积为 D．三、填空题10．在中，角的对边分别为且.，为外一点，如图，且，的面积为，则边长的值为11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为．12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为.13．在中，角，，所对的边分别为，，且．当取最小值时，则．14．中，为边上靠近点的三等分点，且，则长度的取值范围为．四、解答题15．在中，点在边上，，，．(1)若，求；(2)若，求．16．在中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，是1和的等差中项．(1)求角B；(2)若，求b的最小值．17．在中，已知角、、的对边分别为、、，的平分线交于点，，.(1)证明：；(2)求的最小值.18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角B；(2)若，c＝4，求△ABC的周长；(3)若，求△ABC的面积.19．在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.

答案题号123456789答案ABCABAAABACD1．A【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而结合余弦定理可得，进而结合面积公式即可求解.【详解】由，根据正弦定理得，，即，即，即，因为，则，所以，即，所以，又，则，即，又，所以的面积为.故选：A.2．B【分析】结合图形，先利用正弦定理、余弦定理及边之间的关系得出：，，梯形的高为，进而得出；再根据梯形等面积公式即可求解.【详解】如图：

若梯形有外接圆，则梯形为等腰梯形.设梯形的外接圆半径为，则由正弦定理得，解得.在中，由余弦定理可得：，且，解得，则梯形的高为：；；.设梯形的内切圆半径为，根据等面积法，有，解得.故选：B.3．C【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值．【详解】在中，，由正弦定理得，即，由余弦定理得，∵，∴，∵，当且仅当时取等号，因此，∴面积，∴当时，的面积取得最大值．故选：C．4．A【分析】根据正弦定理、三角恒等变换、同角三角函数的基本关系化简，求出得解.【详解】由及正弦定理，得，所以，且A，C均为锐角．由，得，两边同时除以，得，与联立得，，则，所以，，，所以，因为，所以，所以的面积，故选：A．5．B【分析】先将变换为，再利用正弦定理求出A，结合的外接圆半径可求出,最后利用三角形的面积公式和余弦定理即可得出答案.【详解】由，得，整理得，由正弦定理得，则，则，则．因为，所以，所以．由于，所以．且．，得，由余弦定理得，即，因此，则，所以，故选：B．6．A【分析】由题意可求得角A，由余弦定理求得，再根据正弦定理求得.【详解】由，得，又，所以，由余弦定理得，得，由正弦定理得，即，所以，故选：A．7．A【分析】利用正弦定理和余弦定理推得①和②式，根据题中条件化简整理求得，利用即可求得.【详解】由和正弦定理得：①，在中，由余弦定理，②，因都是等腰直角三角形，故③，将①，③两式代入②式，可得（*），又，所以，代入（*），解得，即．故选：A.思路点睛：对于含三角形边角的方程，一般考虑利用定理边角互化，结合题设条件，找到彼此的切入点和联系，有时还需基本不等式或三角恒等变换等内容才能解决.8．AB【分析】由正弦定理的边角变换与三角恒等变换可得；再利用余弦定理与三角形面积公式，结合基本不等式可得的最值与的最值；利用向量的线性运算与数量积的运算律可求得的最小值，从而得解.【详解】对于A：因为，由正弦定理得，即，即，因为，所以，所以，所以，即，又，，则，，故A正确；对于B：由余弦定理知，得，因为，，所以，则，当且仅当时，等号成立，因为，所以的最大值为，故B正确；对于C：由B知，则，故，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C错误；对于D：因为边上的中点为，所以，则所以的最小值为，故D错误.故选：AB.9．ACD【分析】连接、，借助余弦定理可得、，即可得，从而可得A；再借助正弦定理可得B；借助面积公式计算可得C；求出后借助数量积公式计算即可得D.【详解】对于A，连接，在中，，，，，解得，，即，故A正确；对于B，，由正弦定理得，该外接圆的半径为，故B错误；对于C，，，四边形的面积，故C正确；对于D，连接，，，解得，，则，故D正确．故选：ACD．10．8【分析】先利用正弦定理对已知条件进行变形，并结合余弦定理可得到，再利用同角三角函数的基本关系求得、，并由利用倍角公式求得和，由三角形的面积公式求出边，然后在中利用余弦定理求得的值，最后在中利用余弦定理求出的值.【详解】在中，∵，∴∴，由正弦定理可得，即，由余弦定理得即.又因为，所以或，因为，所以，∴∵，所以，故的面积，解得则在中，由余弦定理可得.即.在中，由余弦定理∴所以.故8.11．【分析】本题根据余弦定理与正弦定理进行化简，得到为，求出的范围，结合对勾函数的特点，即可求得.【详解】由题意，因为，即由正弦定理可得，，所以或，，又，，，，，解得，，又因为，令，则，，根据对勾函数的性质，函数在上单调递增，所以，所以则的取值范围为，故答案为.关键点睛：本题综合考查了余弦定理、正弦定理以及对勾函数的性质，较为综合.12．/0.75【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答.【详解】在中，由射影定理及得：，由正弦定理边化角为：，于是得，由得，，即角是钝角，，，当且仅当，即时取“=”，所以tanA的最大值为.故13．【分析】由已知结合余弦定理得，代入结合基本不等式得取得最小值的取等条件为，从而，进而求出.【详解】由及余弦定理得：，整理得，则，当且仅当，即时取等号，此时，，则，故14．【分析】先设，根据已知条件表示，再用正弦定理分别在和中建立等式，进而得到和的关系，再利用余弦定理得到关于关于和的关系，再在中利用余弦定理，然后得到和的关系，最后利用换元法和基本不等式求解即可得到答案.【详解】设，则，，

又，即，因为为边上靠近点的三等分点，设，在中，根据正弦定理，即，变形得：①，

在中，根据正弦定理，即，变形得：②，

又，由①②得，，在中，由余弦定理,在中，由余弦定理

,又，有，代入得：，在中，由余弦定理，，

整理得：，

又，所以，

令，

则，，而对勾函数在单调递增，所以，那么，则即，那么线段.故答案为.15．(1)(2)【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，从而得，进而在中，可解；（2）设，，（），借助直角三角形可，则利用正弦定理求得，再用余弦定理求出，即可得解.【详解】（1）在中，，由余弦定理，，得，所以．所以在中，．（2）设，，（），在中，由正弦定理得，又因为，代入上式有：，得．由余弦定理得，综上，．16．(1)(2)．【分析】（1）由正弦定理的边化角，代入计算，即可得到结果；（2）由余弦定理代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由已知得，在中，由正弦定理得，化简得．因为，所以．又，所以．因为．所以．（2）由余弦定理可得，，当时，b取最小值，且最小值为．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，可得出，，由此得出，结合正弦定理化简可得出结论；（2）在、中，利用正弦定理结合（1）中的结论得出，利用基本不等式“1”的妙用可求得的最小值.【详解】（1），设，故，平分，，在中，，在中，，则，在中，即，由正弦定理得.（2）在中，由正弦定理得，，则，同理在中，，由（1），则，故当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为18．(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理化简可得，利用角范围即可得到角B；（2）根据余弦定理解得即可求