湖南长沙市长郡教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次学情分析数学试卷【含答案】

湖南长沙市长郡教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次学情分析数学试卷1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（）A． B． C． D．2．人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；Deepseek−V3模型参数可达6710亿个，其中6710亿用科学记数法表示为（）A．6710×103 B．6.71×1010 C．3．8个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看到的形状图是（）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（）A．2m6−C．−12a2÷4a=3a5．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：甲乙丙丁戊平均成绩众数成绩/分8176■808380■则被遮盖的两个数据依次是（）A．80，82 B．81，82 C．80，80 D．81，806．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图∠1=45∘,∠2=A．80∘ B．90∘ C．100∘7．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB=3∠BOC，若∠ACB=60°，则∠BAC的度数是（）A．30° B．20° C．15° D．10°8．近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为m元，现打九折，再优惠n元，那么该手机现在的售价为（）A．109m−n元 B．109(m−n)元 C．9109．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠ABC=27°，BC=36cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，A．8.10cm B．11.22cm C．9.18cm D．16.02cm10．若实数m满足m2A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜211．使代数式2x−13−x有意义的x的取值范围是12．知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是．13．若关于x的方程x2−x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是14．如图，点M是函数y＝2x与y＝kx的图象在第一象限内的交点，OM＝5，则k的值为15．若圆锥的母线长为3，底面半径是1．则这个圆锥侧面展开图的圆心角是度．16．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是17．计算：8+18．先化简，再求值：(2x+y)(2x−y)−(x−2y)2+(6x419．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE=BD；分别以点D和点E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交（1）连接EF、DF，通过证明△BEF≌△DEF，得到∠ABG=∠CBG，从而得到BG是∠ABC的平分线，其中证明△BEF≌△BDF的依据是______（填序号）．①SAS；②ASA；③AAS；④SSS（2）当∠A=56°，∠BGC=______；（3）若AC=3，BC=4，P为AB上一动点，求GP的最小值．20．为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是________；（2）图1中∠α的度数是________，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为________．（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、点F分别为OA，OC的中点，连接（1）求证：BE=DF；（2）已知EF=2，AB=10．若BD=2AB，求▱ABCD22．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点E，点D为AC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE=1，OA=3，求∠ACB24．我们约定：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0与一元二次方程cx（1）直接写出3x（2）对于任意非零实数m，n，点Pm,t与点Qn,tm≠n始终在关于x的函数y1=①求函数y2②函数y2（3）若关于x的二次函数y1=ax2+bx+c的图象经过平面直角坐标系中三个象限，a+c>0且c≥a，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是AB25．如图1，AC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，∠ADC的平分线DB交⊙O于点B，交AC于M，连接AB、CB．（1）填空：AD2AB2（2）如图2，过点D作DN⊥AC，垂足为N，若AD=25CN，求（3）如图3，记DC=m，DA=n，①试用含m，n的式子表示DM⋅MB；②若点I是△ACD的内心，试用含m，n的式子表示IMID

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】A11．【答案】x≥112．【答案】-613．【答案】a<14．【答案】215．【答案】12016．【答案】517．【答案】解：原式=2=2=2．18．【答案】解：原式=4=4=(4=4xy，当x=12，y=−2时，原式19．【答案】（1）④（2）73°（3）解：过点G作GH⊥AB于H，即为GP的最小值，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=3∵GH⊥BA，GC⊥BC，BG是∠ABC的平分线，∴GH=CG，设GH=CG=x，则12∴x=4∴GH=4∵P为AB上一动点，∴GP的最小值43​​​​​​​20．【答案】（1）40（2）54°

解：C级的人数是：40−6−12−8=14（人），补全条形统计图如下：（3）700（4）解：根据题意画树形图如下：共有12种等可能结果，选中小明的有6种，则P（选中小明）=21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AO=CO，∴∠BAC=∠ACD，∵点E，F分别是AO，∴AE=CF，∴△ABE≌△CDFSAS∴BE=DF；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO=DO=1∵BD=2AB，∴BO=AB，∵AE=EO=FO=CF，∴BE⊥AO，∵EF=2，AB=10∴AE=EO=FO=CF=1，∴BE=AB2∴▱ABCD的面积=2×122．【答案】（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为a+400元，由题意，得：80000a+400解得a=1600，经检验a=1600是原方程的解；∴a+400=2000；答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元；（2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调100−x台，由题意，得：100−x≤2x解得1003∵x为整数，∴x=34,35,36，共3种方案；∵y=2100−2000∴y随x的增大而减小，∴当x=34时，购进空调100−34=66台，y有最大值为13300元，答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元．23．【答案】（1）证明：如图，连接OD，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵点D是AC的中点，O是AB的中点，∴OD∥BC，∴∠OBE=∠AOD，∠OEB=∠EOD，∴∠AOD=∠EOD，在△AOD和△EOD中，OD=OD∠AOD=∠EOD∴△AOD≌△EODSAS∴∠OED=∠OAD=90°，∴OE⊥DE，∵OE是半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，连接AE，∵AB为⊙O直径，∴∠AEB=90°，∴∠CAB=90°=∠AEB，∵∠C=∠C，∴△AEB∽△CAB，∵BE∴BE∴BE=3或BE=−4（舍去），∴BC=BE+EC=4，∴sin∠C=AB∴∠C=60°．答：∠ACB的度数为60°24．【答案】（1）解：−x2−2x+3=0，

即−x+1x+3=0，

（2）解：①∵点Pm,t与点Qn,tm≠n始终在关于x的函数y1=x2+mx+n的图象上运动，

∴对称轴为x=m+n2=−m2，

∴n=−2m，

∵函数y2与y1互为“轮转对称函数”，

∴y2=nx2+mx+1，

∴函数y2的图象的对称轴为x=−m2n（3）解：∵关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过平面直角坐标系中三个象限，

∴Δ>0且x1x2>0，

∴ca>0，

∴ac同号，

又∵a+c>0且c≥a，

∴c≥a>0，

设“轮转对称函数”y2=cx2+bx+a的图象与x轴交于Ax1,0，Bx2,0，

∵12OA−12OB=MDOC，

∴1OA−1OB=2MDOC，

∴OB−OAOA⋅OB=2MDOC，

∴ABOA⋅OB=2MDOC，

∴x25．【答案】（1）2,（2）解：∵DN⊥AC，AD⊥DC，

∴∠ADC=∠DNA=90°，

∵∠DAC=∠NAD，

∴△ADC∽△AND，

∴ADAN=ACAD，

∴AD2=AN⋅AC，

∵AD=25CN，

∴设CN=1，AN=x，则AD=25，

∴252=xx+1，

整理得：x2+x−20=0，

解得：x=4或（3）解：①设点M到AD,CD的距离为h，AC边上的高为k，在△ADC中