北科大材料力学课件14静不定结构

第十四章静不定结构材料力学§14-1静不定结构StaticallyIndeterminateSystem静不定度（次）数的定义静不定度（次）数=未知力的个数-平衡方程的个数

=多余未知力的个数注：1.外力静不定:多余未知力为外力

2.内力静不定:多余未知力为内力(b)为平面力系，属三次静不定(c)为空间力系，属六次静不定一、外力静不定系统

解除多余约束后得到的静定结构，称为原静不定系统的基本静定系，或相当系统。

静不定系统，按其多余约束的情况，可以分为：（1）外力静不定系统（2）内力静不定系统。

由于外部的多余约束而构成的静不定系统,一般称为外力静不定系统。

求解外力静不定系统的基本方法，是解除多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。例1：外力静不定系统--作图示梁的弯矩图。解：即解得变形协调条件为解除A点的转动约束，代之以约束反力偶。则有基本静定系。用变形比较法解静不定结构注意：基本静定系的形式并不唯一即解得变形协调条件为_对上题，解除B点的位移约束，代之以约束反力FBy。则有基本静定系。例2：外力静不定系统--作图示等刚度刚架的弯矩图。解：解除B点的位移约束，代之以约束反力FBy。则有基本静定系。FBy解：变形协调条件为即解得qa

/823qa

/82M图二、内力静不定系统

有些结构，支座反力可以由静力平衡条件全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，这类结构称为内力静不定系统。求解内力静不定系统，需要解除杆件或杆系的内部约束。§14-2用力法解静不定结构即变形协调条件为分析题一的第二种解法，解除B点的位移约束，代之以约束反力YB或X11。则有基本静定系。X1令：D1X1=令：D1P=表示由力P在B点的垂直位移表示由力X1在B点的垂直位移PX1lPl/2D1P=D1X1=d11=几何解释Δ1X1X1δ111Δ1PPD1=D1P+D1X1D1=D1P+D1X1=0D1X1=d11X1d11X1+D1P

=0——力法正则方程在解除约束的地方，位移可以叠加：在此处，实际位移为（称：变形协调方程）：在线弹性变形中，位移与载荷成比例：得到例：用力法正则方程解静不定系统解：解除B点的位移约束，代之以约束反力X1。则有基本静定系。X1d11X1+D1P

=0力法正则方程由莫尔积分可得：X1=-D1P/

δ11=qa/8代入力法正则方程

δ11X1+δ12X2

+…

+

δ1nXn

+

Δ1P

=0δ21X1

+δ22X2+…

+

δ2nXn

+

Δ2P

=0……δn1X1

+δn2X2

+…

+

δnnXn

+

ΔnP

=0N次静不定力法正则方程dij——Xi处沿Xi方向由于Xj处的单位载荷引起的位移由位移互等定理，应有d

ij=d

jid

ij=——————Mi(x)Mj(x)dxEIDiP——Xi处沿Xi方向由于外载荷引起的位移D

iP=—————M

(x)Mi(x)dxEI例求解静不定刚架。各段EI相等。例：平面刚架受力如图，各杆EI=常数。试求C处的约束力及支座A、B的约束反力。解：例12：解：例：以工字梁AB为大梁的桥式起重机,加固成图示形式。各杆截面面积皆为A。工字梁与其它各杆同为A3钢。P作用于跨度中点，求工字梁的最大弯矩。PABCaaaEDFPABCaaaEDFPABCxEDFX1例：计算各杆内力。设各杆EA相同P15432aa6P154326X1例14-2P15432aa6例：作曲杆弯矩图PABa45°45°PABfX1例：PABa45°45°本次作业14-4，14-5(a)，14-10一、对称与反对称载荷的概念EIEIEIPaa对称结构－几何形状、尺寸、材料、约束等对称于某一对称轴对称结构对称载荷对称载荷－载荷的大小、方向、作用位置对称于结构的对称轴EIEIEI对称结构Paa反对称载荷注意：

无论是对称载荷还是反对称载荷，一定是要作用对称结构上。离开对称结构的载荷，无所谓对称与反对称。对称载荷－载荷的大小、方向、作用位反对称于结构的对称轴§14-3静不定结构中对称与反对称性质的利用对称结构对称载荷FMF/2F/2对称结构反对称载荷aABmaa/2CaABmaa/2CmaABmaa/2Cm问题：对称结构，加与已知力偶m对应的载荷。哪种是对称载荷？哪种是反对称载荷？反对称载荷对称载荷二、对称与反对称内力的概念NNQQMM在考察的截面上：N（轴力）和M（弯矩）

是对称的内力Q（剪力）是反对称的内力

对于空间问题：有什么对称内力？有什么反对称内力？在空间问题里，每个截面上有6个内力，分别是：1个轴力，2个剪力，1个扭矩，2个弯矩其中：对称内力是：1个轴力和2个弯矩反对称内力是：2个剪力和1个扭矩问题：对称结构，受力F作用。哪种内力是对称载荷？哪种是反对称载荷？加何种力可以形成对称加载？P2a2aABCDE对称载荷P2a2aABCDPE反对称内力PACDBYEY`E对称内力PACDBX`EXE问题：对称结构，受4力F作用。在什么地方，内力具有对称（或反对称）性质？三、对称载荷的性质：EIEIEIPaa解：1）判断静不定种类及次数约束反力三次静不定2）解除多余约束，建立静定系3）对静定基进行受力分析，建立相当系统为了不破坏对称性，选对称截面---对称结构与其对称轴相交的截面释放刚架在对称截面的3个内力PPNQM4）分别研究切口两侧，建立正则方程竖直相对线位移，相对转角，水平相对线位移，PPPP对称对称反对称对称正则方程组简化为：结论：在对称的结构上作用着对称的载荷在结构的对称截面上,反对称的内力等于0四、反对称载荷的性质：解：1）判断静不定种类及次数约束反力三次静不定2）解除多余约束，建立静定基3）对静定基进行受力分析，建立相当系统为了不破坏反对称性释放刚架在对称截面的3个内力PPEIEIEIPaa4）分别研究切口两侧，建立正则方程竖直相对线位移，相对转角，水平相对线位移，PPPP反对称对称反对称对称正则方程组简化为：结论：在对称的结构上作用着反对称的载荷在结构的对称截面上,对称的内力等于0很显然:对称载荷和反对载荷可以不同程度的降低静不定次数所以:碰到这类问题时,一定要有效应用对称反对称载荷的性质所以:我们要用对称反对称载荷的性质,在选取静定基时就一定要解除对称截面上的内力!而对称,反对称载荷的性质只体现在结构对称截面的内力上五、对称载荷和反对称载荷的利用：EIEIEIEIEIEIEIEIEI+EIEIEIEIEIEIEIEIEI+PP/2P/2例1:试画出下列刚架的弯矩图(不记N)PPC解:2)对称性分析:结构对称,载荷反对称1)静不定分析:三次静不定3）解除多余约束，建立静定基4)对静定基进行受力分析,建立相当系统PP5）研究切口两侧，建立正则方程45度方向的相对线位移,PP6)画刚架弯矩图总弯矩图=EIEIEIP例2:已知P=80KN,画刚架弯矩图EIEIEIEIEIEI+P/2P/2图1图2一、分解：解:2)对称性分析:结构对称,载荷对称1)静不定分析:三次静不定3）解除多余约束，建立静定基4)对静定基进行受力分析,建立相当系统5）研究切口两侧，建立正则方程水平相对线位移,二、分析图1EIEIEIP/2P/2相对转角,P/2求出：图1没有弯矩原刚架的弯矩=图2弯矩解:2)对称性分析:结构对称,载荷反对称1)静不定分析:三次静不定3）解除多余约束，建立静定基4)对静定基进行受力分析,建立相当系统5）研究切口两侧，建立正则方程竖直相对线位移,三、分析图2求出：EIEIEIP/2P/2P/2图2的弯矩图==原刚架的弯矩图例:试求列刚架的约束反力(不记N)解:2)对称性分析:结构对称,载荷反对称1)静不定分析:三次静不定3）解除多余约束，建立静定基4)对静定基进行受力分析,建立相当系统5）研究切口两侧，45度方向的相对线位移,建立正则方程CCDABPP例3、图示闭合圆环,在A,B两点受到力P的作用,求直径AB长度的改变量.R分析:

本题求的是:直径AB长度的改变量也就是求A,B两点的相对竖直位移所以:应该用莫尔积分求解先求原载荷引起的内力(图1)再施加与所求位移对应的单位载荷图1CDAB11求出单位载荷引起的内力(图2)图2图乘:即但是无论是图1,还是图2,都是三次静不定结构所以:本题应首先用力法求解然后再用莫尔积分求解:2)对称性分析:结构对称,载荷对称1)静不定分析:三次静不定3）取原结构的一半CAD研究(图3)CDABPPAB和CD都是对称轴P图3由于图3左右对称根据竖直方向的平衡通过两次对称性的应用,原来三次静不定,现在简化成一次静不定,3）取图3的一半AD研究(图3)图4研究D截面的转角求出：则图4总弯矩:CDABPPCDAB11图1图2对于图1:其1/4结构的弯矩为:对于图2:其1/4结构的弯矩为:例3：求A、B两点间的相对线位移ΔAB。由对称性知:变形协调条件:先求多余内力再求A、B两点间的相对线位移ΔAB。对称结构在正对称载荷作用下：结构的内力及变形是对称的位于对称轴上的截面C的内力FS=0对称性利用小结：对称结构在反对称载荷作用下：结构的内力及变形是反对称的位于对称轴上的截面C的内力FN=0，M=0例：平面框架受切向分布载荷q作用，求截面A的剪力、弯矩和轴力。解：例：图示小曲率杆在力偶Me与均匀分布剪流q作用下处于平衡状态,已知q、R与EI=常数,试求截面A的剪力、弯矩和轴力。R解：RR例：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及其作用位置。解：例：图示等直杆两端固定，材料弹性模量为E，横截面面积为A。求两端的反力。本次作业14-11，14-14，14-15第十四章静不定结构材料力学习题课力法及正则方程力法的正则方程:设对于静不定桁架:则例1：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F后，支座C有一下陷量Δ，试求刚架C处的反力。解：由得例2：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F。试求：刚架多余约束反力。FaaDBACFaaDBACX1X1FaaDBACFFFaaDBACX1X1例3：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F。试求：刚架多余约束反力。FFAaBaFX1X1AaBaFAaF1A例4：已知刚架的弯曲刚度为EI，试求刚架内最大弯矩及其作用位置。解：由得作用于固定端A例5：已知结构的弯曲刚度为EI，试求对称轴上A截面的内力。解：由得例6：已知刚架的弯曲刚度为EI。试求截面A处弯矩。解：由得另解：例7:1/4圆形曲杆ACB如图。半径为R，曲杆抗弯刚度为EI。求:A、B处的反力矩（只考虑杆件的弯曲变形）。

解：一、分析B点为多余约束，解除多余约束以反力代替，形成基本静定系AF

BCAF

BCX1φAF

BC

ABC1φ使用莫尔积分，在任一横截面上，（j-

/4）cosFRM-=j[/4，

/2]jsinRM=j[0，

/2]例8、求图示结构的约束反力PEIaEIEAABC解：1）判断静不定种类及次数约束反力一次静不定2）解除B点约束，建立静定基3）对静定基进行受力分析，建立相当系统4）研究AB梁的B点与BC杆的B点的竖直相对线位移，建立正则方程PP例9：平面刚架受力如图，各杆EI=常数。试求C处的约束力及支座A、B的约束反力。解：例10：平面刚架受力如图，各杆EI=常数。试求C处的约束力及支座A、B的约束反力.例11：图示刚架EI为常量，画出刚架的弯矩图。解：例12：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆EI=常数。例13：已知刚架的弯曲刚度为EI。试求支座B处的反力。解：由得例14等截面半圆形杆受力如图所示，EI为常数，略去剪力、轴力对变形影响，求A，B固定端处的支座反力和C处垂直位移解：从C截开可知此结构对C-C轴为反对称结构，对称截面上仅有反对称内力—剪力。故为一次超静定问题。（C左面）截面上外力分配P/2讨论：已知图示半圆曲杆的弯曲刚度为EI，试求曲杆支座A处垂直反力FAy。

解：例15半圆形曲杆ACB为直杆AD、BF铰接如图。曲杆及直杆的抗弯刚度均为EI。求D、F处的反力矩MD、MF（只考虑杆件的弯曲变形）。

F F N=P/2 N=P/2

P 解：由对称性知N＝P/2。一、分析图。由对称性取一半研究，求B点水平位移使用莫尔积分，在任一横截面上，B

F

N=P/2

θ

B

F

N=P/2

θ

M

协调条件因AD与BF对称，其受力也对称，

F

P/2

P/2

F例16、选择题:一、(a)图所示悬臂梁,如在自由端B上加一个活动铰支座(b)图,则该梁的(A)强度提高,刚度不变(B)强度不变,刚度提高(C)强度,刚度都提高(D)强度,刚度都不变答案：(C)(a)图(b)图(A)1次(B)2次(C)3次(D)4次二、下图所示结构是静不定机构答案：(B)(A)0次(B)2次(C)3次(D)4次三、下图所示结构是静不定机构(A)0次(B)2次(C)3次(D)4次四、下图所示结构是静不定机构答案：(A)答案：(A)解：1）判断静不定种类及次数约束反力一次静不定2）解除C点约束，建立静定系3）对静定基进行受力分析，建立相当系统4）研究DE梁的C点与BC杆的C点的竖直相对线位移，建立正则方程PP5）根据相当系统图，求出其他全部约束反力PABaaaaCDE例17、求图示结构梁DE的最大正应力σmax=?P例18:已知平面刚架的EI,,求C处约束反力.解：1）判断静不定种类及次数约束反力一次静不定2）解除C点约束，建立静定基3）对静定基进行受力分析，建立相当系统4）研究C点竖直线位移，建立正则方程PPAB段:AB段:ABCBC段:即为C处约束反力例19:求图示绗架AB杆的轴力,解：1）判断静不定种类及次数内力一次静不定2）解除AB杆轴力，建立静定基3）对静定基进行受力分析，建立相当系统4）研究AB杆切口两侧水平相对位移，建立正则方程PAFEDCBPPPAFEDCBAFEDCB杆号杆长ACCDBFEFABADAEBEBDDE由正则方程即为杆AB的轴力而原结构中其它各杆的轴力=？PPPCDBAFE例20:求图示闭合圆形刚架在A截面上的弯矩解:2)对称性分析:结构对称,载荷对称,1)静不定分析:三次静不定AB,CD,EF都是对称轴结构的对称截面有6个:A,B,C,D,E,F3)用E,A两截面将刚架截开,取EA(1/3)段研究:ADE因为A,E都是结构的对称截面所以:A,E截面上反对称的内力等于0即:A,E截面上只有轴力和弯矩又因为CD是对称轴且以CD轴为Y轴:4)用D截面将刚架截开,取DA(1/6)段研究:因为A,D都是结构的对称截面所以:A,D截面的转角等于0ADP5）研究A截面转角，建立正则方程ADAD例21、求图示结构的约束反力PABC1）判断静不定种类及次数约束反力三次静不定2）解除B点约束，建立静定基3）对静定基进行受力分析，4）研究B点竖直,水平位移和转角建立正则方程解：PP建立相当系统结论:当载荷作用线垂直于结构轴线所在平面时,则位于结构轴线所在平面内的约束反力和内力都等于0.例22、求图示结构的约束反力1)判断静不定种类及次数约束反力三次静不定利用对称性性质对称截面上剪力等于0,简化为:二次静不定对称截面上只有轴力和弯矩利用上一道题的结论简化为:一次静不定对称截面上的轴力也等于02）从原结构的对称截面截开，建立静定基3）对静定基进行受力分析，建立相当系统4）研究切口两侧相对转角,建立正则方程例23、求图示结构F的作用点的竖直位移1本题求的是F作用点的竖直位移所以:应该用莫尔积分求解先求原载荷引起的内力再施加与所求位移对应的单位载荷求出单位载荷引起的内力然后同一段的同一种内力图乘积分但是无论是原载荷系统,还是单位载荷系统,所以:本题应首先用力法求解静不定结构然后再用莫尔积分求位移分析:

都是六次静不定结构1)判断静不定种类及次数约束反力六次静不定利用对称性性质对称截面上2个剪力和1个扭矩等于0,简化为:三次静不定利用例题6的结论简化为:一次静不定对称截面上只有1个轴力和2个弯矩这2个弯矩,一个是绕着Z轴的另一个是绕着Y轴的位于水平面内对称截面上的轴力和弯矩也等于0对称截面上只有1个弯矩五、当系统温度升高时,下列结构中不会产生温度应力(A)(B)(C)(D)六、图示等截面直梁,在中点C截面承受一集中力偶的作用,在C截面上答案：(A)(A)转角挠度(B)转角挠度(C)转角挠度(D)转角挠度C答案：(B)七、图示等腰三角形为静不定刚架,利用反对称性质,从截面C截开得到的相当系统为CPPX(A)P/2X(B)PX(C)P/2X(D)答案：(D)八、如图所示,线膨胀系数为的悬臂梁AB,室温时右端正好靠在光滑斜面上,当温度升高时,斜面正则方程为:对杆B的支座反力为,若用力法求解则:正则方程中的:答案：(D)例24:梁ABC原来是一根直梁,后来支座A,B发生沉陷,沉陷量为求C处约束反力.解：1）判断静不定种类及次数约束反力一次静不定2）解除C点约束，建立静定基3）对静定基进行受力分析，建立相当系统4）研究C点竖直线位移，建立正则方程由正则方程,得:例25：求A、B两点间的相对线位移ΔAB。由对称性知:变形协调条件:讨论：对称性的利用：对称结构：若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。正对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且每对力数值相等。反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方向相反。对称结构在正对称载荷作用下：结构的内力及变形是对称的位于对称轴上的截面C的内力FS=0对称结构在反对称载荷作用下：结构的内力及变形是反对称的位于对称轴上的截面C的内力FN=0，M=0例26：平面框架受切向分布载荷q作用，求截面A的剪力、弯矩和轴力。解：例27：图示小曲率杆在力偶Me与均匀分布剪流q作用下处于平衡状态,已知q、R与EI=常数,试求截面A的剪力、弯矩和轴力。R解：RR例28：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及其作用位置。解：例29：图示等直杆两端固定，材料弹性模量为E，横截面面积为A。求两端的反力。例30：如图所示，AB为刚杆，1、2、3杆E、A、l均相同，求各杆内力值。解：变形协调条件：引用胡克定律，可得：静力平衡条件：另解：例31