46上篇 第二部分 单元六 专题三 高三数学第二轮总复习

单元六函数与导数第2部分

大单元突破——系统性复习上篇

大单元导学方案稳根基

自主训练专题三导数的几何意义及函数的单调性1．导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小．2．应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第(1)问，难度中等，属综合性问题．C考点一导数的几何意义及运算解析：A解析：3．(2025·高考Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________．4解析：方法一对于y＝ex＋x＋a，其导函数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5)，解析：因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4.方法二对于y＝ex＋x＋a，其导函数为y′＝ex＋1，假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)，4．若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________．(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析：利用导数的几何意义解题的关键与注意点(1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标．(2)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．解：解：解：利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认；(3)已知函数单调性求参数范围时，要注意导数等于零的情况．B解析：解：解：解：解：1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(

)A．e2

B．eC．e-1

D．e-2C考点三单调性的简单应用解析：2．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(

)A．x＝3是f(x)的极小值点B．当0<x<1时，f(x)<f(x2)C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x)ACD解析：因为f(x)＝(x－1)2(x－4)，所以f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3，当x<1或x>3时，f′(x)>0；当1<x<3时，f′(x)<0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3)，故x＝1是函数f(x)的极大值点，x＝3是函数f(x)的极小值点，所以A正确．当0<x<1时，x－x2＝x(1－x)>0，即0<x2<x<1，又函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x2)<f(x)，所以B错误．解析：当1<x<2时，1<2x－1<3，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以－4＝f(3)<f(2x－1)<f(1)＝0，所以C正确．当－1<x<0时，f(2－x)－f(x)＝(2－x－1)2·(2－x－4)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(－x－2)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(－2x＋2)＝－2(x－1)3>0，所以f(2－x)>f(x)，所以D正确．3．(2025·齐齐哈尔二模)已知函数f(x)＝2x－sin2x，则不等式f(x2)＋f(2x－3)<0的解集为____________．(－3，1)解析：f(x)＝2x－sin2x的定义域为R，∵f′(x)＝2－2cos2x＝2(1－cos2x)≥0，∴函数f(x)是R上的增函数，∵f(－x)＝－2x－sin(－2x)＝－(2x－sin2x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数，∴由f(x2)＋f(2x－3)<0得f(x2)<－f(2x－3)＝f(3－2x)，∴x2<3－2x⇒x2＋2x－3<0⇒(x－1)(x＋3)<0⇒－3<x<1，∴不等式f(x2)＋f(2x－3)<