47上篇 第二部分 单元六 专题四 高三数学第二轮总复习

单元六函数与导数第2部分

大单元突破——系统性复习上篇

大单元导学方案稳根基

自主训练专题四函数的极值、最值利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等；或者压轴解答题，属综合性问题，难度较大．考点一利用导数研究函数的极值[例1]

(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，则f′(1)＝e－1.f(1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)，所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.(2)易知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，无极值；当a>0时，由f′(x)>0，得x>lna，由f′(x)<0，得x<lna，解：所以函数f(x)在区间(－∞，lna)上单调递减，在区间(lna，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(lna)＝a－alna－a3.由题意知a－alna－a3<0(a>0)，等价于1－lna－a2<0(a>0).方法一(导数法)令g(a)＝1－lna－a2(a>0)，解：故实数a的取值范围为(1，＋∞).方法二(图象法)由1－lna－a2<0(a>0)，得lna>－a2＋1(a>0).如图为函数y＝lna与y＝－a2＋1在区间(0，＋∞)上的大致图象，由图易知当a>1时，lna>－a2＋1，即1－lna－a2<0.所以实数a的取值范围为(1，＋∞).利用导数研究函数的极值的注意事项(1)确定函数的定义域；(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件；(3)函数的极小值不一定比极大值小；(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用问题中经常用到．1．(2025·高考Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝___________.－4解析：因为f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a),所以f′(x)＝(x－a)(x－2)＋(x－a)(x－1)＋(x－1)(x－2)，因为x＝2是函数f(x)的极值点，所以f′(2)＝2－a＝0，解得a＝2.当a＝2时，f′(x)＝(x－2)2＋2(x－2)(x－1)＝(x－2)(3x－4)，解析：2．(2025·菏泽二模)已知函数f(x)＝x2(a－lnx)在(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2平行．(1)求a的值；(2)求f(x)的极值．解：解：考点二利用导数研究函数的最值[例2]

(2025·石家庄三模)已知函数f(x)＝ax2－lnx(a∈R).(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为0，求实数a的值．解：解：解：解：求函数f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]内有极值，要先求出函数在[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．D解析：解析：设f(x1)＝f(x2)＝t，如图所示，由f(x)的大致图象知，t>0，且x1<0<x2，解析：A解析：解析：函数极值、最值综合问题的注意点(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论．(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值．A解析：2．若函数f(x)＝x(x＋a)