2025-2026学年河南省郑州市郑中国际学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河南省郑州市郑中国际学校高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足(z+1)i=3+z(i为虚数单位)，则|z|=(

)A.1 B.2 C.3 2.已知△ABC按照斜二测画法画出它的直观图△A′B′C′(如图所示)，其中A′B′=B′C′=1,A′C′=2，则AB的长为A.2

B.22

C.3

D.3.在△ABC中，若cosAcosC=ca，则△ABCA.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形4.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为(

)A.(27−7π4)cm3 B.(24+π5.如图，在△ABC中，∠BAC=π4，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若A.−1712

B.214

C.136.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=4，A=π3，sinB+sinC=33A.803 B.20 C.16 D.7.已知正方体、等边圆柱(母线长等于底面圆的直径)与球的表面积相等，它们的体积分别为V1，V2，V3，则下面关系中成立的是A.V1>V2>V3 B.8.已知平面向量a，b，e，且|e|=1.已知向量b与e所成的角为60°，且|b−te|≥|b−A.3+1 B.23 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形是(

)

A.① B.② C.③ D.④10.已知向量a=(3,2),b=(−1,2)，则下列结论正确的是A.|b|=5

B.与b同向的单位向量为(−55,255)

C.b在11.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=3，则下列结论正确的是(

)A.圆锥SO的侧面积为3π

B.三棱锥S−ABC体积的最大值为3

C.圆锥SO外接球体积为43π

D.若AB=BC，E为线段AB上的动点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=x，b=3，B=60°，若△ABC有两解，则x的取值范围是

．13.设复数z满足|z−1|=|z+1|=|z+i|，则z=

．14.在圆O的内接四边形ABCD中，若AB=2，AD=1，BD=7，则四边形ABCD的最大面积为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=−2+bi(b∈R),z1+i是实数，i是虚数单位．

(1)求复数z；

(2)在复平面内，若复数(m+2+z)216.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，D是线段AC上一点，且2bcosC=2a−c．

(1)求角B；

(2)若S=b=23，BD平分∠ABC，求AD．17.(本小题15分)

如图，长方体ABCD−A′B′C′D′中，AB=12，BC=10，AA′=6，过A′D′作长方体的截面A′D′EF使它成为正方形．

(1)求三棱柱AA′F−DD′E的表面积；

(2)求三棱锥C′−D′EF的体积；

(3)求VB−A′D′EF．18.(本小题17分)

如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC=5，AB=2CD=4，O，E分别是AB，BC的中点．

(1)求AE⋅BD；

(2)点F在边CD上，若AF⊥BD，求|DF|；

(3)若M为梯形ABCD19.(本小题17分)

在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3且sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC．

(1)求角A；

(2)若b+c=2，求边BC上的角平分线AD的长；

(3)参考答案1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】AB

11.【答案】BCD

12.【答案】(3,213.【答案】0

14.【答案】915.解：(1)已知复数z=−2+bi(b∈R)，i是虚数单位，

则z1+i=bi−21+i=(bi−2)(1−i)(1+i)(1−i)=(b−2)+(b+2)i2=b−22+b+22i，

因为z1+i是实数，

所以b+22=0，所以b=−2，

所以复数z=−2−2i；

(2)由(1)知z=−2−2i，m∈R，

所以(m+2+z)2=(m−2i)2=m2−4mi+4i2=(m2−4)−4mi，

又因为复数(m+2+z)2对应的点在第一象限，

所以m2−4>0−4m>0，

解得m<−2，即实数m的取值范围是(−∞,−2)．

16.解：(1)由边角转换可得2sinBcosC=2sinA−sinC，

A=π−B−C，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

则2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC−sinC，

整理得：2cosBsinC−sinC=(2cosB−1)sinC=0，

又sinC≠0，故2cosB−1=0，即cosB=12，

又0<B<π，则B=π3；

(2)S=12acsinB=34ac=23，则ac=8，

又b=23，则b2=a2+c2−2accosB，得12=a2+c2−ac，

解得a=2c=4或a=4c=2，

由角平分线性质得ADDC=ABBC=ca，

AD+DC=AC=b=23，则AD=18.解：(1)在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC=5，AB=2CD=4，O，E分别是AB，BC的中点，

以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(−2,0)，D(−1,2)，B(2,0)，C(1,2)，E(32,1)，

所以BD=(−3,2)，AE=(72,1)，

根据平面向量数量积的坐标公式可得AE⋅BD=72×(−3)+1×2=−172；

(2)设F(t,2)，则AF=(t+2,2)，

因为AF⊥BD，所以AF⋅BD=0，

即−3(t+2)+2×2=0，解得t=−23，

所以F(−23,2)，DF=(13,0)，

则|DF|=13；

(3)若M为梯形ABCD所在平面内的一点，

19.解：(1)由于sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，

根据正弦定理得，b2+c2−a2=bc