人教A版选择性必修第三册82一元线性回归模型及其应用作业

一元线性回归模型及其应用

演基础通关一水平一»（15分钟35分）

1.关于残差图的描述错误的选项是（）

A.残差图的横坐标可以是样本编号

B.残差图的横坐标也可以是解释变量或响应变量

C.残差点分布的带状区域的宽度越窄打算系数越小

D.残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小

【解析】选C.残差点分布的带状区域的宽度越窄，

说明模型拟合精度越高，那么残差平方和越小，

此时，打算系数配的值越大，

故描述错误的选项是选项C.

教师

专用

方程以-82.71是依据女高校生的身高预报她的体重的回归方程，其

中x的单位是cm,珀勺单位是kg,那么针对某个体（160,53）的残差

是________•

【解析】将尸16（）代入以-82.71,

彳导3=0.85x160-82.71=53.29,

所以残差”y-3=53-53.29=-0.29.

答案：

2.假设某地财政收入x与支出y满意回归方程『二标+3+6（单位：

亿元Xi=1,2,…）,其中力=0.8,a=2,\e\<0.5，假如今年该地区

财政收入10亿元，年支出估计不会超过（）

A.10亿元B.9亿元

C.10.5亿元

【解析】选C.』.8x10+2+&=10+6，

由于同<（）.5所以9,5<?<10.5.

3.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费用的时间，

为此进行了5次试验，依据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求

得回归直线方程/+402

零件数M个）12345

加工时间y（min）50677179

表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）

A.55B.C.59D.51

【解析】m.

-1+2+3+4+5

由表中的数据可得'二------;------二3,

—50+"2+67+71+79267+m

y=5二^^，

又由回归直线的方程为以+40.2,

267十m

所以一—=7.8x3+40.2,

解得m=51.即表中模糊的数据为51.

4.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的回归模型时，分别选

择了4种不同模型，计算可得它们的打算系数依分别如下表：

甲乙丙丁

R2

哪位同学建立的回归模型拟合效果最好（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【解析】R2越大，表示回归模型的效果越好.

5.在讨论两个变量的相关关系时，观看散点图发觉样本点集中于某

一条指数曲线y=/的四周，令z=Iny,求得回归直线方程为以

-2.58,那么该模型的回归方程为.

【解析】由z=Iny,zx-2.58,

得Inyx-2.58,

所以』I

故该模型的回归方程为9=eI.

答案：月廿

6.某城市理论猜测2016年到2020年人口总数（单位：十万）与年份的

关系如下表所示：

年份2016+x01234

人口总数y5781119

⑴请回出上表数据的散点图；

⑵请依据上表供应的数据，用最小二乘法求出y关于x的阅历回归方

程e二标+3；

⑶据此估量2021年该城市人口总数.

（参考数据：0x5+1x7+2x8+3x11+4x19=132,02+12+22+32+42

=30）

【解析】（1）依据题中数表画出数据的散点图如下图：

-I

⑵由题中数表，知x（0+1+2+3+4）=2,

—1

y=5（5+7+8+11+19）=10,

5______

-5xy

所以如二----------

5-

»彳-5x2

/=I

a-y-hx

效+3.6；

⑶当x=5时/=3.2x5+3.6=19.6（十万）=196（万）.

估量2021年该城市人口总数约为196万.

@魔力MrT水平二》（30分钟60分）

一、单项选择题（每题5分，共20分）

1.对变量x,），进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画

出残差图，那么以下模型拟合精度最高的是（）

残差

艇号

A

残差

■mnwmnw黑馆邮卬疏号

B

残差.

WiWiWiWTOiYyiWre透ail号

C

残差,

■nw画电藐号

D

【解析】选A.用残差图推断模型的拟合效果,残差点比拟匀称地落

在水平的带状区域中，说明这样的模型比拟相宜.带状区域的宽度越

窄，说明模型的拟合精度越高.

2.在生物学上，有隔代遗传的现象.某数学老师的体重为62kg，他

的曾祖父、祖父、父亲、儿子的体重分别为58kg、64kg、58kg、60

kg.假如体重是隔代遗传，且呈线性相关，依据以上数据可得解释变

量%与响应变量一。的回归方程为》二版+。，其中力二().5，据此模型猜测

他的孙子的体重约为()

A.58kgB.61kgC.65kgD.68kg

【解析】选B.由于体重是隔代遗传，且呈线性相关，那么取数据(58,

58),(64,62),(58,60),

―58+64+58_58+62+60

得犬=---------=60,y=---------二60,

即样本点的中心为(60,60)，代入版+。,

得3=60-0.5x60=30,那么私+30,

取％=62,可得$=0.5x62+30=61kg.

故猜测他的孙子的体重约为61kg.

教师

专用【加练•固】

5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G技术开展快速，已

位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G,现调查

得到该款5G上市时间x和市场占有率丫(单位：％)的几组相关对

应数据.如下图的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019

年9月，……，5代表2019年12月，依据数据得出丫关于x的阅历

回归方程为治-3.假设用此方程分析并猜测该款市场占有率的变

化趋势，那么最早何时该款5G市场占有率能超过0.5%(精确到

月X)

A.2020年6月B.2020年7月

C.2020年8月D.2020年9月

―1+2+3+4+5

【解析】选C.依据表中数据，得x=------------=3,

—1

y二5(0.02+0.05+().1+().15+0.18)=0.11

所以0.1=0.042x3-3,2=0.026,所以阅历回归方程为效-0.026,

x-0.026>0.5，彳导•仑13,

估计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%.

3.各地医疗机构针对某种疾病实行了各种的治疗方法，取得了不错

的成效，某地开头使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表

所示：

周数㈤12345

治愈人数(F)21736103142

由表格可得y关于、的非线性阅历回归方程为"6炉+。,那么此回

归模型第4周的残差(实际值与猜测值之差)为()

A.5B.-13C.13D.0

——1

【解析】x2=[(|+4+9+16+25)=11,

7(2+17+36+103+142)=60z

所以。=60-6x11=-6,那么y关于x的非线性阅历回归方程为夕二

二4,得f=6x42-6=90,

所以此回归模型第4周的预报值为90,

那么此回归模型第4周的残差为103-90=13.

4.x与y之间的几组数据如下表：

123456

q

y02134

假设依据上表数据所得线性回归直线方程为少二标+3，假设某同学依

据上表中的前两组数据（1,0）和（2,2）求得的直线方程为），♦/+4,

那么以下结论正确的选项是（）

A.b>br,B.b>br,a<a'

C.h<br,a1D.方4k,3v

【解析】选C.过（1,（））和（2,2）的直线方程为y=2x-2z

画出六点的散点图，回归直线的也许位置如下图，

明显!b'>h,a>a'.

二、多项选择题（每题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全

的得2分，有选错的得0分）

5.对于回归分析，以下说法正确的选项是（）

A,在残差图中，纵坐标表示残差

B.假设散点图中的一组点全部位于直线e二-31+2的图象上，那么

相关系数〃=1

C.假设残差平方和越小，那么打算系数R2越大

D.在回归分析中，变量间的关系假设是非确定关系，那么因变量不

能由自变量唯一确定

【解析】选ACD.

对于A,在残差图中，

纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，

或身高数据，或体重的估量值等，所以A正确；

对于B，散点图中的一组点全部位于直线；=-+2的图象上，那么

x,)，成负相关,且相关关系最强，此时相关系数-1,所以B错

误；

对于C，假设残差平方和越小，

那么残差点分布的带状区域的宽度越窄，其相关性越强，打算系数

R2越大，所以C正确；

对于D,回归分析中，变量间的关系假设是非确定关系，即变量间的

关系不是函数关系，因变量不能由自变量唯一确定，所以D正确.

6.对两个变量)，和x进行回归分析，得到一组样本数据：3,y),

(X2,/),,,♦(%,%),那么正确的说法是()

A.假设求得的回归方程为以-0.3,那么变量)，和工之间具有正的线

性相关关系

B.假设这组样本数据分别是(1,1),(2,1.5),(4,3),(5,4.5)那么

其回归方程金二法十。必过点(3,2.5)

c.假设同学甲依据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为E1E2

=2.1f那么模型1的拟合效果更好

D.假设用打算系数R2来刻画回归效果，回归模型3的打算系数收

=0.32,回归模型4的打算系数盾=0.91z那么模型3的拟合效果

更好

【解析】选ABC.对于A:依据求得的回归方程为以-0.3,中的斜率

为正，得出变量y和尢之间具有正的线性相关关系；故A正确，

对于B:样本中心点在直线上，故B正确，

对于C：残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故C正确，

对于D：打算系数R2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，*越

接近于1,说明相关性越强，相反，相关性越小，因此R2越大拟合效

果越好，故D不正确.

教师

专用

给出以下四个命题，正确的选项是()

A.由样本数据得到的回归方程北标+2必过样本点的中心(7J)

B.用相关指数六米刻画回归效果，肥的值越小，说明模型的拟合效

果越好

C.假设线性回归方程为数，那么变量x每增加1个单位时，y

D.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越

小

【解析】选ACD.对于A，由样本数据得到的回归方程汨加+。必过

样本点的中心（X.y）,命题正确；

对于B,用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越大,说明模型的

拟合效果越好，命题错误；

对于C,在线性回归方程以中，变量x每增加1个单位时，y平均削

减2.5个单位，命题正确；

对于D,在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型

的拟合精度越高，残差平方和也越小，命题正确.

三、填空题（每题5分，共10分）

7.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，

下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间M单位：h）与当天投

篮命中率了之间的关系：

时间X12345

命中率y

小李这5天的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法,

猜测小李该月6号打6h篮球的投篮命中率为.

【解析】丁二错误！二错误！=0.5,错误！二错误！=3.

由公式，得力二（）.（）1,

从而3=y-bx=0.5-0.01x3=0.47.

所以回归方程为无工

所以当x=6时,y-0.47+0.01x6=0.53.

答案：

8.一组数据确定的回归直线方程为/=-x+2且亍=4,通过残差

分析,发觉两个数据(-L7,2.9),(-2.3,5.1)误差较大，去除这两

个数据后，重新求得回归直线的斜率为-1.5,那么当x=-4时，；二

【解析】由样本数据点集{(H,y)|i=1,2,…，〃},求得的回归直线

方程为3=7+2,且亍=4,所以l二-2,故数据的样本中心点

为(-2,4),去掉

(-1.7,2.9),(-2.3,5.1),

重新求得的回归直线的斜率估量值为-L5,回归直线方程设为：必

+。，代入(-2,4),求得。=1,所以回归直线的方程为：必+1,将

a-4代入回归直线方程求得兜勺估量值-1.5x(-4)+1=7.

答案：7

四、解答题(每题10分，共2()分)

9.假定小麦根本苗数x与成熟期有效穗)，之间存在相关关系，今测

得5组数据如下：

X

y

⑴以x为解释变量，)，为响应变量，作出散点图；

⑵求)，与x之间的回归方程,对于根本苗数56.7猜测有效穗；

⑶计算各组残差，并计算残差平方和；

⑷求R2,并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几?

【解析】⑴散点图如下.

5。].

48

46[

44

42*•・

40.

38k

15253545、

⑵由⑴中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的四周，有比拟

好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.

__5

设回归方程为3二次+3.x=30.36,y=43.5,》？=5101.56,

i=1

5

>7=

i=1

9511.43.

xy=I320.66,

2

T=921.7296/%M=6746.76.

/=i

5______

》》•一5xy

i=1

那么力二------------=0.29,

5-

-5X2

/=I

2=7.以^34.70.

故所求的回归直线方程为反+34.70.

当x=56.7时,$=0.29x56.7+34.70=51.143.估量成熟期有效穗为

51.143.

(3)由于%=粉+3,可以算得a尸"-%

分别为4二0.35,02=0.718,徐二-0.5,

04=-2.214,四=1.624,残差平方和:

5

ze]=8.43.

5_

(4)Z(y・y)2=50.18,故R2=I-错误月0.832.所以解释变量小麦根

本苗数对总效应约奉献了83.2%,

残差变量奉献了约1-83.2%=16.8%.

10.菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害,

但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗洁

净，下表是用清水x（单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留

的农药）,（单位：微克）的统计表：

X12345

y585439291()

⑴令卬=/，利用给出的参考数据求出y关于卬的回归方程夕=加十

3.①，漏确到（）」）

55

参考数据：2Wi=55,X(也-卬)GLy)=-751,

i=l

5——J5

Z(W7-w尸二374,其中卬尸章，卬二5

i=li=l

⑵对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量不高于20微克时对

人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估量至少需要用多少千克的清水

清洗1千克蔬菜？（精确到o.lz参考数据4之2.24）

附:对于一组数据（〃1,V1）,（U2,U2）,…，（诙,Vn）,其回归直线£=&

+hl的斜率和截距的最小二乘估量分别为

E〔出-"〕（V/-V〕

/=1

6=------------------------za=v-3w

£（W/-w）2

/=1

【解析】⑴由题意得，卬=11,y=38.

5_—

X〔卬l卬〕8-y]

人-舞亡-2.0,

h=--------------------

5—

y口%-w〕2

3=y-hw=60.0,所以fw+60.0.

（2）由⑴得刖+60.0,

所以打2+60.0,

当拄+60.0S20,解得后2小%.5,所以为了放心食用该蔬菜，估量

需要用的清水清洗1千克蔬菜.

教师

专用【加练•固】

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需了解年宣扬费工（单

位：千元）对年销售量y（单位：0和年利润z（单位：千元）的影响.对

近8年的年宣扬费即和年销售量y（i=1,2,…，8）数据作了初步处

理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

年销售量/t

620

600

580

560

54()

520

500

480

343638404244464850525456

年宣传费/千元

88

SsS(JCiS(Wi

i=Ii=1/=1i=\

yW一(四一一才)-w)

"\2w)2

/r(yr)(y—y)

46.65636.8289.81.61469108.8

表中Wi=y[xi,vv=|gwi.

i=1

⑴依据散点图推断，产行法与产C+d表哪一个相宜作为年销

售量y关于年宣扬费x的回归方程类型？（给出推断即可，不必说明

理由）

⑵依据⑴的推断结果及表中数据，建立）关于工的回归方程；

（3）这种产品的年利润z与孙），的关系为zy-x.依据⑵的结果答复以

下问题：

①年宣扬费工二49时，年销售量及年利润的猜测值是多少？

②年宣扬费x为何值时，年利润的猜测值最大？

附：对于-组数据（的，3）,（〃2,V2）,

（即,为），其回归直线以=力仇的斜率和截距的最小二乘估量分别为

n__

E［小-（V/-V）

/=1

3=--------------------------------,a=v-3w.

Z〔出-与〕2

/1=1

【解析】（1）由散点图可以推断，

产C+d5相宜作为年销售量y关于年宣扬费X的回归方程类型.

（2）令卬二也，先建立），关于W的线性回归方程.由于2二

8__

Z［用-IV）〔》・y〕

/=1

=错误！=68,

8—

X〔Wi-卬）2

/=1

c-y-dw-563-68x6.8=100.6,

所以y关于卬的线性回归方程为

y=100.6+68卬,

因此y关于x的回归方程为"100.6+68也.

（3）①由⑵知，当x二49时，年销售量y的预报值3=100.6+68《49

=576.6,

年利润Z的猜测值9=576.6x0.2-49=66.32.

②依据⑵的结果知，年利润z的猜测值

z-0.2(100.6+68、&)-1二-犬也yfx=错误！=6.8,

即k46.24时，9取得最大值.

故年宣扬费为46.24千元时，年利润的猜测值最大.

,创新迁移一

1.假设一函数模型为尸sin2a+2sin