人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题117与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练(40题)(学生版+解析)

专题1L7与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练（40题）

【人教版】

【题型1与三角形的角有关的挖空题】

1.（23-24八年级•吉林长春•期末）如图，在△ABC中，。是BC边上一点，Z.ADC=110°,Z.BAC=80°,

乙B=乙BAD.

求：（1）乙B的度数;

（2）ZT的度数.

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解：（1）•.Z/1DC是△48D的外角（已知），

Z/1DC=110°（）.

又“B=/.BAD（已知），

二43=（等量代换）.

（2）+4BAC+_=180°（）,

.-.ZC=180°-£BAC-LB（等式的性质），

=180。-80。一乙B,

2.（23-24八年级•河南南阳•期末）如图所示，在△力中，力。平分/B4C,点P为线段49上的一个动点,

PE140交朋?的延长线干点/?.

（1）若48=35°,^ACB=85°,求4E的度数；

解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式））

回NB=35°,Z-ACB=85°（已知）

Z.BAC+NB+乙4C8=（）

团乙6AC=180°—48—Z,ACB（等式的才生质）

=180°-35°-85°（等量代换）

=60°

团力。平乙8AC（）

^BAD=Z_=\LBAC=3_________________=（角平分线的定义）

团NAOC=Z.B+_=35°+=（）

团，£1AD（已矢口）

0ZDPF=90°（）

在直角三角形DPE中，

团4POE+Z.E=90°（）

0ZF=90°-乙PDE（等式的性质）

=90。-（等量代换）

—•

（2）当点P在线段40上运动时，设上B=a,乙ACB=B（6>a）,求NE的大小.（用含防0的代数式表示）

（请类比（1）的解答过程，解答该题，可以不写理由）

3.（23-24八年级•吉林长春•期末）如图，在直角三角形4BC中，CO是斜边48上的高，ZFCD=35°,求：

（1）4EBC1的度数；

（2）乙1的度数.

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解：（1）0CD1.AB（已知），

⑦乙CDB=>

团4EBC=乙CDB+乙BCD（）,

^EBC=+35°=（等量代换），

（2）0ZE5C=z/l+LACB（）,

0Z4=Z.EBC-LACB（等式的性质），

0Z/1CF=900（已知），

回乙A=-90°=（等量代换）.

你还能用其他方法解决这一问题吗？

4.（23-24八年级•重庆沙坪坝•期末）如图，在△4BC中，=40°,上月（78的平分线CO交48于点D,DEWAC

交BC于点E,Z.CDE=35°,求zdDC及zA的度数.

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解：WEWAC（已知），

团①（两直线平行，内错角相等）.

又=350（已知）,

^ACD=35。（等量代换），

回CD平分4AC8（己知）,

_____________________（角平分线的定义）.

0ZFCD=35°（等量代换）.

囱乙1DC是△BDC的外角（已知），

^ADC=（3）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.

乂=40。（已知），

0z^DC=4O0+35°=75°.

0Z/1+Z,ADC+Z.ACD=180°（④）,

团乙1二⑤（等式的性质）

=180°-75°-35°

=70°.

5.（23-24八年级•重庆沙坪坝•期末）如图，在△力8c中，乙力BC=45。.0、E分别是AC、3C边上一点，连

接HE、BD,AE与B。相交于点尸.若乙CBD=4CAE,Z.BAE=45°,请说明乙AOF=90。.对于上述问题，

在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

A

解：ZEFD是△BEF的夕卜角（已知），

」EFD=（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.

同理可得：乙EFD=+Z-DAF.

又•••Z.CBD=Z.CAE（已知），

:.CADF=（等式性质）.

vZ.BAE4-乙ABE+LAEB=（三角形内角和等于180。），

乙力BC=45。，Z.BAE=45°（已知），

^AEB=180°-^BAE-乙ABE（等式的性质）,

=180°-45°-45°=90°,

£ADF=。（等量代换）.

6.（23-24八年级•福建泉州•期末）如图，在a/BC中，点。在BC边上，点E在AC边上，连接ZD,DE,已

知/8=60。，ZC=40°,41=50。，且乙3=44,求42的度数.

对于上述问题，在以下解答过程中的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

BDC

解：在△4BC中，Z,BAC+LB+LC=180°（）,

Z/?=60°,ZC=40°（已知），

团ZB/1C=180°-（ZF+乙C）=180°-（60°+40°）=（等量代换），

（21Z1=50°（已知）,

^DAC=Z.BAC-，1=80。-50>=30°（等量代换），

在A/WE中，4。4£+43+△4=180。（三角形内角和等于180。），

又”=44（）,

团44=（180°-乙DAE）+2=75。（等式的性质），

0Z.4=乙C+Z2（）,

回/2=，4-4C=75°-40°=35°（等量代换）

7.（23-24八年级•吉林长春・期末）【问题】

如图①，在△力BC中，=80°,平分4ABC,DC平分4ACB.求乙。的度数，对于上述问题，在以下解

答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解：^/.ABC+Z-ACB+^A=180°（）,

^Z-ABC+Z-ACB=（等式性质）.

团NA=800（已知）,

^ABC+Z.ACB=（等量代换）.

团OB平分心ABC（己知），

回乙=；乙48c（角平分线的定义）.

^DBC+Z,DCB=QABC+Z.ACB)=(等工+性质).

团4DBC+乙DCB+乙。=180°,

0ZD=180°-QDBC+乙DCB)=(等式性质).

【拓展】如图②，在△ABC中,乙4=。,DB平分〃8C,DC平分乙4cB.

则/O=().

【应用】如图③，在△4BC中，OB平分N48C,OC平分N4C8,EB平分乙DBC,EC平分乙DCB.若乙E=145。,

贝IJ乙4=().

A

A

8.（23-24八年级•河南南阳•阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究.

⑴已知：如图，在A/BC中，和NC的平分线相交于点P,试探究N8PC和乙4的关系.请在以下解答过程

的空白处填上适当的内容（理由成数学式）.

解：延长BP交AC于点。.

•••LBPC=Z2+Z3,z3=zl+LA(),

LBPC=z2+zl+Z.A.

•••ZB和NC的平分线相交于点P,

Azl=1z/lFC,z.2=^ACB(角平分线定义)，

:.LBPC=^ACB乙ABC+Z.4=1(乙ABC+^ACB)+匕力.

•••乙4+乙48c+LACB=180°(),

LABC+^ACB=180°-LA(等式的性质)，

...乙BPC=1(180°-N4)+Z-A=.

(2)如图，在△4BC中，4ABC的平分线和外角乙4CO的平分线相交于点P,试探究乙P和N4的关系，并说明理

（3）如图，△/18C的外角a8D的平分线和MCE的平分线相交于点P,若41=50°,则“的度数为

【题型2与三角形的角有关的计算】

9.（23-24八年级•河南洛阳・期末）如图，在A（BC中,HD18C于点。，点上为边8c上一点.

（1）若AE平分zBAC,WAE=15°.±8=60。，求zC的度数.

⑵在（1）条件下，直接写出4AEC=.

10.（23-24八年级•山东烟台•期末）如图,已知428=120°,EFWDC,4BAC=80°,^EFA=25。，求NB的

度数.

11.（23-24八年级•河南鹤壁•期末）如图所示,力。为4A6c的高,AE,“为△力BC的角平分线，若LCBF=30°,

乙4F8=70°.

⑴求心ZME的度数；

⑵若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出48/M的度数.

12.（23-24八年级•河北石家庄•期末）如图①，々MON=80°,点48在ZMON的两条边上运动，2O4B和4084

的平分线交于点c.

图①图②

⑴点4B在运动过程中，则乙1C8的度数为；

（2）如图②，力。是的平分线，40的反向延长线交BC的延长线于点E,点4B在运动过程中，NE的大小

会变吗？如果不会，求出NE的度数；如果会，请说明理由.

（3）若z_M0N=n,请直接写出乙4C8=；乙E=.

13.（23-24八年级•山东聊城•期末）如图，在△力BC中，/-B=45°,zC=75°,AE平分4BAC,AD1BC,

点?是从点4沿AE向点E运动的一动点，过点F作FD1BC于点D.

⑴如图1,当点F与点4重合时，求乙。尸£的度数；

⑵如图2,当点尸位于点A,E之间时，求/DFE的度数.

14.（23-24八年级•福建泉州•期末）如图，己知/40B=72。，点C、N分别在4Aos的两边。40B上运动

（点C、N与点。不重合），CE平分N4CN.

⑴若乙4GV=125°,试求出40NC的度数；

⑵已知FN平分乙ONC交CE的反向延长线于点凡在点C、N的运动过程中，乙尸的度数是否发生改变？若不

变，试求出,尸的度数；若发生改变，请说明理由.

15.（23-24八年级•河南洛阳・期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O,点A在射线0Q上运动，点3

在射线0M上运动，点A,8均不与点O重合.

(1)如图1,4/平分N8A0,川平分N480,A/交8/于/,则248='

(2)如图2,4/平分ZB4。交。8于点/,BC平分BC的反向延长线交相的延长线于点。.

①直接写出，则2408=。，

②在点A,8的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出乙A08的度数；若变化，请说明

理由.

16.(23-24八年级•河北张家口•期末)在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形

知平分线的夹角问题.明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)如图1,在△力BC中，/-ABC,乙4cB的角平分线交于点尸，若〃=50。.则“=

【问题推广】

(2)如图2,在△4BC中，N84C的角平分线与△48C的外角乙C2M的角平分线交于点P,过点B作B7/14P

于点H,若44理二80。，求NP8H的度数;

(3)如图3,在△力BC中，BD、CD分别平分4BC、乙4CB,M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，8E、CE

分别平分NM8C、乙BCN,BF、CF分别平分4E8C、乙ECQ.若％="。，则N力的度数为.(结果用

含日的代数式表示)

【题型3探究与三角形有关的角之间的关系】

17.(23-24八年级•吉林长春•期c)将三角形纸片ABC沿史线OE折叠，使点4落在4处.

【感知】如果点片落在边48上，这时图①中的乙1变为0。，那么乙4,与n2之间的关系是

【探究】如果点A'落在四边形8CDE的内部（如图①），那么4A与乙1、42之间存在怎样的数量关系?并说明

理由.

【拓展】如果点4落在四边形8CDE的外部（如图②），那么请直接写出24'与R1、42之间存在数量关

系

①②

18.（23-24八年级•江苏盐城•期中）如图，直线4CII8D,连接A8,直线AC、8。及线段力8把平面分成①、

②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接P力，PB,构成/P4C,

乙4PB,4PBD三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0。角）

⑴当动点P落在第①部分时，求证："1PB="AC+乙PBD；

（2）当动点尸落在第②部分时，乙力PB=/PAC+乙PBD是否成立？如果成立，请说明理由；不成立直接写出

结论.

（3）当动点P落在第③部分时，全面探究乙PAC,乙APB,dBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应

的结论.选择其中一种结论加以证明.

19.（23-24八年级•山东滨州•期末）如图所示的图形，像我们常见的符号一箭号.我们不妨把这样图形叫

做“箭头四角形”.

(1)探究：观察"箭头四角形"，试探究图1中与乙4,",之间的关系，并说明埋出；

(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：

①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△4BC上，使三角尺的两条直角边XV,XZ恰好经过点B,C,若乙1=60°,

贝IJ/48X+Z.ACX=°；

②如图3,/-ABE,乙ACE的二等分线(即角平分线)BF,CF相交于点F,若乙/MC=60°,LBEC=130°,

求，/C的度数.

20.(23-24八年级•山东聊城•期末)如图，在△力BC中,乙4=80。，点D、E是△力8c边力C、上的点，点

P是平面内一动点.令4PDC=41,Z-PEB=z2,Z-DPE=za.

(1)若点P在线段BC上,如图1所示,乙a=50。，求乙1+42的值；

⑵若点P在边BC上运动，如图2所示，则乙。、乙1、42之间的关系：

⑶若点P运动到边C8的延长线上，如图3所示，则乙1、，2之间有何关系？猜想并说明理由；

⑷若点P运动到△/BC外，如图4所示，则请表示“、21、42之间的关系，并说明理由.

21.(23-24八年级•湖南株洲•期末)4BIICD,直线EF交48于点E,交CD于点F,点G在CD上，点P在

直线E/右侧、且在直线和CO之间，连接PE、PG.

⑴写出NEPG,乙BEP,"GO之间的关系，并说明理由.

（2）如图1,连接EG,若EG平分NP£T,Z.BEP+Z.PGE=110°,LPGD=-/.EFD,Z.PGD=30°.求4BE尸的

2

度数；

⑶如图2,若EF平分KPEA,/PGZ）的平分线GN所在的直线与Er相交于点”，则/EPG与/EHG之间的数量

关系，并说明理由.

22.（23-24八年级•广东清远•期末）（1）如图①,在四边形ABOC中,Z.BOC=130°,乙B=29°,LC=28°.直

接写出4BOC与NB,ZC,NA之间的关系.

（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算4力+//1BC+乙D+4OEF的度数.

⑶如图③，在△力BC中，设〃=/?,乙4BC和-1CB的平分线8。，CE交于点O,过B作"的平行线BG交

4C的延长线于点G,试用含/?的代数式表示乙。8G的度数.

23.（23-24八年级•山东青岛•期末）△ABC中,4c=70。，点、D,七分别是△边47,8c上的点，点户是

一动点，令/P£M=Z1,乙PEB=42.，乙DPE=La.

ccc

(1)如图1,若点尸在线段431二，且乙a=60。，则41十乙2二

(2)如图2,若点户在线段A8上运动，则N1,乙2,Na之间的关系为

(3)如图3,若点P在线段48的延长线上运动，则Nl/2/a之间的关系为

再探:

(4)如图4,若点P运动到的内部，写出此时41/2,Na之间的关系，并说明理由.

⑸若点P运动到△48C的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时41,N2,Na之间的关系，并说明理由.

24.(23-24八年级•四川内江・期末)OBC中，"=70。，点小七分别是△48。边4C、8C上的两个定点,

点P是平面内一动点，i^PDA=Z1,乙PEB=乙2,乙DPE=La.

初探：

(1)如图1，若点。在线段43上运动，

①当乙a=60°时，则乙1+42=°；

②乙*41、匕2之间的关系为:.

再探：

（2）若点P运动到边4B的延长线上，如图2,则N*Z1,乙2之间有何关系?并说明理

拓展：

（3）如图3,写出此时乙*乙1、匕2之间的关系，并说明理由.

【题型4探究与三角形有关的线段之间的关系】

25.（23-24八年级•江苏淮安•期末）如图，在RtUBC中,乙4cB=90。,△ABC的外角NCBD的平分线BE交

AC的延长线于点儿点”为4（；延长线上的一点，连接〃

⑴若4A=40。，zF=25°,求证：DFWBE.

⑵若IIBE,探究N尸=30。，则£力=：（直接写答案，不用证明）

26.（23-24八年级•河南周口・期末）如图，MNWPQ,将两块三角尺（一块含30。角，一块含45。角）按如

下方式放置，使/-MAE=^CBQ,/.AED=/.ABC=90°.试判断48与DE的位置关系，并说明理由.

MN

PDBQ

27.（23-24八年级•江苏宿迁•期末）己知：如图，在△A8C中，力0是角平分线，E为边48上一点，连接

DE^EAD=/.EDA,过点E作EF18C,垂足为足

（1）说明:DEWAC；

（2）若4OEF=40。,48=36。，求/B4C的度数.

28.⑵-24八年级•重庆黔江・期末）如图1,将三角板48C与三角板力1摆放在一起;如图2,其中=30°,

^DAE=45°,^BAC=Z.D=90°.固定三角板力BC,将三角板ADE绕点4按顺时针方向旋转，记旋转角

LCAE=a（0°<a<180°）.

ffil图2图3

⑴在旋转过程中，当a为多少度时DE_L8C；

⑵在旋转过程中，试探究“力0与M/1E之间的关系；

29.（23-24八年级•山东济宁•期末）如图1,直线MN与直线48、CO分别交于点E、F,41与/2互补.

⑴试判断直线48与直线C0的位置关系，并说明理由；

（2）如图2,ZBE/与乙£7第的角平分线交于点尸，EP与CD交于点G,点H是MN上一点，且GHLEG,求证:

PF||GH；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接PH,K是GH上一点、使乙PHK二乙HPK,作尸Q平分NEPK,问NHPQ的大

小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由.

30.（23-24八年级•河南洛阳・期末）【学科融合】

同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象.如图1,物理学中把经过入射点。并垂直于反

射面的直线。N叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角.由此可

以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线

分别位于法线两侧；反射角等于入射角，即/1=22.这就是光的反射定律.

【初步应用】

（1）如图1,若41=42。，则匕80。=°；若4Aoe=50。，则4B。。=°：

【猜想验证】

（2）如图2,两平面镜。P,0Q相交于点0,一束光线从点4出发，经过平面镜两次反射后经过点8,两条

光线为M,NB相交于点E.

①若AMJ.NB,贝iJiPOQ=°

②请探究NP0Q与4MEN之间满足的等量关系，并说明理由.

【拓展探究】

（3）如图3,有三块平面镜AB、BC、CD,入射光线EF与镜面AB的夹角N1=«°,镜面48、8C的夹角=

100%已知入射光线先从镜面A8开始反射，然后再经过不同镜面的•次或两次反射，反射后反射光线与入

射光线EF垂直，请直接写出乙BCD的度数.（可用含有a的代数式表示）

31.（23-24八年级•江苏徐州•期末）如图，把一副二角板如图1摆放，乙。=60。,4。=45。，点C在边。4上，

将图中的4力。8绕点O按每秒3。的速度沿顺时针方向匀速旋转一周，在旋转的过程中，旋转的时间为£秒.

⑴如图2,求当，为多少秒时，ABWCD；（注：要写出求解过程）

⑵如图3,当1=秒时，ABWCD-,（注：直接写出结果）

32.（23-24八年级•四川宜宾•期末）如图，点。是△力8c外角/C"的平分线与乙。48的平分线的交点.

⑶如图③，在（2）的条件下，过E作48的垂线分别交/1B于点M、N,平分4cMN,交/C于点H.请

判断MH与力。的位置关系，并说明理由.

【题型5与三角形的角有关的证明】

33.（23-24八年级•河南郑州•期末）长方形4?。。中，户是延长线上一点，E是3F上一点，并且乙。8E二

乙DEB,LF=Z-EDF,请证明：^ABD=3Z.ABF.

34.（23-24八年级•甘肃酒泉•期末）已知，如图，直线尸QIIMN,△ABC的顶点人与8分别在直线MN与PQ

上，点C在直线4B的右侧，且乙C=35。，设乙CBQ=4a,乙CAN=乙8.

⑴如图1,当点。落在PQ的上方时，4c与PQ相交于点。，求证：4?=/+35。.请将下列推理过程补充完

整：

证明：团乙COQ是△C8D的一个外角（三角形外角的定义），

MDQ=za+ZC（）

（3PQIIMN（）,

0ZCDQ=z/?（）

团年=（等量代换）

0ZC=35°（已知），

（3/8=乙。+35。（等量代换）

⑵如图2,当点。落在直线MN的下方时，8C与MN交于点尸，请判断Na与N0的数量关系，并说明理由.

35.（23-24八年级•江苏南京•期末）如图，AE,8E分别是匕ZMC,480的角平分线，它们相交于点E,4E与

5。相交于点儿8E与4c相交于点G.写出乙C,乙。与乙E的等量关系，并证明.（要写出每一步的依据）

36.（23-24八年级♦辽宁沈阳•期末）如图,40||CB,/是D力延长线上一点，G是6上一点，并且〃CG=N4GC,

^GAF=ZF.请判断乙EC8与N4CB的数量关系并证明.

37.（23-24八年级•山东济南•期天）如图，四边形48CD,己知ADIIBC,点尸是线段延长线上一点，连

接。巴交线段4BF点E,若能在线段CF上取一点G,使得N/1CG=4AGC,4GAW=NGF4则请你证明：

乙ECB=-^ACB.

3

38.（23-24八年级•重庆南岸•期天）如图，在△ABC中，△1=△2=乙3

（1）证明：Z-BAC=A.DEF,

（2）LBAC=70°,Z.DFE=50°,求乙4BC的度数.

39.（23-24八年级•湖南衡阳•期天）如图1,直线与直线匕、分别交于。、。两点，点M在直线，2上，

射线0E平分410M交直线匕于点Q,LACQ=2Z.CDQ.

⑴BMl"W2B图3

证明：GIIG；

⑵如图2,点P是CO上一点，射线QP交直线%于点F,^ACQ=70°.

①若乙QFD=20。，则直接写出乙FQO的度数是.

②点N在射线DE上，满足“CN=乙QFD,连接CM如图3所示情况，探究“ND与乙FQD满足的等量关系，

并加以证明.

40.（23-24八年级•江苏常州•期末）（1）如图1,在直角三角形力8C中，LACB=90°,4力=30。，CD平

分N/4C3,点笈足力0边上一点，且乙4CZ?=44Z?C,贝乙DC?=°；

（2）如图2,若△ABC为一般三角形（A8>力C）,乙4BC=a,CZ）平分乙4CB,点E是A8边上一点，且乙4CE=

〃EC,求4DCE的度数（用含a的代数式表示）；

（3）如图3,若△ABC为钝角三角形（N48C为钝角，AB<AC）,/-ABC=a,CD平分44C8,点E是AB延

长线上一点，且4力3=44EC,请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果不成立，请说

明理由.

图1图3

专题11.7与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练（40题）

【人教版】

【题型1与三角形的角有关的挖空题】

1.（23-24八年级•吉林长春・期末）如图，在△A8C中，。是BC边上一点，Z.ADC=110°,Z.BAC=80°,

乙B=乙BAD.

求：（1）48的度数；

（2）NC的度数.

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解：（1）•.2/1OC是△480的夕卜角（己知），

z/lDC=110°（）.

又"B=Z.BAD（已知），

:•乙B=（等量代换）.

（2）vzfi+LBAC+_=180°（）,

.-.ZC=180°-LBAC-LB（等式的性质），

=180°—80°—NB,

【答案】（1）Z/?：ZRAD：二角形外角性质：5S。：（2）ZC：二角形内角和定理.45。.

【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理，三角

形的外角性质是解决问题的关键.

（1）根据三角形外角性质得NB+4BAD=再根据乙B=得2NB=110。，据此可得NB的度

数；

（2）根据三角形内角和定理得NB+ABAC+a=180°,再根据NB4C=80。，乙B=55。可得出的度数.

【详解】解：（1）•.zAOC是△AB0的外角（己知），

••28+匕840=乙4。。=110。（三角形外角性质）.

又•,ZB=/.BAD（已知），

.心=55。（等量代换）.

故答案为：4B；LBADx三角形外角性质；55°.

（2）•.•NB+4B4C+4c=180°（三角形内角和定理），

••.NC=180°—乙B4C—48（等式的性质），

=180。-80。一

=45°.

故答案为：乙C；三角形内角和定理，45°.

2.（23-24八年级•河南南阳•期末）如图所示，在△ABC中，力。平分/BAC,点P为线段上的一个动点,

PE14。交8c的延长线于点E.

（1）若43=35。，4AC。=85。，求乙“的度数；

解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式））

回ZB=35°,Z-ACB=85°（已知）

ZR4C++Z.ACB=（）

团4B力。=180°一乙B-LACB（等式的性质）

=180°-35°-85°（等量代换）

=60°

（ZL4D平分484c（）

^BAD=Z_=\LBAC=\=（角平分线的定义）

0Z4DC=乙B+_=35°+=（）

0PF1AD（已知）

0ZDPE=90°（）

在直角三角形OPE中，

回/POE+ZE=90°（）

0ZF=90°-Z,PDE（等式的性质）

=90。-（等量代换）

（2）当点尸在线段力0上运动时，设匕8=%乙ACB=趴0>a）,求/E的大小.（用含。，/?的代数式表示）

（请类比（1）的解答过程，解答该题，可以不写理由）

【答案】（1）180°,三角形的内角和等于180。，CAD,60°,30。，30°,65°,三角形的一个外角等于与它

不相邻的两个内角的和，垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，65°,25°；（2）

【分析】（1）根据题中所给推理过程可直接进行求解；

（2）由题意易得484C=18O°—a—0,Z-DPE=90°,则有=90。一—10,Z.ADC=90°+1a-

然后根据余角可进行求解.

【详解】解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式））

团/B=35°,乙ACB=85°（已知）

4B.4C++LACB=180°（三先形的内角和等于180°）

^BAC=180°一乙B-Z.ACB（等式的性质）

=180°-35°-85。（等量代换）

=60°

团4D平分N8/1C（己知）

0ZF/ID=ZCAD=：N8/1C=350°=30°（角平分线的定义）

0Z4DC=ZF+484。=35。+30。=65。（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

1AD（已知）

0ZDPF=90°（垂直的定义）

在直角三角形DPE中，

13NPDE+NE=9O。（直角三角形的两个锐角互余）

=90°-Z.PDE（等式的性质）

=90°-65。（等量代换）

=25°.

故答案为180。，三角形的内角和等于180。，CAD,60°,30。，30°,65°,三角形的一个外角等于与它不相

邻的两个内角的和，垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，65。，25°：

(2)解：0z.fi=a,乙ACB=0

ZR4C++^ACB=180°

团/BAC=1800-a-/?

团4。平分484c

^BAD=\LBAC=|X（180°-a-/7）=90°-1a-1/?

^ADC=48+4BAD=a+9O°-：a-：0=9O°+：a-：S

22122尸

团PE1AD

^LDPE=90°

在直角三角形DPE中，

团/PDE+Z.F=90°

0zE=90°-乙PDE=90°-（90°+|a-1/?）

=一声+讨=/"a）.

【点睛】本题主要考查三角形内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义及直角三角形的两个锐角互余,

熟练掌握三角形内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键.

3.（23-24八年级•吉林长春•期末）如图，在直角三角形48c中，CO是斜边48上的高，480=35。，求：

（1）%BC的度数；

（2）乙4的度数.

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解：（1）回。0_LAB（已知），

⑦乙CDB=>

团4EBC=乙CDB+乙BCD（）,

^EBC=+35°=（等量代换），

（2）0ZF5C=£A+LACB（）,

0Z4=Z-EBC-LACB（等式的性质），

团乙=900（已知），

回乙A=-90°=（等量代换）.

你还能用其他方法解决这一问题吗？

【答案】（1）90°：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；90°：125°；（2）三角形的一个

外角等于和它不相邻的两个内角的和；乙EBC；35°.

【分析】（1）由CD14B可得NCDB=90。，由三角形的外角性质可得NEBC=+/BCD,代入已知

计算即可求解；

（2）由三角形的外角性质可得乙4=4£8。一44:历代入已知计算即可求解；

本题考查了三角形的外角性质，垂直的定义，掌握三角形的外角性质是解题的关键.

【详解】解：（DBCD1AB（已知），

团“。8=90°,

^EBC=^CDB+^BCD（二角形的一个外角等于和它不相邻的两个内向的和），

田乙EBC=90°+35°=125°（等量代换），

故答案为:90。；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;90°；125°；

（2）^EBC=z/1+^ACB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

0Z/1=£.EBC-Z.ACB（等式的性质），

^Z-ACB=90°（已知），

团乙1=Z.EBC-90°=35°（等量代换）,

故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；乙EBC；35。.

4.（23-24八年级•重庆沙坪坝•期末）如图，在△A8C中，Z.B=40°,匕力CB的平分线G）交于点。，DEWAC

交8C于点£,Z.CDE=35°,求Z4DC及乙4的度数.

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解：0DEIMC（已知），

团①（两直线平行，内错角相等）.

XdzCDF=35°（已知）,

^ACD=35。（等量代换），

团CD平分乙AC8（己知），

00（角平分线的定义）.

^BCD=35°（等量代换）.

团乙4DC是△80C的夕卜角（已知）,

^ADC=®（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.

又便48=40°（己知），

0Z4DC=4O°+35O=75°.

0Z44-4ADC+LACD=180°（④）,

团乙1二⑤（等式的性质）

=180°-75°-35°

=70°.

【答案】①zACD=zCDE;②4CD=zBCD；③NBCD+48；④三角形内角和定理；⑤180。一乙4DC-

/-ACD

【分析】根据平行线的性质得出〃8="。从根据角平分线的定义得出〃6=46,根据三角形外

角性质得出N/OC=乙BCD+4氏根据三角形内角和定理得出乙4+2LADC+^ACD=180°,求出结果即可.

【详解】解：0DFIMC（已知），

回①乙4。。="。后（两直线平行：内错角相等）.

又R4CDE=35。（已知），

0Z4CD=35。（等量代换），

比。平分/ACB（已知），

（3②乙4CD=/BCD（角平分线的定义）.

0ZFCD=35。（等量代换）.

（34A0C是△8。。的夕卜角（已知），

0Z/WC=^BCD+ZF（3）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.

又叵48=40°（己知），

团4AOC=400+35°=75°.

团41+440。+乙40=180°（0）三角形内角和定理），

0Z4=180°-^ADC-^ACD（5）（等式的性质）

=180°-75°-35°

=70°.

故答案为：@Z-ACD=Z-CDEx@LACD=乙BCD；@^BCD+乙B；④三角形内角和定理；（5）180°-Z,ADC-

乙ACZ）.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三箱形外角的性质，三角形内角和定理，解题

的关键熟练掌握平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

5.（23-24八年级•重庆沙坪坝•期末）如图，在a/IBC中，AABC=45°.0、E分别是力C、BC边上一点，连

接4E、BD,4E与BO相交于点F.若=Z.BAE=45°,请说明4力0/=90。.对于上述问题，

在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解：是△BE/的外角（已知），

Z.EFD=（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内用的和）.

同理可得：乙EFD=+/.DAF.

又•；乙CBD=/.CAE（已知）,

AZ.ADF=（等式性质）.

•••Z.BAE+乙ABE+LAEB=（三角形内角和等于180。），

乙4BC=45°,^BAE=45°（已知），

/.AEB=180°-4BAE-/-ABE（等式的性质），

=180°-45°-45°=90°,

Z.ADF=。（等量代换）.

【答案】乙EBF+乙BEF；Z.ADF；乙BEF；180°；90

【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等r与它不相邻的

两个内角的和、三角形内角和等于180。是解题的关键.

根据三角形外角的性质，三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：；4EF。是的外角（已知），

•••^EFD=LEBF+^BEF（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.

同理可得：Z.EFD=Z.ADF+Z-DAF.

Xv£.CBD=Z.CAE（已知），

£ADF=LBEF（等式性质）.

vZ.BAE+乙ABE+LAEB=180。（三角形内角和等于180。）,

4ABe=450,LBAE=45°（已知），

Z.AEB=180°-Z-BAE-Z-ABE（等式的性质），

=180°-45°-45°=90°,

AAADF=90°（等量代换）.

故答案为：Z.EBF+Z.BEF；Z.ADF；乙BEF；180°；90.

6.（23-24八年级•福建泉州•期末）如图，在△48。中，点。在边上，点E在AC边上,连接力。，DE,已

知/8=60。，乙C=40°,Z1=50°,且43=44,求42的度数.

对于上述问题，在以下解答过程中的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解：在中，ABAC+AB+2.C=180°（）,

乙8=60°,LC=40°（已知），

^BAC=180°-（48+4C）=180°-（60°+40°）=（等量代换），

0Z1=50°（已知），

团ZD4C=Z-BAC-zl=80°-50>=30°（等量代换），

在zk/lDE中，ZD/IF+Z3+Z4=1800（三角形内角和等于180°）,

X（ZZ3=Z4（）,

团乙4=（180°-乙DAE）+2=75。（等式的性质），

0Z4=Z.C+Z2（）,

团42=44一4C=75。-40°=35°（等量代换）

【答案】见解析

【分析】根据三角形的内角和定理，以及三角形的外角的性质，进行作答即可.

【详解】在△/18C中，乙8/1C+匕B+4C=180。（三角形内角和等于180°）,

48=60。，4C=40°（已知），

^BAC=180°-QB+zf）=180°-（60°+40°）=80°（等量代换），

0Z1=50°（已知），

0ZD4C=乙BAC-Z1=80°-50,=30°（等量代换），

在A/DE中，ND4E+N3+N4=180。（三角形内角和等于180。），

XEZ3=Z4（已知），

0Z4=（180°-Z.DAE）+2=75。（等式的性质）,

0Z4=zf+Z2（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）,

团42=44一4C=75。-40°=35°（等量代换）

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，以及三角形的外角.熟练掌握三角形的内角和为18CT,三角形的

一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键.

7.（23-24八年级.吉林长春•期末）【问题】

如图①，在AABC中，44=80。，03平分/ABC,DC平分乙ACB.求乙。的度数，对于上述问题，在以下解

答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解：^ABC+乙ACB+^A=180°（）,

团/ABC+Z-ACB=（等式性质）.

S=80°（已知），

13ZJ18C+Z.ACB=（等量代换）.

团OB平分N/8C（已知），

^DBC=^ABC（角平分线的定义）.

,1

0/DBC+乙DCB=^ABC+Z-ACB）=（等式'性质）.

回ZDBC+Z.DCB+40=180%

0ZD=180°-QDBC+乙DCB）=（等工弋性质）.

【拓展】如图②，在△ABC中，LA=a,平分乙WC,DC平分4AC8.

则/D=（）.

【应用】如图③，在△43C中，OU平分乙AOC,0c平分乙力。3,平分乙。3C,EC平分乙DCB.若乙E=145°,

则乙4=（）.

【答案】［问题］三角形内角和定理；180。-财；100°：次1AC4；50。：130。；［拓展］90。+，［应用］40。.

【分析】［问题］由三角形内角和定理可得0A8C+a4c8+0A=18O。，从而求得财8C+0ACB=1OO°,由角平

分线的定义可得团。8C=扣ABC,0DCB=1{MCB,再次利用三角形内角和定理可求回。的度数：

［拓展］由三角形内角和定理可得a4BC+MCB+a4=180。，从而求得财BC+MCB=180Jx,由角平分线的

定义可得团Z）BC=#L4BC,WCB=^ACB,再次利用三角形内角和定理可求团。的度数；

［应用］利用［拓展］中的结论先求出血的度数，再次利用［拓展］中的结论求出财即可.

【详解】解：伸J题］函MC+a4C8+财=180。（三角形内角和定理），

雕L48C+（MC8=180°-a4（等式性质），

配14=80°（已知），

00XBC+0AC5=1O