人教A版数学(选择性必修三讲义)第17讲第七章随机变量及其分布章末题型大总结(学生版+解析)

第09讲第七章随机变量及其分布章末题型大总结

题型01相互独立事件与互斥、对立事件

【典例1】（2023上•四川凉山•高二校联考期末）一个盒子中装有标号为1,2,3,4的4张号签，从中随

机地选取两张号签，事件4="取到标号为1和3的号签“，事件两张号签标号之和为5〃，则下列说法

正确的是（）

A.A与3互斥B.A与4独立C.A与3对立D.P（B）=j

【典例2】（2023上•江苏常州•高二常州高级中学校考开学考试）同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件

A表示“两枚骰子的点数之和为5〃,事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同〃,

事件。表示“至少一枚骰子的点数是奇数〃.则下列说法中正确的是（）

①A与C互斥②4与。对立③A与。相互独立④8与C相互独立

A.①③B.①④C.②③D.②④

【典例3】（多选）（2023上.福建泉州.高二福建省德化第一中学校考阶段练习）同时掷红，蓝两枚质地均

匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5〃，事件8表示“红色骰子的点数是偶数〃，事件。表示“两

枚骰子的点数相同〃，事件。表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（）

A.A与C互斥B.B与。对立

C.A与。相互独立D.B与C相互独立

【典例4】（多选）（2023上•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）有4个相同的球，分别标有数字1,

2,3,4,从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A表示"第一次取出的球的数字是1"，事件从表

示“第二次取出的球的数字是偶数"，事件C,表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件。表示“两次取出

的球的数字之和是奇数"，则（）

A.A与4互斥B.C与。对立

C.B与。相互独立D.8与。相互独立

【变式11（2023上•上海•高三上海市行知中学校考期中）存在两个事件A和式且0vP（A）<1,0<P（8）<1,

若A与8是两个①事件，则P（Au8）=P（A）+P（8）：若A与8是两个②事件，则P（Ac3）=P（A）-P（5）；

其中（）

A.（1）互斥（2）独立B.（1）互斥（2）对立

C.（1）独立（2）互斥D.（1）对立（2）互斥

【变式2】（2022上•广东佛山•高三统考期中）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生

育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政

策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记

事件A：该家庭既有男孩又有女孩；事件8：该家庭最多有一个男孩；事件。：该家庭最多有一个女孩.则

卜.列说法正确的是（）

A.事件3与事件C互斥但不对立B.事件A与事件B互斥且对立

C.事件8与事件C相互独立D.事件A与事件8相互独立

【变式3］（多选）（2023上•广东•高二校联考阶段练习）抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用，表示黄

色骰子朝上的点数，〃表示白色散子朝上的点数，用（。力）表示•次试验的结果，该试验的样本空间为Q，

事件A="0<a+力<10〃，事件8="a=4",事件C="b<4",事件。二"">20”则（）

A.A与4互斥B.A与。对立

C.区与C相互独立D.3与。相互独立

【变式4］（多选）（2023下•河北承德•高一统考期末）抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用。表示黄色

骰子朝上的点数，用力表示白色嵌子朝上的点数，用（。，〃）表示一次试验的结果，该试验的样本空间为C,

记事件A="关于x的方程/-（4+力）.1+|包+力）=。无实根，，，事件笈=，匕=4〃，事件C="<4〃，事件。=

“ab>20”,则（）

A.A与“互斥B.A与。对立

C.B与。相互独立D.8与。相互独立

题型02离散型随机变量的均值与方差的性质

【典例1】（2024,全国•高三专题练习）已知〃的分布列如下表所示，设<=3〃-2,则0（/的值为（）

39

Q

【典例2】（2024•全国•高二假期作业）设随机变量X〜3（2,〃），随机变量V〜3（3,p）,若P（XN1）=］,则

。（3丫+1）=（）

A.2B.3

C.6D.7

【典例3】（2。2牛全国・高三专题练习）若数据%,巧门,，%的平均数为三，力差为一,贝IJ5吊十2,5占十2,…,5居十2

的平均数和方差分别为（）

A.x,s2B.5X+2,52C.5X+2,25/D.X,25/

【变式1］（2024•全国•高二假期作业）若离散型随机变量X的标准差收石=8,则随机变量y=2X-l的

标准差为（）

A.8B.15

C.16D.32

【变式2］（2024•全国•高三专题练习）若随机变量X服从两点分布，其中P（X=O）=§,E（X）,D（X）分

别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（）

A.P（X=1）=E（X）B.E（3X+2）=4

7

C.D（3X+2）=4D.D（X）=-

【变式3］（2024•全国•高二假期作业）设随机变量X,y满足y=2X+伙。为非零常数），若

E（y）=4+反力（丫）=32,则E（X）=—,D（X）=_.

题型03离散型随机变量的均值与方差

【典例1】（2024•吉林白山•统考一模）俗话说：“人配衣服，马配鞍〃.合理的穿搭会让人舒适感十足，给

人以赏心悦目的感觉.张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投

掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷〃，出现"完美投掷〃，则记4=1;若掷出的点数之和

不是3的倍数，则称为“不完美投掷“，出现"不完美投掷"，则记4=0；若&=1,则当天穿深色，否则穿浅

色.每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为而选择了浅色后，

再选西装的可能性为看

⑴求出随机变量4的分布列，并求出期望及方差；

⑵求张老师当天穿西装的概率.

【典例2】（2024•全国•高三专题练习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由

13

对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为9，4，

34

（1）求第三次由乙投篮的概率；

⑵在前3次投篮中，乙投篮的次数为3求J的分布列；

⑶求产的期望及标准差.

【典例3】（2023下•高二校考单元测试）气象部门提供了某地区今年六月份（30天）的日最高气温的统计

表如下：

日最高气温f（单位：℃）r<22℃22℃vY28℃28℃<r<32℃t>32℃

天数612YZ

由干工作疏忽，统计表被墨水污染，丫和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的口最高气温

不高于32。（2的频率为09

某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温，（单位：℃）对西瓜的销售影响如下表：

日最高气温I（单位：℃）/<22℃22℃</<28℃28℃<f<32℃r>32℃

日销售额X（千元）2568

⑴求匕Z的值;

⑵若视频率为概率，求六月份西瓜口销售额的期望和方差；

⑶在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率.

【变式1】（2024•全国•高三专题练习）某短视频软件经过儿年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了

有娱乐属性外，也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：

方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为。元，20万元，40万元，且P（X=20）=03,期

望E（X）=30.

方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为030.4,0.3.

⑴请写出方案一的分布列，并求方差。（X）；

⑵请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由.

【变式2］（2023上•辽宁沈阳•高三辽宁实验中学校考阶段练习）甲乙两人进行一场乒乓球比赛已知每局甲

胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,甲乙约定比赛采取"3局2胜制

⑴求这场比赛中获胜的概率；

⑵这场比赛甲所胜局数的数学期里（保留两位有效数字）：

⑶根据（2）的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差.

【变式3］（2023下•山东临沂•高二统考期中）甲、乙两种品牌手表，它们的口走时误差分别为X和V（单

位：S）,其分布列为

甲品牌的走时误差分布列

X-101

P0.10.80.1

乙品牌的走时误差分布列

Y-2-1012

P0.10.20.40.20.1

⑴求E（X）和E（y）；

⑵求D（x）和。（丫），并比较两种品牌手表的性能.

题型04二项分布

【典例1】（2024上•广东广州•高二华南师大附中校考期末）泊松分布的概率分布列为

“工=幻=匕e"伏=0,1,2,…），其中e为自然对数的底数，丸是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分

k\

布，当〃很大且〃很小时，二项分布近似于泊松分布，其中丸=〃〃，即，

X~B（〃,〃）,P（X=i）=（〃wN）.现已知某种元件的次品率为0.01,抽检100个该种元件，则次品率

/!

小于3%的概率约为（参考数据：,=0.367879...）（）

e

A.99%B.97%C.92%D.74%

【典例2】（2024•全国•高三专题练习）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20道题，已知该同

学每道题答对的概率为0.6,每道题答对与否相互独立.若答对一题得3分，答错一题扣1分，则该同学总

得分的数学期望为,方差为.

【典例3】（2024上•甘肃武威•而三统考期末）某单位招聘会设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.

笔试设有三门测试，三门测试相互独立，三门测试至少两门通过即通过笔试，通过笔试后进入面试环节，

若不通过，则不予录用.面试只有一次机会，通过后即被录用.已知每一门测试通过的概率均为g,面试通过

9

的概率为

⑴求甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率；

⑵已知有100人参加了招聘会，X为被录取的人数，求X的期望.

【典例4】（2024•全国•高三专题练习）部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试

点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知A8两所大学的笔试环节都设有三门考

试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考A大学，每门科目达到优秀的概率均为彳，若该考

I2

生报考8大学，每门科目达到优秀的概率依次为:，人其中

45

⑴若〃=：，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；

⑵盗基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决

策，该考生更有希望进入A大学的面试环节，求〃的范围.

【变式1】（多选）（2024上•辽宁抚顺•高二校联考期末）已知X~*3,p）（0<〃<J）,4P（X=3）+P（X=2）=：,

O

且y=2x+i,则（）

B.石")=|

□

C.D（x）=jD.E（y）-l=2D（y）

【变式2］（2024上•河南•高二校联考期末）一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.

设该机器生产零件的尺寸为£,且规定尺寸后£（85,115）为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随

机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图.

⑴试估计该机器生产的零件的平均尺寸；

（2）如果将每5件零件打包成•箱，若每生产〜件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取

箱零件，求这箱零件的期望利润.

【变式3］（2024•全国•高三专题练习）某种植户对一块地上的叩好1<）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，

每粒种子发芽的概率均为g，且每粒种了•是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要

进行补种，否则需要补种.

⑴当〃取何值时，有4个坑需要补种的概率最大？最大概率为多少？

⑵当〃=5时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列及数学期望.

【变式4]（2024上•安徽•高三合肥市第八中学校联考开学考试）某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，己

知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为94%；乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为

95%,已知两台机器生产芯片的质量互不影响.现对某天生产的芯片进行抽样.

⑴从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；

⑵现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为X,求X的分布列以及数

学期望E（X）.

题型05超几何分布

【典例1]（2024下•全国•高二随堂练习）盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，

3

则概率是6的事件为（）

A.恰有1个是坏的B.4个全是好的

C.恰有2个是好的D.至多有2个是坏的

【典例2】（多选）（2024上•海南省直辖县级单位•高三校考阶段练习）已知随机变量X的概率为

P（X=k）二笔一#二012,3,4,则下列说法正确的是（）

jo

A.P（X=2）=:

B.E（X）=£

C.甲每次射击命中的概率为0.6,甲连续射击10次的命中次数X满足此分布列

D.一批产品共有10件，其中6件正品，4件次品，从10件产品中无放回地随机抽取4件，抽到的正品

的件数X满足此分布列

【典例3]（2024上•广东潮州•高三统考期末）2023年9月26日晚,位于潮州市南春路的南门古夜市正式

开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食

产业的又一里程碑.为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），

这100名游客的评分分别落在区间[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]内,统计结果如频率分布

直方图所示.

⑴根据频率分布直方图，求这10C名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；

⑵为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组[50,60）,[60,70）,

[80,90）的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于180,90）的人数$的分布列和

数学期望.

【典例4】（2024,全国•高三专题练习）某市教师培训中心对2022年暑假教师培训进行总体评价，有1200

[5,6）,[6,7）,[7,8）,[8,9）,[9,10]六个组,绘

⑴求图中”的值，并求这1200份打分的平均数（同一组中的数据用该组的中点值作代表）；

⑵若培训中心将在打分[6.8）中的教师中用分层抽样的方法抽取9人,再从这9人中随机抽取3人进行而谈.

记X表示打分在[6,7）的人数，求X的分布列和数学期望.

【变式1】（2024•全国•高二假期作业）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球,

从中不放回地随机摸出20个球作为样本，川随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从（）

二项分布,且E（X）=8B.两点分布，且E（X）=12

超几何分布，且E（X）=8D.超几何分布,且E（X）=12

【变式2]（2024•全国•高三专题练习）在一次运动会上，某单位派出了6名主力队员和5名替队员组成代表

队参加比赛.如果随机抽派5名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为.

【变式3]（2024上•广东揭阳•高三统考期末）为」曾强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时

投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成[6,10）,[10,14）,[14,18）,[18,22）,[22,26]

这5组，并得到如下频率分布直方图：

个频率/组距

0.08

0.07

0.04

0.02

0^61014182226

⑴估计全班同学的平均进球个数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（2）现按比例分配的分层随机抽样方法,从进球个数在[10,14）,[14,18）,[22,26]内的同学中抽取8人进行培

训，再从中抽取3人做进一步培训.

（i）记这3人中进球个数在[14,18）的人数为X,求X的分布列与数学期望；

（ii）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率.

【变式4】（2024•全国•高二假期作业）2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人

民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书〃，是新中国第一部以法典命

名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学

生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机

抽取20名学生的成绩（单位：分），绘制成如图所示的茎叶图：

高一高一

898636126

976500734579

96118025788

771109133589

根据学生的竞赛成绩，将其分为囚个等级:

测试成绩（单位：分）[60,70)[70,80)180,90)[90,100)

等级合格中等良好优秀

（1）从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况卜.，求这2名同学来自同一个年级的概率;

（2）现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记X为抽到高二年级的人数，求X的分布列，数

学期望与方差.

题型06正态分布

【典例1】（2024上•河南南阳•高二校联考期末）为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产

线上随机抽取MkeN）罐咖啡，并测量其质量（单位：g）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1

罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态

分布.假设生产状态正常，记x表示每天抽取的女罐咖啡中质量在（〃-笫,〃+3。）之外的罐数，若

X的数学期望£”）>0.026,贝隈的最小值为（）

阿.：若随机变量X服从正态分布NJ。?），贝IJP（〃-3bvX<〃+3b）y0.9974.

A.10B.11C.12D.13

【典例2】（2024上•河北保定•高三河北省唐县第一中学校考期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二

项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量

y~8（〃,〃），当〃充分大时，二项随机变量y可以由正态随机变量x来近似地替代，且正态随机变量x的

期望和方差与二项随机变量y的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗(1667-1754)在1733年证明了〃时

这个结论是成立的，法国数学家、物理学家拉普拉斯(1749-1827)在1812年证明了这个结论对任意的实数

都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次,

利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为()

(附：若X~N(〃,/)，则尸(〃一。4XK〃+。)u0.6827,P(//-2<T<X<//+2CT)«0.9545,

-3b4X4幺+3b)工0.9973)

A.0.99865B.0.97725C.0.84135D.0.65865

【典例3】(2024•新疆乌鲁木齐•统考一模)在工业生产中轴承的直径服从N(3.O,O.OO25),购买者要求直径

为3.0±£,不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在455%之内，则£至少为；(若

X~N3b2),则P(|X<2a］=0.9545)

【典例4】(2024上•安徽合肥•高三合肥一中校考期末)我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依

赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业

开展深度合作，共同推动产业发展.2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本十.制造比例达到」90%,

以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，

帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批

零件进行质量检测.下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数(总分1000分，分数越高质量

越好)：928>933、945、950、959、967、967、975、982、994.假设该生产线生产的零部件的质量分数

X近似服从正态分布NJ：。?)，并把这10个样本质量分数的平均数Q作为〃的值.

参考数据:若则卜0.68.

⑴求〃的值；

⑵估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940?

⑶若从该生产线上随机抽取〃个零件中恰有J个零部件的质量分数在［940,980］内，则〃为何值付，?%=10)

的值最大？

【变式1］（2024上•辽宁抚顺•高二校联考期末）已知随机变量X服从正态分布N（ll,b2）,且

P（X<67-2）=P（X>tz+2）=0.3,则尸（9vXvll）=（）

A.0.2B.0.4C.03D.0.6

【变式2］（2024•全国•高三专题练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,

发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究HK两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安

全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献•某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高

।“700.

「-

（单位：cm）服从正态分布，其密度曲线函数为/（x）=I200,xeR,则下列说法错用的是）

10后

A.该地水稻的平均株高为100cm

B.该地水稻株高的方差为100

C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小

D.随机测量一株水稻，其株高在（90,100）和在（100,110）（单位：cm）的概率一样大

【变式3］（2024.四川内江.统考一模）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车

进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：

根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布用样本平

均数嚏和标准差S分别作为4、。的近似值，其中样本标准差S的近似值为50,现任取一辆汽车，则它的单

次最大续航里程X€［250,400］的概率为.

（参考数据：若随机变量X~N（〃,/），则夕（〃一。MXK〃+。卜0.6827,P（//-2a<X<//+2°卜0.9545,

心一3<TKXW〃+布卜0.9973）

【变式4]（2024上•湖南衡阳•高三统考期末）已知某超市销售的袋装食用盐的质量X（单位：g）服从正

态分布且P（X<249）=0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为30kg,〃的值恰好等于

这120袋食用盐每袋的平均质量（单位：g）.

⑴若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于250g的袋数为Z,求Z的分布列；

⑵若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取K（K为正整数）袋，记质量在249g~251g的袋数为y,求满

足仇卜）<42的K的最大值.

题型07正态分布的实际应用

【典例1】（2024上•江苏扬州•高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，

赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为0.25%,记10000名客户

中获得赔偿的人数为X.

⑴求E（X）,并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；

⑵二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次

数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二

项分布的相关概率计算问题，我们知道若X〜巩〃,〃），则O（X）=〃p（l-p）,当〃较大且〃较小时，我们为

了简化计算，常用矶X）的值估算/）（X）的值.

请根据上述信息，求：

①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；

②该公司今年这•款保险产品亏次的概率.

参考数据：若X~N（〃"），则P（"-bKXK4+b）p0.683,P[〃-3bWXW〃+3<T）p0.997.

【典例2】（2024下•全国•高二随堂练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，

强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单

位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图.

，频率/组距

0.3--------------------------

0.2.......................................

0.15...................

…rTTTI…口

0、4.55.56：57：58：59.51&5x1万元）

⑴求这2000户农户家庭年收入的样本平均数工（同一组的数据用该组区间中点值代表）.

⑵由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布N（〃,4）,其中〃近似为样本平均数人近似为

样本方差其中d=2.3.

①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）

②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取

4户,即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为。.求P（左3）.（结果精确到0.001）

附:①必°1.52；②若X〜N伍4）,则P（〃—。<X<〃+。）=0.6827,尸（〃—2。<X<〃+2。）=0.9545；

③0.841354«0.501.

【变式1］（2024上•海南省直辖县级单位•高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山

一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机

选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径巷（单位：厘米），如下表：

i123456789101112

28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5

计算得：£>尸360,£>；=10992.

/=1r=l

⑴求这12棵红松树的树干直径的样本均值〃与样本方差

(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.

记事件A：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间122,38］.

①用(1)中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求?(4);

②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布N(30.82).

在这个条件下，求P(A)，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.

参考公式：若丫~2(〃,『)，

则P(|r-//|<o-)«0.6827,P(|r-^<2o-)«0.9545,P(|r-//|<3<T)«0.9973.

参考数据：0.6827'2«0.0L0.954512«0.57,0.9973'2«0.97.

【变式2］(2024下•全国•高二随堂练习)2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交

通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午8:20~9:40这一时

间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段8:20〜8:40

记作区间［20,40),8:40~9:00F作［40.60),9:00~9:20记作［60.80),9:20~9:40记作［80.卜刈,对通过

该收费点的车辆数进行初步处理，己知〃?=2〃，8:20〜9:40时间段内的车辆数的频数如下表：

时间段[20,40)[40,60)[6a80)[80,100]

频数100300mn

⑴现对数据进一步分析•，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取

4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为X,求X的分布列与期望；

(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻其中〃可用(0中这1000

辆车在8:20~9:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，/可用样本的方差近似代替(同一组中的

数据用该组区间的中点值代表)，已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在8:28〜9:22之间通过的车

辆数(结果四舍五入保留到整数).

参考数据：若丁~"(小。2),则①P(〃-b〈T«〃+b)=0.6827；②P(〃—2b<7<〃+2b)=0.9545；③

P(u-3cy<T<〃+3。)=0.9973.

第09讲第七章随机变量及其分布章末题型大总结

题型01相互独立事件与互斥、对立事件

【典例1】（2023上•四川凉山•高二校联考期末）一个盒子中装有标号为1,2,3,4的4张号签，从中随

机地选取两张号签，事件A="取到标号为1和3的号签〃，事件8两张号签标号之和为5〃，则下列说法

正确的是（）

2

A.A与3互斥B.A与6独立C.A与6对立D.P（B）=-

【答案】A

【详解】根据题意，选取两张号签用（X,），）表示一次实验结果，

则随机试验结果的样本空间＜=｛（1,2｝（1，3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）｝,

A=｛（1，3）｝,3=｛（1,4）,（2,3）｝.

对A,Ac8=0,所以A与4互斥，故A选项正确；

对B,Ac8=0,P（A）=~,。〃）=9=彳，所以P（44）WP（A）P（B）,A与3不独立，故B选项错误；

663

对C,Ac8=0,AUBW。，所以A与3不对立，故C选项错误；

7I9

对D,P（B）=—=故D选项错误.

633

故选：A.

【典例2】（2023上•江苏常州•高二常州高级中学校考开学考试）同时掷红、蓝两枚腹地均匀的骰子，事件

A表示“两枚骰子的点数之和为5〃,事件4表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同〃,

事件。表示“至少一枚骰子的点数是奇数〃.则下列说法中正确的是（）

①A与C互斥②4与。对立③4与。相互独立④3与C相互独立

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【详解】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5,

所以4与C互斥，因此本序号说法正确：

②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B与。同时发生，

因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；

419?41

③：p（/1）=—=-,p（D）=l——=-,P（AD）=—=-,

7一369'/364v7369

显然?（A）P（0HP（A0，所以4与。不相互独立，所以本序号说法不正确；

④：

P（B）=1.P（C）=^（BC）=A=_L,

显然P（8）尸（C=/（BC）,所以8与。相互独立，所以本序号说法正确,

故选:B

【典例3】（多选）（2023匕福建泉州•高二福建省德化第•中学校考阶段练习）同时掷红、蓝两枚质地均

匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”,事件8表示“红色骰子的点数是偶数〃，事件C表示“两

枚骰子的点数相同”，事件。表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（）

A.A与C互斥B.8与。对立

C.4与D相互独立D.△与。相互独立

【答案】AD

【详解】解：对于选项A,因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5,

所以人与。互斥，故A正确；

对于选项B,当红色骰子的点数为偶数，蓝色骰子的点数为奇数时，8与。同时发生，

因此这两个事件不对立，故B错误；

41Q341

对于选项C,P（A）=-=-P（D）=\一一=-,P（AD）=-=-,

''369tV7364v7369

显然尸（A）P（0wP（A0，所以4与。不相互独立，故C错误；

II,.31

对于选项D,尸（8）=3,P（C）=Z，P（8C）二数二不，

2o3612

显然P（8）P（C）=P（8C）,所以8与。相互独立，故D正确：

故选：AD.

【典例4】（多选）（2023上•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）有4个相同的球，分别标有数字1,

2,3,4,从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是1",事件6表

示“第二次取出的球的数字是偶数"，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数〃，事件。表示“两次取出

的球的数字之和是奇数"，则（）

A.A与B互斥B.。与。对立

C.B与。相互独立D.8与。相互独立

【答案】BCD

【详解】设采用不放何方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，

全部的基本事件有:（1,2）,（1.3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,

（4,1）,（4,2）,（4,3）共12个,

事件A发生包含的基本事件有：（1,2）,（1,3）,（1,4）有3个,

事件3发生包含的基本事件有：（1,2）,（1,4）,（2,4）,（3,2）,（3,4）,（4,2）有6个，

事件。发生包含的基本事件：（1,3）,（2,4）,（3,1）,（4,2）有4个，

事件。发生包含的基本事件：（1.2）.（1.4）.（2.1）,（2.3）,（3,2）.（3.4）.（4.1）.（4,3）有8个.

显然当出现（1,2）,（1,4）时事件A、8同时发生，故事件A与8不互斥，故A错误：

事件C与。不可能同时发生，即事件C与。互斥，乂事件。与。包含所有的结果，

所以C与。对立，故B正确；

又P⑻喙=；,P（C）44P（8C）=q=:，所以Q（8C）=P（8）P（C）,

12212312o

所以事件3与C相互独立，故C正确：

又户（。）=白4P（即）=1=：，p（B）=A=1,所以［（%>）=?⑻尸（。）,

所以事件B与D相互独立，故D正确.

故选：BCD.

【变式4（2023上•上海•高三上海市行知中学校考期中）存在两个事件A和8,且0<P（A）<1,0<P（B）<1,

若A与3是两个①事件，则P（AJ8）=P（4）+P（B）；若A与8是两个②事件，则尸（AcB）=尸（A）•尸（8）；

其中（）

A.（1）互斥（2）独立B.（1）互斥（2）对立

C.（1）独立（2）互斥D.（1）对立（2）互斥

【答案】A

【详解】由P(AD8)=P(A)+P(B)-P(A8),仅当P(A8)=0时P(Au8)=P(A)+P(8),

所以A与B是两个互斥事件，

由独立事件的判定知：P（AnB）=P（4）P（B）,即A与4是两个独立事件.

故选：A

【变式2］（2022上•广东佛山•高三统考期中）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生

育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政

策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记

事件A：该家庭既有男孩又有女孩；事件笈：该家庭最多有一个男孩；事件C：该家庭最多有一个女孩.则

下列说法正确的是（）

A.事件B与事件C互斥但不对立B.事件A与事件B互斥且对立

C.事件6与事件C相互独立D.事件A与事件8相互独立

【答案】D

【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为：

Q=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），

（女，女，女）｝，

事件A=｛（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男）｝

事件3=｛（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女,女）｝,

事件C=｛（男,男,男），（男,男,女），（男,女，男），（女,男,男）｝，

对于A,4cC=0,且8=C=Q,所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确；

对于B,AC18=｛（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男）｝,所以事件A与事件8不互斥，故B不正确;

对于C,事件“有4个样本点，事件C有4个样本点，事件AC有0个样本点，

4141

P（^）=-=-,P（C）=-=-,?（BC）=O,显然有P（B）P（C）wP（BC）,即事件69事件C不相互独立，故C

不正确：

对FD,事件A有6个样本点，事件8有4个样本点，事件A8有3个样本点，

P（A）=S=WP（8）=：=:，P（AB）=|,显然有P（A）.P（5）=PG45）,即事件A与事件3相互独立，故D正

o4o2o

确；

故选：D

【变式3］（多选）（2023上・广东•高二校联考阶段练习）抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用。表示黄

色微子朝上的点数，力表示白色怅子朝上的点数，用（。力）表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Q,

事件A="Ova+bvlO”,事件B="a