清华大学2026年强基计划数学模拟试题

清华大学2026年强基计划《数学》模拟试题适用：强基全国机考理科/文科通用数学卷

题型：不定项选择题

题量：30小题

分值：满分100分

规则：每小题给出四个选项，有一项或多项符合要求；全部选对得满分，少选得部分分，选错、多选不得分设集合A=x∣x2-3x+2≤0，B=x∣x2-(a+1)x+a≤0，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）

A.[1,2]B.(1,2)C.(-∞,2]D.[1,+∞)

答案：A

a=1时，B=1⊆A；a>1时，B=[1,a]⊆A⇒a≤2；a<1时，B=[a,1]，不满足包含于A。

综上a∈[1,2]。已知复数z满足|z-2i|=1，则|z+1|的最大值为（）

A.5+1B.5-1C.10+1D.10-1

答案：A

解析：

几何意义：z在复平面轨迹是以C(0,2)为圆心、半径r=1的圆；

|z+1|是圆上点到定点圆心到定点距离d=(-1-0)2+(0-2)2函数f(x)=sin⁡x+cos⁡xsin⁡x-cos⁡x的单调递增区间是（）

A.(kπ-π4,kπ+π4),k∈Z

B.(kπ+π4,kπ+3π4),k∈Z

C.(2kπ-π4,2kπ+π4),k∈Z

D.(2kπ+π4已知等差数列an公差d>0，a1=1，且a1,a3,a9成等比数列，则前n项和Sn=（）

A.n(n+1)2B.n2(1+2d)2=1⋅(1+8d)⇒d=1设a>0,b>0,a+b=1，则1a+4b的最小值为（）

A.5B.6C.7D.9

答案：D

解析：当b=2a取等。已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则下列说法正确的是（）

A.a⊥b

B.a∥b

C.|a+b|=10

D.a与b夹角为锐角

答案：AC

解析：

a⋅b=1×2+2×(-1)=0⇒a若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切，则m=（）

A.-3B.7C.-13D.17

答案：BC

解析：

圆标准化：(x-1)2+(y-2)2=1，圆心(1,2)，半径下列函数中，既是奇函数又在R上单调递增的是（）

A.y=x3B.y=sin⁡xC.y=2x-2-xD.y=x|x|

答案：ACD

解析：

A：奇函数、R递增；

B：奇函数但非单调递增；

C已知sin⁡α=35，α∈(π2,π)，则cos⁡2α=（）

A.-725B.725C.-2425从5名男生4名女生中选3人参加竞赛，至少有1名女生的选法有（）

A.74B.80C.84D.90

答案：A

解析：

间接法：总选法C93减全男生C5双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)离心率e=2，则渐近线方程为（）

A.y=±xB.y=±2xC.y=±12xD.y=±2x

答案：已知命题p:∃x∈R,x2+x+1<0；命题q:∀x∈(0,+∞),ln⁡x<x，则下列真命题是（）

A.p∨qB.p∧qC.¬p∨qD.¬p∧q

答案：ACD

解析：

x若2a=3b=6，则下列关系式正确的是（）

A.1a+1b=1B.a+b=abC.a>2,b<2D.a<2,b>2

答案：ABC

解析：

a=log三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，且PA=PB=PC=2，则外接球表面积为（）

A.12πB.8πC.6πD.4π

答案：A

解析：

两两垂直三棱锥可补成棱长为2的正方体，外接球相同；

正方体体对角线为外接球直径，求得半径R=3，

表面积4π函数f(x)=ln⁡(x2-2x)的单调递减区间是（）

A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(1,2)D.(2,+∞)

答案：A

解析：

定义域：x2-2x>0⇒x<0或x>2已知△ABC中，角A,B,C对边为a,b,c，满足bcos⁡C+ccos⁡B=a，则△ABC形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.任意三角形D.等腰三角形

答案：C

解析：

由射影定理：b二项式(x-1x)6展开式中常数项为（）

A.-20B.20C.-15D.15

答案：A

解析：

通项Tr+1=C6rx6-r若实数x,y满足约束条件

则z=x+2y的最大值为（）

A.2B.3C.4D.5

答案：C

解析：

可行域顶点(0,0),(2,0),(0,2)，代入(0,2)得zmax已知函数f(x)周期为2，且x∈[0,1]时f(x)=x2，则f(52)=（）

A.14B.12C.34D.1

答案关于函数y=tan⁡(2x-π3)，下列正确的是（）

A.最小正周期为π2

B.图象关于点(π6,0)对称

C.在(π4,π2)上单调递增

D.定义域为x≠kπ若正数x,y满足x+2y=xy，则x+y最小值为（）

A.3B.4C.5D.3+22

答案：D

解析：

同除xy：2x+1y=1，

设a=log3⁡0.5,b=log0.5⁡0.6,c=30.6，则大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

答案直线y=kx+1与椭圆x24+y22=1恒有公共点，则k取值范围是（）

A.RB.[-22,22]

C.(-∞,-22]∪[2已知随机变量X∼N(2,σ2)，且P(X<4)=0.8，则P(2<X<4)=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

答案：B

解析：

正态分布对称轴x=2，若函数f(x)=ex-ax在R上单调递增，则实数a取值范围是（）

A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,1]D.[1,+∞)

答案：已知△ABC外接圆半径R=1，A=π3，则BC=（）

A.1B.2C.3D.2

答案：C

解析：

正弦定理：BCsin下列命题中，正确的有（）

A.若p是q充分不必要条件，则¬p是¬q必要不充分条件

B.若p∧q为假，则p,q均为假

C.全称命题的否定是特称命题

D.若a>b，则ac2>bc2

答案：AC

解析：

A逆否等价正确；B抛物线y2=4x焦点为F，过F直线交抛物线于A,B两点，则|AF|⋅|BF|=（）

A.2B.4C.6D.定值与斜率无关

答案：BD

解析：

焦点F(1,0)，设直线联立抛物线，由抛物线定义与韦达定理，可得|AF|⋅|BF|=4已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1，则通项an=（）

A.2n-1B.2n-1C.2n+1D