2026年5月“山海杯”线上测试数学试卷

第第页2026年5月“山海杯”线上测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则()A. B. C. D.2.已知不共线的向量，满足，若与垂直，则()A. B. C. D.3.已知，则()A.1 B.2 C.3 D.44.已知一棱台的上底面是边长为1的正三角形，下底面面积为，高为2，则其体积为()A. B. C. D.5.若复平面内，，，对应的四点恰为正方形的四个顶点，则()A. B. C. D.6.设函数，的定义域为，的最大值为6，曲线的图像关于点中心对称，则的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.57.过抛物线上一点作两条直线,，且,与均仅有唯一公共点.若,分别与轴交于点,,且,则与之比为()A.1 B.2 C.3 D.48.甲、乙二人进行多轮速记比赛,每轮比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,每轮比赛的结果相互独立.若有人连续两轮获胜或比赛的轮数达到1025次,比赛结束.记比赛结束时的轮数为,则的数学期望最接近于()A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设函数,则()A.为奇函数B.是的一个单调区间C.有且仅有两个极值点D.10.记的外接圆半径为,已知,,则()A.若,则B.若,则C.若对任意,均有,则D.若存在,使得,则11.在三棱柱中,平面平面,,,棱与底面所成角为,记点在底面的投影为点,则()A.棱的最大值为B.点的轨迹是完整的椭圆C.三棱柱的体积大于D.点,,,所在球面的半径不超过三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设函数满足，记为导数，则______.13.若展开式的系数和等于展开式的二项式系数和，则_______.14.记双曲线的左右焦点分别为,，过的直线交的右支于点，交左支于点，，则取最小值时，_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)某商队运送一批货物的过程中，“一路顺风”的概率为，“有惊无险”的概率为，“一波三折”的概率为，若“一路顺风”则所有的货物均完好，若“有惊无险”则有的货物损坏，若“一波三折”则有的货物损坏.在某次商队运送完毕后进行抽样检测.（1）从货物中随机抽取一件，求该货物为损坏货物的概率;（2）从货物中有放回地抽取三件，求三次抽取的货物均完好的概率;（3）从货物中有放回地抽取三件，在三次抽取的货物均完好的条件下，求商队“一路顺风”的概率.16.(15分)记数列的前项和为，已知，.（1）证明：数列为等差数列;（2）对于任意的正整数，在与之间插入个，所得的新数列为，记数列的前项和为，求.17.(15分)如图，三棱锥，的体积相等，平面.(1)证明：平面;(2)若，，，六面体的体积为，二面角的大小为，求.18.(17分)设正三角形的三个顶点均在椭圆上，且的斜率为.(1)求的斜率与的斜率之积;(2)若为的上顶点，求;(3)记为坐标原点，若，求