2025年广东省惠州市高考数学模拟试题（4月） 含答案

/2025年广东省惠州市高考数学模拟试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|−3<x<1}，NA.{x|−1≤x<1} B.{x|2.已知复数z满足(1−i)z=2，则A.−1−i B.−1+i C.1−i3.已知单位向量a，b满足|a−b|=2，则A.π8 B.π4 C.π24.已知cos(α+β)=19A.19 B.29 C.−15.2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人.已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有(

)A.9种 B.12种 C.15种 D.18种6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，FA.平面EFC1⊥平面AA1C1C

B.MP7.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(xA.f(1−x)=f(x+1) B.f(2024)=38.已知α，β均为锐角，且a+β−A.sinα>sinβ B.cosα>cosβ C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=A.f(x)为偶函数 B.f(−4)<f(3)

C.f(10.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)反射后，集中于它的焦点.若抛物线C：y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点A(x1,y1A.C的准线方程为x=−1B.y1y2=−4

C.若点M(2,1)，则|AB|=112D.设直线11.设随机变量X的所有可能取值为1，2，…，n，且P(X=i)=piA.若n=1，则H(X)=0

B.若Pi=1n(i=1,2,…,n)，则H(x)随着n的增大而增大

C.若n=2，则H(X三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，BC=1，B=2A，则13.一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90,σ2)，且P(x<70)=0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X14.已知函数f(x)=xm+lognx四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2(n∈N∗).数列{bn}是公比为3的等比数列，且b1=a116.(本小题15分)

体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为13，每次是否投中相互独立．

(1)求甲同学通过测试的概率；

(2)若乙同学每次投中的概率为12，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望E17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax3−3x2+1−3a．

(I)讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ18.(本小题17分)

如图1，△ABC是等边三角形，△DAC为等腰直角三角形，DA=DC=2，将△DAC沿AC翻折到△PAC的位置，且点P不在平面ABC内(如图2)，点F在线段PB上(不含端点)．

(1)证明：AC⊥PB；

(2)若PB=2．

(i)当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小；

19.(本小题17分)

已知椭圆C：x24+y2b2=1(b>0)，A(0,b)，B(0,−b).椭圆C内部的一点T(t,12)(t>0)，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N.M、N是不同的两点．

(1)若椭圆C的离心率是32，求b的值；

(2)设△BTM的面积是S1，△ATN的面积是S2，若答案1.C

2.D

3.C

4.D

5.D

6.C

7.B

8.D

9.AD

10.ABD

11.ABD

12.2

13.2.1

14.e

15.解：(1)由Sn=n2(n∈N∗)，

可得a1=S1=1，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，

上式对n=1时也成立，

则an=2n−1，n∈N∗；

数列{bn}是公比为3的等比数列，且b1=a1=1，

可得bn=3n−1；

(2)cn=an⋅bn=(2n−1)⋅3n−1，

可得数列{cn}的前n项和Tn=1⋅X050100P7110故E(X)=0×754+50×12+100×1027=167527．

17.解：(Ⅰ)由题设知a≠0,f′(x)=3ax2−6x=3ax(x−2a)．

令f′(x)=0得x1=0,x2=2a．

当(i)a>0时，

若x∈(−∞,0)，则f′(x)>0，

所以f(x)在区间(−∞,0)上是增函数；

若x∈(0,2a)，则f′(x)<0，

所以f(x)在区间(0,2a)上是减函数；

若x∈(2a,+∞)，则f′(x)>0，

所以f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数；

(ii)当a<0时，

若x∈(−∞,2a)，则f′(x)<018.解：(1)证明：取AC中点为E，连接PE，BE，

因为PA=PC，AB=BC，所以PE⊥AC，BE⊥AC，

又因为PE∩BE=E，PE，BE⊂平面PBE，

所以AC⊥平面PBE，

又因为PB⊂平面PBE，

所以AC⊥PB；

(2)(i)取AC的中点E，因为△ABC为等边三角形，△DAC为等腰直角三角形，DA=DC=2，

所以EP⊥AC，EP⊥EB，且EP=1,EB=3，

由PB=2，则EP2+EB2=PB2，

故EP⊥EB，

如图建立空间直角坐标系，

得P(0,0,1)，B(0,3,0)，A(1,0,0)，C(−1,0,0)，F(0,32,12)，

则AC=(−2,0,0)，AF=(−1,32,12)，PB=(0,3,−1)，

设平面ACF的法向量n=(x,y,z)，

则n⋅AC=−2x=0n⋅AF=−x+32y+12z=0，

令z=3，则y=−1，x=0，

19.解：(1)因为椭圆C的离心率是32，

当0<b<2时，32=4−b22，得b=1；

当b>2时，32=b2−4b，得b=4；

所以b的值为1或4；