2026届高考数学一轮专题训练：2年高考1年模拟（五十九）抛物线 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练（五十九）抛物线1.若圆x2-4x+y2-2y=0的圆心在抛物线y2=2px上，则该抛物线的焦点坐标为()A.18，0 C.12，02.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=()A.1 B.2 C.22 D.43.(2023·北京高考)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5，则|MF|=()A.7 B.6 C.5 D.44.抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线x=2交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若PR⊥QR，则C的方程为()A.y2=4x B.y2=6xC.y2=8x D.y2=12x5.(2025·厦门模拟)已知抛物线E：x2=8y的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF靠近点P的三等分点，若|PF|=10，则Q点的纵坐标为()A.2 B.4 C.6 D.86.(2025·唐山模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=kx+p2(k>0)与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若sin∠MFO=22，则A.13 B.1C.22 D.7.(2025·昆明模拟)[多选]已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若FA=3FB，则()A.|BH|=53 B.|AFC.|AF|=3|BH| D.|AF|=4|BH|8.(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上动点，过P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与☉A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个9.[多选]设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点.若△ABF的面积为93，则()A.|BF|=3B.△ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y2=6x10.(2024·北京高考)抛物线y2=16x的焦点坐标为.

11.(2025·江西五市联考)若抛物线x2=8y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0=.

12.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2FM=MN，则|FN|=.

13.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.14.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)与焦点的距离为2.(1)求p和m；(2)若在抛物线C上存在点A，B，使得MA⊥MB，设AB的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为152，求点D15.如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.

（解析）精练（五十九）抛物线1.若圆x2-4x+y2-2y=0的圆心在抛物线y2=2px上，则该抛物线的焦点坐标为()A.18，0 C.12，0解析：选A圆x2-4x+y2-2y=0的圆心坐标为(2，1)，则12=2p×2，得p=14，所以该抛物线的焦点坐标为12.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=()A.1 B.2 C.22 D.4解析：选B抛物线的焦点坐标为p2，0，其到直线x-y+1=0的距离为d=p2−0+11+1=23.(2023·北京高考)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5，则|MF|=()A.7 B.6 C.5 D.4解析：选D因为抛物线C：y2=8x的焦点为F(2，0)，准线方程为x=-2，点M在C上，所以M到准线x=-2的距离为|MF|，又M到直线x=-3的距离为5，所以|MF|+1=5，故|MF|=4.故选D.4.抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线x=2交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若PR⊥QR，则C的方程为()A.y2=4x B.y2=6xC.y2=8x D.y2=12x解析：选C如图，由题可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，则准线方程为x=-p2，当x=2时，可得y=±2p，可得P(2，2p)，Q(2，-2p)，又R−p2，0，PR⊥QR，所以2p2+p2·所以C的方程为y2=8x.5.(2025·厦门模拟)已知抛物线E：x2=8y的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF靠近点P的三等分点，若|PF|=10，则Q点的纵坐标为()A.2 B.4 C.6 D.8解析：选C过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为P1，Q1，如图所示，设准线y=-2与y轴的交点为F1，因为Q为PF靠近点P的三等分点，可得1|−4PP1|−4=1|−4|PF|−46.(2025·唐山模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=kx+p2(k>0)与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若sin∠MFO=22，则A.13 B.1C.22 D.解析：选C如图，抛物线C的准线n：x=-p2，直线n与x轴交于点A−p2，0，过点M作准线n的垂线，垂足为Q，由抛物线的性质可得|MF|=|MQ|，所以|MQ||MA|=|MF||MA|=sin∠MAFsin∠MFA=sin∠MAF22，又|MQ||7.(2025·昆明模拟)[多选]已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若FA=3FB，则()A.|BH|=53 B.|AFC.|AF|=3|BH| D.|AF|=4|BH|解析：选BC抛物线C：y2=4x的焦点F(1，0)，准线l为x=-1，如图，设准线l与x轴交于点M，∵FA=3FB，由△ABH与△AFM相似得|BH||MF|=|AB||AF|=23，∵|MF|=2，∴|BH|=23×2=43，即|BH|=43，故A错误；由抛物线定义得|BF|=|BH|，8.(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上动点，过P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与☉A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个解析：选ABD由题意抛物线y2=4x的准线为x=-1，☉A的圆心(0，4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和☉A相切，A正确；P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP=4，由yP2=4xP，得xP=4，故P(4，4)，此时切线长|PQ|=|PA|2−r2=42−12=15，B正确；当|PB|=2时，xP=1，此时yP2=4xP=4，故P(1，2)或P(1，-2)，当点P的坐标为(1，2)时，A(0，4)，B(-1，2)，kPA=4−20−1=-2，kAB=4−20−(−1)=2，不满足kPAkAB=-1，当点P的坐标为(1，-2)时，A(0，4)，B(-1，-2)，kPA=D选项，法一因为抛物线的焦点F(1，0)，|PB|=|PF|，所以|PA|=|PB|等价于点P在线段AF的中垂线上，易得该中垂线的方程为y=14x+158，与抛物线方程联立得y=14x+15Δ=(-196)2-4×4×225>0，所以满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个，D正确.法二：设点直接求解设Pt24，t，由PB⊥l可得B(-1，t)，又A(0，4)，|PA|=|PB|，根据两点间的距离公式，t416+(t−4)2=t24+1，整理得9.[多选]设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点.若△ABF的面积为93，则()A.|BF|=3B.△ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y2=6x解析：选BCD如图，因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|=|FB|，又|BF|=|FD|=|FA|，所以∠ABD=90°，|FA|=|AB|，可得△ABF为等边三角形，B正确；过F作FG⊥AB交于G，则G为AB的中点，G的横坐标为p2，B的横坐标为-p2，所以A的横坐标为3p2，代入抛物线可得yA2=3p2，|yA|=3p，△ABF的面积为93，即12(xA-xB)|yA|=12·3p2+p2·3p=93，解得p=3，所以抛物线的方程为y2=6x，D正确；焦点F的坐标为32，0，所以焦点F到准线的距离为310.(2024·北京高考)抛物线y2=16x的焦点坐标为.

解析：由题意，知p=8，则p2=4，所以抛物线y2=16x答案：(4，0)11.(2025·江西五市联考)若抛物线x2=8y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0=.

解析：已知拋物线的方程为x2=8y，可得p=4.所以焦点为F(0，2)，准线为l：y=-2.抛物线上一点A(x0，y0)到焦点F的距离等于到准线l的距离，即|AF|=y0+2，又因为A到x轴的距离为y0，由题意得y0+2=2y0，解得y0=2.答案：212.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2FM=MN，则|FN|=.

解析：因为F是抛物线C：y=2x2的焦点，所以F0，18，抛物线C的准线方程为y=-18，如图，过点M作抛物线的准线的垂线，交x轴于点A，交抛物线C的准线于点B，则MA∥OF，所以|MA||OF|=|MN||FN|.因为2FM=MN，所以|MA|=23×18=112，|答案：513.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.解：(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx，其中c=a2−b2.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为b2a，-b2a；C，D的纵坐标分别为2c，-2c，故|AB|=2b2a，|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a(2)由(1)知a=2c，b=3c，故C1：x24c2+y23c2=1.设M(x0，y0)，则x024c2+y023c2=1，y02=4cx0，故x024c2+4x03c=1①.由于C2的准线为x=-c，所以|MF|=x0+c，而|MF|=5，故x0=5-c，代入①14.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)与焦点的距离为2.(1)求p和m；(2)若在抛物线C上存在点A，B，使得MA⊥MB，设AB的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为152，求点D解：(1)设抛物线C的焦点为F，根据题意可知|MF|=1+p2=2，解得p=2.故抛物线C：y2=4x因为M在抛物线C上，所以m2=4.又因为m>0，所以m=2.(2)设Ay124，y1，By224，y2，D(x0，y易知k1，k2一定存在，则k1=y1−2y124由MA⊥MB，得k1k2=-1，即y1−2y124−1·y即y1y2=-2(y1+y2)-20.因为D到抛物线C的准线的距离d1=x0+1=152，所以x0=132，即y124+y(y1+y2)2=52+2y1y2=52+2[-2(y1+y2)-20]，即(y1+y2)2+4(y1+y2)-12=0，解得y1+y2=-6或y1+y2=2，则y0=y1+y2215.如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，求证：