2023年广东省惠州实重点中学高考数学适应性试题（5月） 含答案

/2023年广东省惠州实重点中学高考数学适应性试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,3,6}，B={2,3,4}，则AA.{3} B.{1,6} C.{5,6} D.{1,3}2.已知z−=iz，z+zA.1+i B.1−i C.2+i3.若tan(α−π12A.−39 B.−354.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是(

)A.0.75 B.0.8 C.0.76 D.0.955.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，PA.π2 B.π3 C.π46.已知非零向量a，b满足(a+2b)⊥(a−2b)，且向量b在向量a方向的投影向量是A.π6 B.π3 C.π27.已知log2a=A.a>b>l B.b>a8.米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为2和4.侧棱长为25.则其外接球的表面积为(

)A.42π B.410π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.对于函数f(x)=A.f(x)是奇函数 B.f(x)在区间(−1,1)上单调递减

C.在x=−1处取得极大值10.函数f(x)=A.函数f(x)的最小正周期T为π

B.函数f(x)的初相为π4

C.函数f(x)的最小值为−211.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点EA.抛物线的方程是x2=2y B.抛物线的准线是y=−1

C.sin∠QMN的最小值是112.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x−1)=f(xA.函数f(x)的图象关于x=1对称

B.f(20232)=−12

C.当实数k>−1时，函数g(x)在区间三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式3x+lg14.若数据0，1，2，3，4，5，7，8，9，10的第60百分位数为n，求(1x−215.有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200有这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项和为______．16.已知圆C1：(x−2)2+(y−3)2=1，圆C2：(x--3)2+(y四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

在①Sn=n2+2n；②a3=7，a2+a6=18；③a1=3，S5=35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．

问题：已知等差数列{an}，Sn为其前n项和，若_____．18.(本小题12.0分)

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB−2acosC=(2c−b)cosA．

(1)若c=3a，求cosB的值；

(2)若19.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=3，AD=23，E为BC上一点，F为DE的中点，且三棱锥P−CDE与四棱锥P−ABED的体积比为1：3．

(1)证明：DE⊥平面PAF；20.(本小题12.0分)

某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：一等品二等品合计设备改造前12080200设备改造后15050200合计270130400附：K2=P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(1)判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；

(2)按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，求X的分布列及均值E(X)；

(3)根据市场调查，企业每生产一件一等品可获利100元，每生产一件二等品可获利60元，在设备改造后，用先前所取的200个样本的频率估计总体的概率，记生产1000件产品企业所获得的总利润为W，求W的均值21.(本小题12.0分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点到渐近线的距离为32，虚轴长为23，过双曲线C的右焦点F作直线MN(不与x轴重合)与双曲线C相交于M，N两点，过点M作直线l：x=t(−a<t<22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ax，其中0<a<1．

(1)求函数g(x)=f(答案和解析1.【正确答案】B

【分析】本题考查了集合交集与补集的运算，解题的关键是掌握交集和补集的定义，属于基础题．

先利用补集的定义求出∁U解：因为全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,3,6}，B={2,3,4}，

所以∁UB={1,5,6}，

故A

2.【正确答案】B

解：设z=a+bi(a,b∈R)，故z−=a−bi，

因为z−=iz，得a−3.【正确答案】C

解：由tan(α−π12)=sin13π3=sinπ3=324.【正确答案】C

解：设买到的产品是甲厂产品为事件A，买到的产品是乙厂产品为事件B，

则P(A)=0.8，P(B)=0.2，

记事件C：从该地市场上买到一个合格产品，

则P(C|A)=0.75，P(C|B)=0.8，

5.【正确答案】D

【分析】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力．

由AD1//BC1，得∠PBC1是直线PB与A解：∵AD1//BC1，

∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，

设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，

则PB1=P

6.【正确答案】B

解：∵(a+2b)⊥(a−2b)，

∴(a+2b)⋅(a−2b)=a2−4b2=0，即|a|=2|b|，

向量b在向量a方向的投影向量是14a，

则向量b在向量7.【正确答案】D

解：根据条件，log2a>0，∴a>1，0．5a<0.5,log2a<12=log22，

∴1<a<2<2，0.5a>0.58.【正确答案】D

解：由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为O1，下底面中心为O2，

由棱台的性质可知，外接球的球心O落在线段O1O2上，

由题意该四棱台上下底面边长分别为4和2，侧棱长为25，

则O1A=22，O2B=2，AB=25，

所以O1O2=AB2−(O1A−O2B)2=32，

设外接球的半径为R，|9.【正确答案】AB

解：因为对∀x∈R，f(−x)=−x3+3x=−f(x)，

根据奇函数定义可知函数f(x)是R上的奇函数，即A正确；

因为f(x)=x3−3x，则f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)，

令f′(x)>0可得x<−1或x>1，令f′(x)<0可得−1<x<1，

所以函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(1,+∞)，函数f(x)的单调递减区间为(−1,1)，故B正确；

由f′(x)=3x10.【正确答案】ACD

解：因为f(x)经过点(5π8,0)，所以f(5π8)=2sin(5ωπ8+φ)=0，

又5π8在f(x)的单调递减区间内，所以5ωπ8+φ=π+2kπ(k∈Z)①；

又因为f(x)经过点(5π4,1)，所以f(5π4)=2sin(5ωπ4+φ)=1，

sin(5ωπ4+φ)=22，又x=5π4是f11.【正确答案】BCD

解：∵抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F(0,p2)，

∴抛物线的准线方程为y=−p2，

∵抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3，

∴2+p2=3，解得p=2，

则抛物线C的方程为x2=4y，故A错误，

抛物线的准线方程为y=−1，故B正确，

由题意可知，直线l的斜率存在，F(0,1)，即可设直线l的方程为y=kx+1，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=kx+1x2=4y，化简整理可得，x2−4kx−4=0，

由韦达定理可得，x1+x2=4k，x1x2=−4，

y1+y2=k(x1+x12.【正确答案】ACD

解：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1−x)=f(x−1)=f(x+1)，

所以函数f(x)的图象关于x=1对称，可知A正确；

由f(x−1)=f(x+1)，可得f(x)=f(x+2)，知函数f(x)的周期T=2，

由周期和奇偶性得f(20232)=f(2×505+32)=f(32)=f(−12)=f(12)=12，故B不正确；

当x∈[1,2]时，则x−2∈[−1,0]，−(x−2)∈[0,1]，所以f[−(x−2)]=2−x，

由函数为偶函数且周期为2可得f(x)=f[−(x−2)]=2−x，所以g(x)=f(x)−kx−k=−(k+1)x+2−k，13.【正确答案】(0,1]

解：根据题意，设f(x)=3x+lgx，其定义域为(0,+∞)，

函数y=3x和y=lgx在(0,+∞)上都是增函数，则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，

又由f(1)=3+0=3，

而3x+lgx≤3⇔f(x)≤f(1)14.【正确答案】−160

解：因为10×60%=6，所以n=5+72=6，

则二项式(1x−2x)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r(1x)6−r(−2x)r=C6r⋅(−2)rx15.【正确答案】1472

【分析】

本题考查等差数列的前n项和的求法．

由等差数列2，6，10，…190的公差为4，等差数列2，8，14，…，200的公差为6，得到由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差为12，由此能求出这个新数列，进而能求出这个新数列的各项和．

解：等差数列2，6，10，…190中，公差d1=4，

等差数列2，8，14，…，200中，公差d2=6，

∵4，6的最小公倍数是12，

∴由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差d=12，

∵新数列最大项≤190，

∴2+(n−1)×12≤190，

解得n≤503，∴n=16

∵新数列中第16项a16=2+(16−1)×12=182

由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：

2，14，16.【正确答案】4+解：已知圆C1：(x−2)2+(y−3)2=1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9，

则圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径为3，

则点C1(2,3)，点C2(3,4)在x轴的同侧，

17.【正确答案】(Ⅰ)解：方案一：选择条件①

由题意，当n=1时，a1=S1=12+2×1=3，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1，

∵当n=1时，a1=3也满足上式，

∴an=2n+1，n∈N∗．

方案二：选择条件②

由题意，设等差数列{an}的公差为d，

则a3=a1+2d=7，

a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1(Ⅰ)在选择条件①的情况下，根据题干已知条件并结合公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2进行运算即可得到等差数列{an}的通项公式；在选择条件②的情况下，由题意，设等差数列{an}的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式；在选择条件③的情况下，由题意，设等差数列{an18.【正确答案】解：(1)∵acosB−2acosC=(2c−b)cosA，

∴在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB−2sinAcosC=(2sinC−sinB)cosA，

∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sin(A+B)=2sin(A+C)，

∴sinC=2(1)由正弦定理得出c=2b，再由余弦定理，即可得出答案；

(2)设∠BAD=θ，把△ABC19.【正确答案】解：(1)证明：连接AE，PF，BD，如图①所示．

因为三棱锥P−CDE与四棱锥P−ABED的体积比为1：3，

所以S△CDE：SABED=1：3，即S△CDE=14SABCD=12S△BCD．

所以E为BC的中点，

则BE=12AD=3，AE=AB2+BE2=23，

故AE=AD，

又F为DE的中点，

所以AF⊥DE．

因为PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，

所以PA⊥DE，

又PA∩AF=A，PA、AF⊂平面PAF，

所以DE⊥平面PAF．

(2)因为PA⊥面ABCD，且AB，AD在矩形底面ABCD内，易知：PA，AB，AD两两垂直，

以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图②所示的空间直角坐标系(1)连接AE，PF，BD，由体积比可得S△CDE=12S△BCD，即E为BC的中点，进而可得AF⊥DE，再由线面垂直的性质、判定证结论；

(2)先证PA，AB，AD两两垂直，构建空间直角坐标系，由题设易知∠PEA为PE与平面ABCD所成角，求得20.【正确答案】解：(1)根据题意，假设为H0：质量指标值与设备改造无关．

K2=400(150×80−120×50)2270×130×200×200=40039>10>6.635，∴H0不成立，

故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；

(2)根据题意，现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，

则X可取的值为：1，2，3，X123P331E(X)=1×310+