2026届高考数学一轮专题训练：空间向量与立体几何 含答案

/2026届高考数学一轮复习专题特训空间向量与立体几何一、选择题1．已知向量，，若，则()A.-5 B.5 C.4 D.-12．如图，在三棱锥中，，，，，E是线段的中点，则()A. B. C. D.3．已知是空间的一组单位正交基，是空间的另一组基.若向量在下的坐标为，则向量在下的坐标为()A. B. C. D.4．已知空间向量，，，若，则()A.2 B.-2 C.14 D.-145．已知向量,,是一组单位向量,且两两垂直.若,,则的值为().A.7 B. C.28 D.116．若,,,则的值为()A. B.0 C.1 D.27．已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是()A. B. C. D.8．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为()A. B. C. D.与t有关二、多项选择题9．在正方体中，下列各式运算的结果为的有()A. B.C. D.10．在平行六面体中，下列各式中运算的结果为向量的是()A． B．C． D．11．已知平面过点，其法向量为，则下列点在平面内的有()A. B. C. D.三、填空题12．空间向量的概念：在空间中，具有__________和__________的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的__________.13．已知向量，，若，则___________.14．已知,,且,则_________15．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为___________.四、解答题16．如果平面与平面平行，n是平面的一个法向量，那么n是平面的一个法向量吗？17．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．18．如图,四面体OABC的所有棱长都是1,D,E分别是边OA,BC的中点,连接DE.（1）计算DE的长;（2）求点O到平面ABC的距离.19．已知空间中三点,,,设,.（1）若,且,求向量;（2）已知向量与互相垂直,求k的值;20．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，E，F分别为棱AB，BC的中点.(1)证明：平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值.

答案1．答案：B解析：由，故，即有，解得.故选：B.2．答案：D解析：因为E是线段的中点，，所以，故选：D3．答案：B解析：由题意有，设，则则有，得，在基下的坐标为.故选：B4．答案：C解析：因为空间向量，，，如果，则，所以，解得，所以，故选：C.5．答案：C解析：向量,,是一组单位向量,且两两垂直,所以且.因为,,所以.故选:C.6．答案：C解析：因为,,,所以.故选:C7．答案：C解析：因为空间向量,,则,所以向量在向量上的投影向量为.故选:C.8．答案：A解析：因为向量在面上的投影向量为，则.因为在向量上的投影向量为，则.所以.所以向量，的夹角为.故选：A.9．答案：BCD解析：A.；B.；C.；D..故选BCD.10．答案：ABC解析:解:如图所示：A中，；B中，；C中，，D中，．故选:ABC．11．答案：ABD解析：设平面内的点，结合法向量的定义可得，即，A若，，则，故点为，故A正确；B若，，则，故点为，故B正确；C若，，则，故点为，故C错误；D若，，则，故点为，故D正确；故选：ABD.12．答案：大小；方向；空间向量的长度或模解析：13．答案：解析：由题意可得，则，解得.故答案为.14．答案：或解析：因,,,所以,解得:.故答案为:.15．答案：解析：，点P到平面的距离为.故答案为.16．答案：是解析：由题意，n是平面的一个法向量，所以，而，所以，于是n是平面的一个法向量.17．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)作的中点G，连接EG，AG，如下图所示，∵E，G分别为，的中点，则，，且，，则，，∴四边形ADEG是平行四边形，则，∵F，G分别为的中点，则，，∴四边形是平行四边形，则，故，且平面，平面，∴平面．(2)以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，则，，，设平面的一个法向量，则，令，则，故平面的一个法向量，设直线与平面所成角的大小为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.18．答案：（1）;（2）.解析：（1）因为四面体OABC的所有棱长都是1,所以该四面体为正四面体,,而且,所以,即,所以DE的长为.（2）因为四面体OABC为正四面体,所以点O在平面ABC的射影为的中心,的外接圆半径为,所以点O到平面ABC的距离为.19．答案：（1）或;（2）5.解析：空间中三点,,,所以,,,（1）,且,设,,,,或;（2）,,且向量与互相垂直,,解得,k的值是5.20．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)因为平面ABC，平面ABC，所以.因为E，F分别为棱AB，BC的中点所以，因为，所以，又，所以平面，则.设，易得，则，所以，又，所以平面