2026届高考数学一轮专题训练：圆锥曲线的方程 含答案

/2026届高考数学一轮复习专题特训圆锥曲线的方程一、选择题1．抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为4，则抛物线方程为()A. B. C. D.2．已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为()A. B.2 C. D.33．设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是()A.椭圆 B.线段 C.射线 D.椭圆或线段4．已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线上任意一点，当取最小值时，点A的坐标为()A. B. C. D.5．设F为双曲线的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为()A. B.2 C. D.46．已知F为抛物线的焦点，过F的直线交C于A，B两点，若弦的中点的横坐标为4，则()A.8 B.10 C.12 D.167．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且.则的面积为()A.6 B. C.8 D.8．设O为坐标原点，直线与双曲线，的两条渐近线分别交于D，E两点，若的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4 B.8 C.16 D.32二、多项选择题9．已知椭圆的焦距是,则m的值可能是()A. B.13 C. D.1910．对抛物线,下列描述正确的是()A.开口向左,焦点为 B.开口向左,准线方程为C.开口向下,准线方程为 D.开口向下,焦点为11．已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则的值()A. B. C. D.三、填空题12．抛物线的定义：设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为__________，其中定点F称为抛物线的__________，定直线l称为抛物线的__________.13．设椭圆与双曲线的离心率分别为,,双曲线的渐近线的斜率小于,则的取值范围为______,的取值范围为______.14．设椭圆的左右焦点为，，椭圆上点P满足，则的面积为_______.15．已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是__________.四、解答题16．已知直线,椭圆.试问当m取何值时,直线l与椭圆C.(1)有两个不重合的公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？17．已知椭圆的左顶点为A，焦距为，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为的外心.(i)若为等边三角形，求点P的坐标；(ii)若点P在直线上，求点A到直线l的距离的取值范围.18．已知双曲线的右焦点为F，点在C上，且轴.(1)求C的方程；(2)过F且斜率大于0的直线l与C的右支交于P，Q两点，若，求l的一般方程.19．已知双曲线的虚轴长为2,且离心率为.（1）求C的方程和焦点坐标;（2）设C的右焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,若中点的横坐标为3,求.20．已知曲线C上任意一点M满足,且,.(1)求C的方程.(2)设,,若过的直线与C交于P,Q两点,且直线AP与BQ交于点R.证明：点R在定直线上.

答案1．答案：C解析：由题意，设抛物线方程为，准线方程为，由抛物线的定义知，，解得，故抛物线的方程为.故选：C.2．答案：C解析：抛物线C的方程为，，可得，设，由抛物线的定义得，所以，故选：C.3．答案：D解析：因为，所以，当且仅当时等号成立，当时，，而，此时点P的轨迹是线段；当时，，此时点P的轨迹是以、为焦点的椭圆．综上所述，点P的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段.故选：D.4．答案：D解析：抛物线的焦点为，准线为，设点A在准线上的射影为D，如图，则根据抛物线的定义可知，求的最小值，即求的最小值，显然当B，A，D三点共线时取得最小值，此时A点的横坐标为1，则，解得，即.故选：D.5．答案：C解析：双曲线的渐近线方程为，即.，分别为C的两条渐近线的倾斜角，.又，，，.又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为，，，，双曲线C的焦距为.故选：C6．答案：C解析：设，则，所以，由抛物线的焦点弦公式可得.故选：C.7．答案：B解析：由椭圆的方程可得，所以，得，且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因为，，所以，所以，故选：B8．答案：B解析：由题意，双曲线C的焦距，联立解得：，所以，，由题意，，所以，由①可得，当且仅当时取等号，所以焦距的最小值为8.9．答案：BD解析：由题知或,解得或.故选：BD.10．答案：CD解析：抛物线的标准方程为,则,可得,所以,该抛物线的焦点坐标为,准线方程为,其开口向下,故选：CD.11．答案：B解析：设的内切圆半径为r，由双曲线的定义得，，，，，因为，即，可得.故选：B12．答案：抛物线；焦点；准线解析：13．答案：;解析：设椭圆和双曲线的焦距分别为,,由题意,得双曲线的渐近线方程为,所以,则,所以,.故答案为:;14．答案：12解析：由椭圆定义可得，则有，即，，又，由，故，故.故12.15．答案：解析：由题意，，，记右焦点为，中点为Q，因为O是的中点，所以，，又，所以，故，即直线的斜率为.16．答案：(1)(2)(3)解析：(1)联立消去y得,,,若直线l与椭圆C有两个不重合的公共点,则,解得,即直线l与椭圆C有两个不重合的公共点时,m的取值范围为.(2)若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,则,解得,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点时,的值为.(3)若直线l与椭圆C没有公共点,则,解得,即直线l与椭圆C没有公共点时,m的取值范围为.17．答案：(1)(2)(i)(ii)解析：(1)因为椭圆的焦距为，又因为离心率为，所以，由得，所以椭圆C的方程为；(2)(i)因为为等边三角形，所以，由对称性可知M，N关于x轴对称，可设直线l的方程为：，当时，，所以点，点，，因为，所以，化简整理有：，解得或-2（舍去），又因为点P为的外心，即为的重心，设，则有，所以；(ii)当直线l的斜率为0时，线段的中垂线为y轴，不满足题意.设直线l的方程为：，则有：，所以，设，则有：，设E、F为线段，的中点，则，，可得线段的中垂线方程为，即①，同理可得线段的中垂线方程为②，联立①②解得，由，可得，即，代入不等式，解得且，则，所以点A到直线l的距离为，设函数，，则在为减函数，在为增函数，可得，进而得.综上，点A到直线l的距离的取值范围为.18．答案：(1)(2)解析：(1)因为点在C上，所以，又F为C的右焦点，轴，则，故，所以，因此C的方程为.(2)设直线l的方程为，，因为斜率大于0的直线l与C的右支交于两点，所以，即，故，联立方程，消去得，则，，，所以，解得，即，故直线l的方程为.19．答案：（1）方程为,左、右焦点坐标分别为,（2）解析：（1）因为C的离心率为,又C的虚轴长为2,所以,又,联立解得,,所以C的方程为,左、右焦点坐标分别为,.（2）由（1）知,根据题意易得过F的直线斜率存在,设的直线方程为,,,如下图所示:联立,化简得,所以,,因为中点横坐标为3,所以,解得,所以,则,则.20．答案：(1)(2)证明见解析解析：(1)由于,符合双曲线中一支的定义,于是,,即,,故.又因为,且焦点在x轴上,所以曲线C的方程为.(2)证明：若过的直线与C交于P,Q两点,则该直线的斜