2026届高考数学一轮专题训练空间向量与立体几何（真题演练） 含答案

/2026届高考数学一轮复习备考专题训练：空间向量与立体几何（真题试卷演练）一、选择题1．（2024高三下·湖南模拟）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题正确的是()A．若，，，则B．若，，，，则C．若，，，则D．若，，，则2．（2025·攀枝花模拟）在正方体中，、分别棱，的中点，则下列选项正确的是（）A． B．C．面 D．面3．（2022·毕节模拟）在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点P是底面ABCD内一动点，且，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（）A． B． C． D．4．（2025·汕头模拟）设平面与长方体的六个面的夹角分别为，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．65．（2025·朝阳模拟）金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（）A． B． C． D．6．（2025·丰台模拟）如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论：①存在唯一的点，使得，，，四点共面；②的最小值为；③存在点，使得；④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为.其中所有正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024高三上·宝山模拟）如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（）A． B． C． D．8．（2024高三上·虹口模拟）已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（）．A． B． C．． D．二、多项选择题9．（2025·揭阳模拟）三棱锥中，平面平面，，，其各顶点均在球O的表面上，则（）A．B．点A到平面的距离为C．二面角的余弦值为D．球O的表面积为10．（2025·浙江模拟）正方体的棱长为，点、分别在线段、上运动（包括端点），则下列结论正确的是（）A．正方体被经过、两点的平面所截，其截面的形状有可能是六边形B．不可能与、都垂直C．有可能与正方体的六个表面所成的角都相等D．线段的中点所围成的区域的面积为11．（2025·仁寿模拟）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为，下列结论正确的有（）A．平面B．该石凳的体积为C．，，，四点共面D．点到平面的距离为三、填空题12．（2025·青神模拟）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则．13．（2025·成华模拟）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为.14．（2023·绵阳模拟）如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平交于点Q．则线段的长为．四、解答题15．（2025·湖南模拟）如图，在三棱锥中，，，点，分别是，的中点.底面.（1）求证：平面；（2）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？16．（2025·安化模拟）如图，四棱锥中，底面，，，，平面PAD与平面PBC的交线为l，且．（1）证明；（2）若，求平面ABE与平面PCB夹角的余弦值．17．（2025·梅河口模拟）如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点．（1）证明：平面；（2）设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值．18．（2025·金川模拟）如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且．（1）证明：与相交且交点在直线上．（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．19．（2025·会宁模拟）已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，，二面角的大小为．（1）若为的中点．①求点到平面的距离；②若，求平面与平面夹角的余弦值．（2）若，点为线段的中点，将沿折起，使得与四边形在平面的同侧，且平面平面，点为四面体的内切球球面上的一动点，求的最小值．

答案解析部分1．【正确答案】D2．【正确答案】B3．【正确答案】A4．【正确答案】A5．【正确答案】C6．【正确答案】B7．【正确答案】A8．【正确答案】A9．【正确答案】A,B,D10．【正确答案】A,C,D11．【正确答案】A,C12．【正确答案】​​​​​​​13．【正确答案】14．【正确答案】15．【正确答案】（1）证明：连接，平面，，，，，，以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系（如图），设，

则，，.设，则，为的中点，

，

又因为，，

，

则，又因为平面，平面，平面.（2）解：设的重心为，

则，，平面，

因为平面，

，又因为，

，，

，则，经检验，当时，在平面内的射影为的重心，所以.16．【正确答案】（1）证明：已知平面PAD与平面PBC的交线为l，且．平面，平面，

∴平面，

∵平面平面，平面，

∴．

又，，，

由余弦定理得，

∵，

∴，

∴，

又平面，平面，

∴，

∵，平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

即.（2）解：由题意，以A点为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系

．

，，，

平面PCB中，，，

设为面PCB的一个法向量，

则，令，则，

∴，

平面ABE中，，

，，

设为面ABE的一个法向量，

则，解得，令，则，

∴

设面PCB与面ABE所成角为θ，

则，

所以面PCB与面ABE所成夹角的余弦值为.17．【正确答案】（1）证明：在平面ABC内过点作直线，因为平面，平面，所以，，

以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，

因为为的中点，所以，，，，

因为，所以，

又因为平面，平面，，所以平面；（2）解：设，即，则，，，设平面的一个法向量，则，

令，求得，即，设直线与平面所成角为，则，令，当时，取最小值，即，即当时，取得最大值，.18．【正确答案】（1）证明：连接，如图所示：

因为，所以，又因为分别是棱上异于端点的点，所以，则四边形为梯形，与相交，记，因为平面平面，

平面平面，所以，则与的交点在直线上；（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，则，，，，设为平面的法向量，由，可得，令，得，即，设直线与平面所成的角为，，解得，

则当直线与平面所成角的正弦值为时，．19．【正确答案】（1）解：①、设的中点分别为，连接，在平面内，过点作，垂足为，如图所示：因为四边形为矩形，所以，又因为，且分别为的中点，所以，所以，因为，平面，平面，所以，因为，且，平面，所以平面，因为，所以．因为，所以，则点到平面的距离为；②过点作平面，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由①知，，由，可得，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，令，解得，则为平面的一个法