2026年高考数学一轮专题训练：集合 含答案

/集合一．选择题（共8小题）1．（2025•泰安模拟）若全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{1，5}，则（∁UA）∩B＝（）A．{5} B．{2，5} C．{0，5} D．{2，3，4}2．（2025•东城区一模）已知集合A={(x，y)|y=x2−1}，B＝{（x，y）|y＝aA．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．[0，1] D．[0，1）∪（1，+∞）3．（2025春•济宁校级月考）已知集合A＝{﹣2，1，3，4}，B＝{x||x﹣2|＜m，x∈R}，若A∩∁RB＝∅，则实数m取值范围为（）A．m＞4 B．m≥4 C．m≤2 D．m＞24．（2025春•漳州月考）已知集合A＝{x|2x﹣1＜0}，B＝{x|ex＜2}，则（）A．A∪B={x|x＜12} B．AC．A∪（∁RB）＝R D．B∪（∁RA）＝R5．（2025•安徽模拟）若集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣20）＜0}，B＝{x|x为质数}，则A∩B中元素的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．76．（2025•赣州模拟）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈A，i＝1，2，3，4，5}，那么集合B中满足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的元素的个数为（）A．60 B．100 C．120 D．1307．（2025•沙坪坝区校级模拟）已知集合A∪B∪C＝{b1，b2，b3，b4，b5}，且B∩C＝{b1，b2，b3}，则集合A，B，C所有可能的情况种数为（）A．216 B．200 C．27 D．258．（2024秋•昌平区期末）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤4，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数是（）A．49 B．62 C．109 D．77二．多选题（共4小题）9．（2025•郫都区校级模拟）对于集合S，若存在集合S的两两不同的子集A1，A2，…，Ak，k≥1满足A1⊆A2⊆…⊆Ak，则称其为集合S的一条“链”，称k为这条“链”的长度．当集合S的元素个数|S|＝n时，下列说法正确的是（）A．集合S的最长“链”的长度为n+1 B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中 C．当|S|＝4时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合 D．集合S的最长“链”的总数为n!10．（2024秋•宜春校级期中）设M，N，P为非空实数集，定义MN＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}，则（）A．M{1}＝M B．M{0}＝{1} C．MN＝NM D．（MN）P＝M（NP）11．（2024秋•广安区校级期中）给定实数集A，定义集合M＝{m∈R|任意a∈A，都有m≥a}，若M是非空集合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作supA．以下说法正确的是（）A．若数集A中有2024个元素，则数集A一定有上确界 B．若数集A中没有最大值，则数集A中一定没有上确界 C．若数集A，B有上确界，则数集{a+b|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supA+supB D．若数集A，B有上确界，则数集{ab|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supAsupB12．（2024秋•沙坪坝区校级期中）已知集合A＝{a1，a2，a3，…，an，…}，B＝{b1，b2，b3，…，bn，…}，其中a1＜a2＜a3＜…＜an＜…，b1＜b2＜b3＜…＜bn＜…，且满足：A∪B＝N+，A∩B＝∅，若对于B中的元素k，在A中至少存在两个不同元素ai1，ai2，…，aim(m≥2)，使得k=aA．若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质P（4） B．若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质P（3） C．若a1＝1，b1≥3，则集合A具有性质P（b1） D．若a1＝1，b1≥4且b2为奇数，则集合A具有性质P（b1）和P（b2），但不具有性质P（b2﹣b1）三．填空题（共4小题）13．（2025春•修文县校级期中）设集合M＝{α|α＝（a1，a2，a3，a4），ai∈{0，1}，i＝1，2，3，4}，对α＝（a1，a2，a3，a4）∈M和β＝（b1，b2，b3，b4）∈M，定义：α⊗β=i=14aibi．已知集合N是M的子集，对任意α∈N，β∈N满足：当ai＝bi，∀14．（2025•虹口区二模）记|A|为有限集合A中的元素个数．设ω＞0，Sω＝{θ|22025+ω•θ能被7整除}，若对于任意实数a和任意正整数n，恒有|Sω∩（a，a+ne﹣0.5n）|≤3，则实数ω的取值范围是．15．（2025•江苏模拟）已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…n}（n≥2，n∈N+）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k﹣a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n），求f（9）﹣f（8）的值为．16．（2024秋•江宁区校级期末）设n正整数，集合A={x|x=cos2四．解答题（共4小题）17．（2025•泰安模拟）全集Q＝{a0，a1，a2，⋯，an}，a∈N*，n∈N，若Q中存在两个非空子集M，N，满足M∩N＝∅，M∪N＝Q，则称M，N是Q的一个“组合分拆”，用T（C）表示集合C的所有元素的和．（1）若a＝3．①若n＝5，M＝{x|x＝32k，k＝0，1，2}，求T（N）；②若n为偶数，证明：T（M）≠T（N）；（2）若a＝2，n为给定的偶数，关于x的方程x2+T（M）x+T（N）＝0存在有理数解，求T（M）的最小值，并写出取得最小值时的一个集合M．18．（2025•武汉模拟）已知集合A＝{x|x＝m+3n，m∈Z，n∈Z}，集合B满足B＝{x|x∈A且1x∈（1）判断2+3，3−3，0，7+43（2）证明：若x∈B，y∈B，则xy∈B；（3）证明：若x＝m+3n∈B，则m2﹣3n219．（2025春•闵行区校级期中）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数a、c∈M，b∉M且a＜b＜c时，称M为“间断整数集”．进一步地，若“间断整数集”M中任意两个元素的差的绝对值最小为t，则称M为“t﹣间断整数集”．已知集合N＝{x|1≤x≤10，x∈Z}．（1）若集合N的三元子集{a，5，8}是“2﹣间断整数集”，求符合条件的元素a所构成的集合；（2）若集合N的四元子集A＝{a1，a2，a3，a4}是“1﹣间断整数集”，求集合A的个数；（3）求集合N的所有子集中，“间断整数集”的个数．20．（2025•嘉兴模拟）记集合A，B为集合S＝{1，2，3，…，n}（n∈N*）的两个子集，且满足A∪B＝S，A∩B＝∅．定义：f(A，B)=|（1）当n＝4时，求f（A，B）的所有可能的值；（2）求f（A，B）的最小值；（3）设k为不超过n(n+1)2的自然数，且k与n(n+1)2的奇偶性相同，证明：存在A，B，使得

集合答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025•泰安模拟）若全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{1，5}，则（∁UA）∩B＝（）A．{5} B．{2，5} C．{0，5} D．{2，3，4}【考点】集合的交并补混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．【正确答案】A【分析】求出∁UA，根据交集定义即可得．解：全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{1，5}，则∁UA＝{0，4，5}，（∁UA）∩B＝{5}．故选：A．【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．2．（2025•东城区一模）已知集合A={(x，y)|y=x2−1}，B＝{（x，y）|y＝aA．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．[0，1] D．[0，1）∪（1，+∞）【考点】集合交集关系的应用．【专题】集合思想；定义法；集合；逻辑思维．【正确答案】D【分析】先分析出曲线y=x2−1表示的是双曲线x2﹣y2＝在x轴上及上方的所有点，再分情况讨论当a取不同值时，y＝a|x+解：因为A∩B有且只有两个元素，所以曲线y=x2−1与y＝a|对于曲线y=x2−1变形可得x2﹣y表示的是双曲线x2﹣y2＝在x轴上及上方的所有点，对于曲线y＝a|x+a|，（1）当a＝0时，如图所示，y＝a|x+a|表示的是一条直线y＝0，与x2﹣y2＝1（y≥0）交于（1，0），（﹣1，0）两点，符合题意；（2）当a＜0时，y＝a|x+a|≤0，与x2﹣y2＝1（y≥0）至多有一个交点，不符合题意；（3）当a＞0时，y＝a|x+a|表示的是两条射线，y=①当a＝1时，y＝a|x+a|表示的是y＝x+1（x≥﹣1）和y＝﹣（x+1）（x＜﹣1）两条射线，与x2﹣y2＝1（y≥0）仅有（﹣1，0）一个交点，如下图所示，所以a＝1不符合题意；②当0＜a＜1时，y＝a|x+a|与x轴的交点为（﹣a，0），﹣a∈（﹣1，0），且y＝a（x+a）的斜率a∈（0，1），y＝﹣a（x+a）的斜率﹣a∈（﹣1，0），而双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线为y＝±x，斜率分别为1和﹣1，所以y＝a|x+a|与x2﹣y2＝1（y≥0）的左右两支各有一个交点，如下图所示，所以0＜a＜1符合题意；③当a＞1时，y＝a|x+a|与x轴的交点为（﹣a，0），﹣a＜﹣1，且y＝a（x+a）的斜率a＞1，y＝﹣a（x+a）的斜率﹣a＜﹣1，而双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线为y＝±x，斜率分别为1和﹣1，所以y＝a|x+a|与x2﹣y2＝1（y≥0）的右支没有交点，与左支有两个交点，如下图所示，所以a＞1符合题意．综上，实数a的取值范围为[0，1）∪（1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查集合的综合应用，属于难题．3．（2025春•济宁校级月考）已知集合A＝{﹣2，1，3，4}，B＝{x||x﹣2|＜m，x∈R}，若A∩∁RB＝∅，则实数m取值范围为（）A．m＞4 B．m≥4 C．m≤2 D．m＞2【考点】集合的交并补混合运算．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【正确答案】A【分析】根据集合B计算∁RB，利用A∩∁RB＝∅求参数的取值范围．解：由B＝{x‖x﹣2|＜m，x∈R}得，B＝{x|2﹣m＜x＜2+m}，∴∁RB＝{x|x≤2﹣m或x≥2+m}，由A∩∁RB＝∅得，B≠∅，m＞0．集合A＝{﹣2，1，3，4}，则2−m＜−22+故选：A．【点评】本题主要考查集合的混合运算，属于中档题．4．（2025春•漳州月考）已知集合A＝{x|2x﹣1＜0}，B＝{x|ex＜2}，则（）A．A∪B={x|x＜12} B．AC．A∪（∁RB）＝R D．B∪（∁RA）＝R【考点】集合的交并补混合运算；指、对数不等式的解法．【专题】方程思想；转化法；集合；运算求解．【正确答案】D【分析】求得集合A，B，利用交并补的意义逐项计算判断即可．解：因为B＝{x|ex＜2}＝{x|x＜ln2}，集合A={12=12lne=lne12=lneA∩B={A∪(∁RB∪(∁R故选：D．【点评】本题主要考查集合的混合运算，属于中档题．5．（2025•安徽模拟）若集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣20）＜0}，B＝{x|x为质数}，则A∩B中元素的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【正确答案】C【分析】结合交集的定义，即可求解．解：集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣20）＜0}＝{x|3＜x＜20}，B＝{x|x为质数}，则A∩B＝{5，7，11，13，17，19}，故A∩B中元素的个数为6．故选：C．【点评】本题考查一元二次不等式的解集与集合的交集，属于基础题．6．（2025•赣州模拟）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈A，i＝1，2，3，4，5}，那么集合B中满足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的元素的个数为（）A．60 B．100 C．120 D．130【考点】集合中元素个数的最值；元素与集合关系的判断．【专题】整体思想；综合法；集合；排列组合；运算求解．【正确答案】D【分析】明确集合B中满足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的含义，结合组合数的计算，即可求得答案．解：由题意知集合B中满足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的元素的个数，即指x1，x2，x3，x4，x5中取值为﹣1或1的个数和为1或2或3，故满足条件的元素的个数为C5故选：D．【点评】本题以集合为载体，主要考查了组合数的应用，属于中档题．7．（2025•沙坪坝区校级模拟）已知集合A∪B∪C＝{b1，b2，b3，b4，b5}，且B∩C＝{b1，b2，b3}，则集合A，B，C所有可能的情况种数为（）A．216 B．200 C．27 D．25【考点】求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【正确答案】B【分析】设初始状态为b1，b2，b3∈B，b1，b2，b3∈C，A＝∅，将b1，b2，b3，b4，b5放入三个集合，得出b1，b2，b3，b4，b5每一个元素的放法数，根据分步计数原理，即可得答案．解：集合A∪B∪C＝{b1，b2，b3，b4，b5}，且B∩C＝{b1，b2，b3}，设初始状态为b1，b2，b3∈B，b1，b2，b3∈C，A＝∅，现将b1，b2，b3，b4，b5放入三个集合，b1有两种放法，放在集合A或不放集合A；b2，b3同b1，有两种放法；对于b4，分两种情况：放在集合A或不放集合A；当b4放在集合A，可以不放集合B与集合C中，也可以放在其中一个集合，但不能同时放在集合C，B中，共3种放法；当b4不放在集合A，必须放在集合B或集合C中，共2种放法；故对于b4，共有5种放法；b5同b4，共有5种放法；由分步乘法计数原理得，共有2×2×2×5×5＝200种．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于中档题．8．（2024秋•昌平区期末）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤4，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数是（）A．49 B．62 C．109 D．77【考点】判断元素与集合的属于关系．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用；逻辑思维．【正确答案】C【分析】作出集合A、集合B表示的整点图形，结合向量的线性运算及其坐标表示可求解．解：在坐标系内作出集合A、集合B的整点图形，则集合A⊕B中元素为图中虚线格子格点去掉四个角上的（5，5），（5，4），（4，5），（﹣5，﹣5），（﹣5，﹣4），（﹣4，﹣5），（5，﹣5），（5，﹣4），（4，﹣5），（﹣5，5），（﹣5，4），（﹣4，5）共12个点，所以集合A⊕B中元素个数为11×11﹣12＝109个．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算及数形结合思想的运用．二．多选题（共4小题）9．（2025•郫都区校级模拟）对于集合S，若存在集合S的两两不同的子集A1，A2，…，Ak，k≥1满足A1⊆A2⊆…⊆Ak，则称其为集合S的一条“链”，称k为这条“链”的长度．当集合S的元素个数|S|＝n时，下列说法正确的是（）A．集合S的最长“链”的长度为n+1 B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中 C．当|S|＝4时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合 D．集合S的最长“链”的总数为n!【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】计算题；集合思想；集合；运算求解．【正确答案】AC【分析】通过集合的子集链概念，去推断子集包含关系、链的长度及计数．解：选项A分析：最长链的长度：若集合S有n个元素，则最长链为∅⊆{a1}⊆{a1，a2}⊆⋯⊆S，共n+1个子集，长度为n+1．因此A正确；选项B分析：若两集合无包含关系（如{a}和{b}，则无法出现在同一条链中．因此B错误；选项C分析：长为4的链的唯一性：当|S|＝4时，长为4的链必须包含空集、单元素集、双元素集、三元素集和全集．例如，链0⊆{a}⊆{a，b}⊆{a，b，c}⊆S与0⊆{d}⊆{d，c}⊆{d，c，b}⊆S均包含相同的集合．因此C正确；选项D分析：最长链的总数：如果每个元素不同，则每个元素添加顺序不同对应不同链，总数为n!．例如，|S|＝3时，链的总数为3!＝6，如果有两个元素相同则不成立，因此D错误．故选：AC．【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于中档题．10．（2024秋•宜春校级期中）设M，N，P为非空实数集，定义MN＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}，则（）A．M{1}＝M B．M{0}＝{1} C．MN＝NM D．（MN）P＝M（NP）【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解．【正确答案】ACD【分析】根据定义逐项判断可得答案．解：对于选项A，由MN＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}得，M{1}＝M显然成立，故选项A正确；对于选项B，由MN＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}得，M{0}＝{0}≠{1}，故选项B错误；对于选项C，设x∈M，y∈N，则MN＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}，NM＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}，所以MN＝NM成立，故选项C正确；对于选项D，设x∈M，y∈N，z∈P，则MN＝{n|n＝xy，x∈M，y∈N}，所以（MN）P＝{t|t＝nz＝xyz，x∈M，y∈N，z∈P}，又NP＝{m|m＝yz，y∈N，z∈P}，所以M（NP）＝{h|h＝xm＝xyz，x∈M，y∈N，z∈P}，所以（MN）P＝M（NP）成立，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查集合的性质，注意赋值法的运用，考查运算能力，属于中档题．11．（2024秋•广安区校级期中）给定实数集A，定义集合M＝{m∈R|任意a∈A，都有m≥a}，若M是非空集合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作supA．以下说法正确的是（）A．若数集A中有2024个元素，则数集A一定有上确界 B．若数集A中没有最大值，则数集A中一定没有上确界 C．若数集A，B有上确界，则数集{a+b|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supA+supB D．若数集A，B有上确界，则数集{ab|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supAsupB【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．【正确答案】AC【分析】根据上确界的定义即可判断AC；举出反例即可判断BD．解：对于A，若数集A中有2024个元素，则数集A中的元素一定有最大值，所以数集A一定有上确界，故A正确；对于B，若A＝{x|x=1n，n＞1}，当n＞1时，则数集A中的元素没有最大值，因为∀a∈A，都有m≥a，所以m≥1，所以supA＝1，即数集A中有上确界，故B错误；对于C，若数集A，B有上确界，设supA＝m，supB＝n，由上确界的定义可知：对于∀a∈A，b∈B，都有a≤m，b≤n，所以a+b≤m+n，即sup{a+b|a∈A，b∈B}＝m+n＝supA+supB，故C正确；对于D，若A＝{﹣2，﹣1}，B＝{1，2}，则数集A，B有上确界，且supA＝﹣1，supB＝2，此时{ab|a∈A，b∈B}＝{﹣4，﹣2，﹣1}，则sup{ab|a∈A，b∈B}＝﹣1≠﹣2＝supAsupB，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查新定义的应用，集合的综合应用，属中档题．12．（2024秋•沙坪坝区校级期中）已知集合A＝{a1，a2，a3，…，an，…}，B＝{b1，b2，b3，…，bn，…}，其中a1＜a2＜a3＜…＜an＜…，b1＜b2＜b3＜…＜bn＜…，且满足：A∪B＝N+，A∩B＝∅，若对于B中的元素k，在A中至少存在两个不同元素ai1，ai2，…，aim(m≥2)，使得k=aA．若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质P（4） B．若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质P（3） C．若a1＝1，b1≥3，则集合A具有性质P（b1） D．若a1＝1，b1≥4且b2为奇数，则集合A具有性质P（b1）和P（b2），但不具有性质P（b2﹣b1）【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．【正确答案】ACD【分析】对于ABC：根据性质P（k）的定义直接判断即可；对于D：结合选项C判断性质P（b1），分b2＝b1+1和b2＞b1+1两种情况，判断P（b2）；分b2＜2b1和b2＞2b1两种情况，判断P（b2﹣b1）．解：对于B中的元素k，在A中至少存在两个不同元素ai1，ai2，…，aim(m≥2)，k=aA选项，显然A＝{1，3，5，…}，B＝{2，4，6，…}，4∈B且4＝1+3，所以A正确；B选项，A＝{2，4，6，…}，B＝{1，3，5，…}，但A中没有两个或两个以上元素和为3，所以B错误；C选项，因为a1＝1，b1≥3，b1是B中元素的最小者，可知集合A中一定有1，2，3，…，b1﹣1这些元素，且b1＝1+（b1﹣1），则集合A具有性质P（b1），所以C正确；D选项，因为a1＝1，b1≥4且b2为奇数，b1是B中元素的最小者，可知集合A中一定有1，2，3，…，b1﹣1这些元素，且b1＝1+（b1﹣1），则集合A具有性质P（b1），b2是B中元素的第二小者，1．若b2＝b1+1，因为b1≥4，则b2＝（b1﹣1）+2，所以集合A具有性质P（b2）；2．若b2＞b1+1，则A集合中一定有1，2，3，…，b1﹣1，b1+1，…，b2﹣1这些元素，且b2＝（b2﹣1）+1，则集合A具有性质P（b2）；综上所述：集合A具有性质P（b2）．因为b2为奇数，则b2≠2b1①若b2＜2b1，则b2﹣b1＜b1，此时b2﹣b1∈A⇒b2﹣b1∉B；②若b2＞2b1，则b1＜b2﹣b1＜b2，此时b2﹣b1∈A⇒b2﹣b1∉B；综上：集合不具有性质P（b2﹣b1），所以D正确．故选：ACD．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的应用，属于难题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•修文县校级期中）设集合M＝{α|α＝（a1，a2，a3，a4），ai∈{0，1}，i＝1，2，3，4}，对α＝（a1，a2，a3，a4）∈M和β＝（b1，b2，b3，b4）∈M，定义：α⊗β=i=14aibi．已知集合N是M的子集，对任意α∈N，β∈N满足：当ai＝bi，∀【考点】集合中元素个数的最值．【专题】计算题；新定义；转化思想；分析法；集合；逻辑思维；新定义类．【正确答案】5．【分析】先列举出两个元素α和β的取值，再结合条件，进行分类讨论，即可求解．解：集合M中任取两个元素α和β对应坐标计算结果如下表：aibiaibi000010100111当ai＝bi，（i＝1，2，3，4）时，α⊗β为偶数，所以集合N中任一元素含有1的个数为0，2或4，分别如下，①（0，0，0，0）；②（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，0，1，1）；③（1，1，1，1），根据题意，可知集合N中至多含以上8个元素，当α和β不同时，因为α⊗β为奇数，所以α和β的四个对应位置都为1的恰有1个或3个，若N中不含第②类元素，则N中至多1个元素，若N中含第②类元素，不妨设（1，1，0，0）∈N，则第①和③类的两个元素不在N中，对于第②类元素，（0，0，1，1）不在N中，其余都可以是N的元素，所以集合N中元素个数的最大值为5，故5．【点评】本题考查新定义问题，侧重考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．14．（2025•虹口区二模）记|A|为有限集合A中的元素个数．设ω＞0，Sω＝{θ|22025+ω•θ能被7整除}，若对于任意实数a和任意正整数n，恒有|Sω∩（a，a+ne﹣0.5n）|≤3，则实数ω的取值范围是(0，21e【考点】集合中元素个数的最值．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．【正确答案】(0，21【分析】分析可知，集合Sω中的元素θ只需满足ωθ+1能被7整除即可，设ωθ+1＝7k（k∈Z），则θ需取以7ω为间隔的等间隔分布的实数，可知区间（a，a+n−12n）中最多只能找到三个θ值，即求ne−12x解：由于22025所以，22025被7除余数为1，因此，结合题意ω＞0，Sω＝{θ|22025+ω•θ能被7整除}，可得集合Sω中的元素θ只需满足ωθ+1能被7整除即可，设ωθ+1＝7k（k∈Z），从而可得θ=即θ需取以7ω不论实数a和正整数n如何选取，区间（a，a+n−1考虑到任意性，考虑区间长度最长的情况，即求ne设f(x)=xe−1由f'（x）＞0可得x＜2，由f'（x）＜0可得x＞2，所以，函数f（x）的减区间为（2，+∞），增区间为（﹣∞，2），所以，f(因此，问题的要求是在任意一段长度不超过2e的区间里最多只能找到三个θ而θ的取值是以7ω为间隔的，故临界情况是：长度为2因此，只需3×7ω≥2故(0，21【点评】本题考查了集合元素的个数问题，新定义问题，是中档题．15．（2025•江苏模拟）已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…n}（n≥2，n∈N+）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k﹣a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n），求f（9）﹣f（8）的值为31．【考点】集合交并补混合关系的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【正确答案】见试题解答内容【分析】当n＝k时，具有性质P的集合M的个数为f（t），当n＝k+1时，f（t+1）＝f（t）+g（t+1），其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数，计算g（t+1）关于t的表达式，此时应有2k≥t+1，即k≥t+12，故对n＝t分奇偶讨论，利用集合Mqev：当n＝2时，M＝{0}，{1}，{2}，{0，2}，{0，1，2}具有性质P，对应的k分别为0，1，2，1，1，故f（2）＝5．n＝k时，具有性质P的集合M的个数为f（t），则当n＝k+1时，f（t+1）＝f（t）+g（t+1），其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数，下面计算g（t+1）关于t的表达式，此时应有2k≥t+1，即k≥t+12，故对n①当t为偶数时，t+1为奇数，故应该有k≥t则对每一个k，t+1和2k﹣t﹣1必然属于集合M，且t和2k﹣t，…，k和k共有t+1﹣k组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M，故对每一个k，对应的具有性质P的集合M的个数为Ct+1−k0+所以g（t+1）=2②当t为奇数时，t+1为偶数，故应该有k≥t同理g（t+1）=2∴f（t+1）=f由累加法得：f（n）=6×∴f（9）﹣f（8）＝4×25﹣9﹣5﹣（6×24﹣8﹣5）＝31．故31．【点评】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、组合数的计算公式、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．16．（2024秋•江宁区校级期末）设n正整数，集合A={x|x=cos2【考点】集合中元素个数的最值．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；运算求解．【正确答案】2．【分析】利用余弦函数的周期性求解．解：由x=cos2kπ3令k＝0，1，2，可分别得x＝1，−12，当k＝3，4，5……，重复刚才出现的函数值，故A＝{1，−12}，即故2．【点评】本题考查余弦函数的周期性，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025•泰安模拟）全集Q＝{a0，a1，a2，⋯，an}，a∈N*，n∈N，若Q中存在两个非空子集M，N，满足M∩N＝∅，M∪N＝Q，则称M，N是Q的一个“组合分拆”，用T（C）表示集合C的所有元素的和．（1）若a＝3．①若n＝5，M＝{x|x＝32k，k＝0，1，2}，求T（N）；②若n为偶数，证明：T（M）≠T（N）；（2）若a＝2，n为给定的偶数，关于x的方程x2+T（M）x+T（N）＝0存在有理数解，求T（M）的最小值，并写出取得最小值时的一个集合M．【考点】元素与集合的属于关系的应用；求函数的最值．【专题】应用题；集合思想；集合；运算求解．【正确答案】（1）①T（N）＝3+27+243＝273；②证明见解析；（2）T（M）最小值为2n+22【分析】（1）①由题可得集合N，据此可得答案；②注意到T(通过二项式定理证明3n（2）由题可得T（M）+T（N）＝2n+1﹣1，据此可将方程化为x2+T（M）x+[2n+1﹣1﹣T（M）]＝0，结合其判别式为完全平方数可得T(M)=2x+2解：（1）根据题目全集Q＝{a0，a1，a2，⋯，an}，a∈N*，n∈N，若Q中存在两个非空子集M，N，满足M∩N＝∅，M∪N＝Q，则称M，N是Q的一个“组合分拆”，用T（C）表示集合C的所有元素的和．①此时Q＝{1，3，9，⋯，243}，M＝{1，9，81}，由题可得N＝{3，27，243}，则T（N）＝3+27+243＝273；②证明：由题可得T(T（M），T（N）∈N．若T（M）＝T（N），则T(当n为偶数，设n＝2k，k∈N*，则T(注意到(4−1)+C2k+12k则T（M）不为整数，这与题意不合，故T（M）≠T（N）．（2）由题：a＝2，n为给定的偶数，关于x的方程x2+T（M）x+T（N）＝0存在有理数解，此时Q＝{1，2，22，⋯，2n}，n＝2k，k∈N，则T(则x2+T（M）x+T（N）＝0⇔x2+T（M）x+[2n+1﹣1﹣T（M）]＝0，要使方程存在有理数解，则方程判别式T2（M）﹣4[2n+1﹣1﹣T（M）]＝K2，K∈Q．注意到T2（M）﹣4[2n+1﹣1﹣T（M）]＝T2（M）+4T（M）+4﹣2n+3＝K2，则[T（M）+2]2﹣K2＝2n+3⇒[T（M）+2﹣K][T（M）+2+K]＝2n+3，因T（M），2n+3∈N，则K∈N，则T(M)+2−K=2xT(M)+2+K=则2T注意到2x+2y=2x则2x+2且f(x)=2x则当x，y，n+3为正整数时，x取离n+3即x=n+22或T（M）的最小值为2n2n又2n则2n即T（M）取得最小值时的一个集合M可以为：M={1，2，【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于中档题．18．（2025•武汉模拟）已知集合A＝{x|x＝m+3n，m∈Z，n∈Z}，集合B满足B＝{x|x∈A且1x∈（1）判断2+3，3−3，0，7+43（2）证明：若x∈B，y∈B，则xy∈B；（3）证明：若x＝m+3n∈B，则m2﹣3n2【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】应用题；综合法；集合；运算求解．【正确答案】（1）2+3∈B（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于A即可；（2）先证明若x∈A，y∈A，则xy∈A，即可得到1xy（3）依题意可得1x=mm2−3n2+−nm2解：（1）因为12+3=2−因为13−3=因为0没有倒数，所以0∉B；因为17+4所以7+43∈B；综上可得2+（2）证明：若x∈A，y∈A，则xy∈A；设x=s+3t，y=p+3所以xy=(由于sp+3tq，sq+tp都是整数，所以xy∈A，当x∈B，y∈B时，1x∈A所以1x⋅1y=（3）证明：因为x=所以1x所以mm所以(m所以m2﹣3n2＝±1，假如m2﹣3n2＝﹣1，则m2+1＝3n2，则m2+1应为3的倍数，设k为整数，若m＝3k，则m2+1＝9k2+1不是3的倍数；若m＝3k+1，则m2+1＝9k2+6k+2＝3（3k2+2k）+2不是3的倍数；若m＝3k+2，则m2+1＝9k2+12k+5＝3（3k2+4k+1）+2不是3的倍数；所以m2﹣3n2≠﹣1即m2﹣3n2＝1．【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于中档题．19．（2025春•闵行区校级期中）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数a、c∈M，b∉M且a＜b＜c时，称M为“间断整数集”．进一步地，若“间断整数集”M中任意两个元素的差的绝对值最小为t，则称M为“t﹣间断整数集”．已知集合N＝{x|1≤x≤10，x∈Z}．（1）若集合N的三元子集{a，5，8}是“2﹣间断整数集”，求符合条件的元素a所构成的集合；（2）若集合N的四元子集A＝{a1，a2，a3，a4}是“1﹣间断整数集”，求集合A的个数；（3）求集合N的所有子集中，“间断整数集”的个数．【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】应用题；综合法；集合；逻辑思维．【正确答案】（1）{3，10}；（2）168；（3）968．【分析】（1）根据“2﹣间断整数集”的定义列方程求解即可；（2）先求所有四元子集的个数，然后减去四个元素都不连续和四个元素连续的个数可得；（3）用总的子集个数减去空集和单元集合，以及所有元素都连续的子集可得．解：（1）因为集合{a，5，8}是“2﹣间断整数集”，且8﹣5＝3＞2，所以|a−5|=2|a−8|≥2或|（2）因为集合A是1﹣间断整数集”，所以集合A至少有两个连续整数，且不能四个元素连集合N的四元子集有c10其中无连续整数的四元子集个数等价于“从6个元素产生的7个空位中插入4个元素”，所以无连续整数的四元子集个数为C7所以，满足条件的集合A的个数为210﹣35﹣7＝168个．（3）集合N的子集个数为210＝1024个，根据间断整数集的定义可知，0和单元集合不满足题意，共11个；连续的二元集合有9个，连续的三元集合有8个，连续的四元集合有7个，连续的五元集合有6个，连续的六元集合有5个，连续的七元集合有4个，连续的八元集合有3个，连续的九元集合有2个，连续的十元集合有1个，综上，非间断整数集共有1+2+3+4+5+6+7+8+9+11＝56个，所以合N的所有子集中，“间断整数集”的个数为1024﹣56＝968个．【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于中档题．20．（2025•嘉兴模拟）记集合A，B为集合S＝{1，2，3，…，n}（n∈N*）的两个子集，且满足A∪B＝S，A∩B＝∅．定义：f(A，B)=|（1）当n＝4时，求f（A，B）的所有可能的值；（2）求f（A，B）的最小值；（3）设k为