2026年高考数学一轮专题训练：平面向量及其应用 含答案

/高考数学一轮复习平面向量及其应用一．选择题（共8小题）1．（2025春•青白江区校级期末）已知向量a→，b→，AB→=3aA．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D2．（2025春•丽水期末）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π6，a＝2，bA．π3 B．π4 C．π4或3π43．（2025春•丹阳市期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．若a=1，C=π3，且2S＝cosB+bA．π6 B．π3 C．π24．（2025春•嘉定区校级期末）向量a→=(1，−1)在A．−55b→ B．−155．（2025春•浙江期末）已知向量a→，b→，A．2 B．6 C．22 6．（2025春•安徽期末）已知向量a→=（﹣2，2），b→=（m+1，2m），c→=（2，﹣1），（2A．2 B．1 C．0 D．﹣17．（2025春•红桥区校级月考）已知向量a→=(1，2)，b→=(−1，yA．12 B．−12 8．（2025•鞍山模拟）已知向量a→=（1，2），b→=（1，0），c→=（0，1），若a→A．−12 B．12 二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•庐江县期末）下列说法中正确的是（）A．已知a→=(1，−3)，b→=(2，−6)B．已知a→=(1，−3)，b→=(0，1)，则aC．若两非零向量a→，b→满足|aD．平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，2），C（4，0），则△ABC为锐角三角形（多选）10．（2025春•丹阳市期末）下列选项中正确的是（）A．若向量a→，b→，c→，满足a→⋅B．若点G为△ABC中线的交点，则GA→C．已知非零向量a→，b→，若|a→+bD．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，1)，a→与（多选）11．（2025春•南京校级期末）下列说法正确的是（）A．与向量a→=(−1，2)方向相同的单位向量的坐标为B．a→，b→为非零向量，则向量a→C．a→，bD．若a→=(2，3)与b→（多选）12．（2025春•南阳期末）已知向量a→=(1，3)，A．a→=10 B．a→∥b三．填空题（共4小题）13．（2025春•嘉定区校级期末）设向量a→.b→满足|a→|=6，|b→14．（2025春•云南期末）已知单位向量a→，b→满足|a→+b→15．（2025春•杨浦区校级期末）已知向量a→=(1，−3)，b→=(2，1)，则a16．（2025春•浦东新区校级期末）若向量a→=(−1，2)，b→=(2，3)，则a四．解答题（共4小题）17．（2025春•广西期末）已知向量a→=（2，5），b→（1）若x＝2，求（a→−b（2）若a→，b→的夹角为锐角，求18．（2025春•重庆校级月考）在平面直角坐标系xOy中，设向量OA→=(1，0)，OB→（1）求满足OC→=λOA→（2）若点P（x，y）在直线BC上，且满足|BP→|=19．（2025春•新泰市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P．（1）若AP→⋅AC（2）设|AB→|=6，|AC→①用向量AB→，AC②求y﹣x的值．20．（2025春•嘉定区校级期末）已知向量a→=(1，2)，（1）求a→，b→的夹角（2）若(3a→−2

高考数学一轮复习平面向量及其应用答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025春•青白江区校级期末）已知向量a→，b→，AB→=3aA．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的数乘与线性运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】A【分析】利用向量的共线定理一一判断即可．解：BC→=4a则BD→=BC→+CD→=9a因为AB→=3a→+2b→，BC因为AC→=AB→+BC→=7a因为BC→=4a→−b→，CD故选：A．【点评】本题主要考查向量的共线定理，属于基础题．2．（2025春•丽水期末）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π6，a＝2，bA．π3 B．π4 C．π4或3π4【考点】利用正弦定理解三角形．【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．【正确答案】C【分析】应用正弦定理求角的大小即可．解：因为B=π6，a所以由正弦定理asinA=b所以sinA=又因为a＞b，所以π6所以A=π4或故选：C．【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．3．（2025春•丹阳市期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．若a=1，C=π3，且2S＝cosB+bA．π6 B．π3 C．π2【考点】解三角形．【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．【正确答案】C【分析】利用三角形面积公式与边角互换即可求得结果．解：因为a＝1，C=π3，且2S＝cosB+bcosA＝acosB+b即absinC＝acosB+bcosA，由正弦定理得：asinB×sinC＝sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B），又因为三角形中sinC＝sin（A+B），sinC≠0，asinB=1⇒因为B∈（0，π），所以B=故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．4．（2025春•嘉定区校级期末）向量a→=(1，−1)在A．−55b→ B．−15【考点】平面向量的投影向量．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】D【分析】根据条件，利用数量积的坐标运算及向量的模长公式得a→⋅b解：因为a→=(1，−1)，所以a→⋅b所以向量a→在b→上的投影为故选：D．【点评】本题考查投影的求法，向量的坐标运算，属于基础题．5．（2025春•浙江期末）已知向量a→，b→，A．2 B．6 C．22 【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】C【分析】将|a→−b→解：∵|a→−b→|＝2，∴|a∵a→•b→=∴|a→+故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．6．（2025春•安徽期末）已知向量a→=（﹣2，2），b→=（m+1，2m），c→=（2，﹣1），（2A．2 B．1 C．0 D．﹣1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】D【分析】结合向量共线的性质，即可求解．解：向量a→=（﹣2，2），b→=（m+1，2c→=（2，﹣1），（2a→则2（4+2m）＝﹣（﹣3+m），解得m＝﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查向量共线的性质，是基础题．7．（2025春•红桥区校级月考）已知向量a→=(1，2)，b→=(−1，yA．12 B．−12 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】D【分析】利用平面向量共线的坐标表示求解即可．解：向量a→=(1，2)，b→则1×y＝2×（﹣1），解得y＝﹣2．故选：D．【点评】本题主要考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．8．（2025•鞍山模拟）已知向量a→=（1，2），b→=（1，0），c→=（0，1），若a→A．−12 B．12 【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】A【分析】利用向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解．解：由b→=(1，0)，得b→+λ所以a→⋅(b故选：A．【点评】本题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•庐江县期末）下列说法中正确的是（）A．已知a→=(1，−3)，b→=(2，−6)B．已知a→=(1，−3)，b→=(0，1)，则aC．若两非零向量a→，b→满足|aD．平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，2），C（4，0），则△ABC为锐角三角形【考点】平面向量的投影向量；平面向量的基本定理；平面向量的概念与平面向量的模．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】BC【分析】根据平面向量基本定理可判断A错误；根据投影向量的概念可判断B正确；由|a→+b→|=|a→−b→|，同时平方可得a→⋅b→=0，故可判断C解：因为b→=2a→，所以a→a→=(1，−3)，则a→在b→上的投影向量的坐标为a→对于C，因为|a→+b→|=|a→−b→|，所以对于D，因为A（1，1），B（3，2），C（4，0），所以BA→=(−2，−1)，所以BA→⋅BC→=(−2)×1+(−1)×(−2)=0，所以∠故选：BC．【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．（多选）10．（2025春•丹阳市期末）下列选项中正确的是（）A．若向量a→，b→，c→，满足a→⋅B．若点G为△ABC中线的交点，则GA→C．已知非零向量a→，b→，若|a→+bD．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，1)，a→与【考点】平面向量的概念与平面向量的模；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】BC【分析】对于A：举反例即可；对于B：利用重心的性质即可得到结果；对于C：利用向量共线的充要条件即可得到；对于D：利用夹角为锐角排除夹角为0的情况即可．解：对于选项A：当向量a→，b→都与c→垂直时，满足a→⋅对于选项B：若点G为△ABC中线的交点，则点G为△ABC的重心，延长AG与BC交于点M，则M为BC的中点，所以AG→因为AG→=−GA→，所以得到对于选项C：设a→与b→的夹角为θ，因为a→所以2a→⋅b→=2|a对于选项D：因为向量a→=(1，2)，b→=(1，1)，得a→所以1×(1+λ)+2×(2+λ)＞01×(2+λ)≠2×(1+故选：BC．【点评】本题考查向量的基本概念，向量的线性运算，数量积的坐标运算，属于基础题．（多选）11．（2025春•南京校级期末）下列说法正确的是（）A．与向量a→=(−1，2)方向相同的单位向量的坐标为B．a→，b→为非零向量，则向量a→C．a→，bD．若a→=(2，3)与b→【考点】平面向量的相等与共线；平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】AD【分析】对于A，根据向量的单位化，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算，可得其正误；对于C，根据数量积的概念，由向量的减法，可得其正误；对于D，根据共线向量的坐标表示，可得其正误．解：与向量a→=(−1，2)方向相同的单位向量为1|向量a→在向量b→上的投影向量为a→向量不满足交换律，故C错误；由a→=(2，3)与b→=(x，−6)共线，则故选：AD．【点评】本题主要考查向量坐标的运算，属于基础题．（多选）12．（2025春•南阳期末）已知向量a→=(1，3)，A．a→=10 B．a→∥b【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的概念与平面向量的模；平面向量的相等与共线；平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】AC【分析】根据向量的模长公式，平行以及垂直的坐标表示求得结果．解：对于A，向量a→=(1，3)，a→对于B，a→=(1，3)，因为1×（﹣1）﹣3×3＝﹣10≠0，故B错误；对于C，a→=(1，3)，因为a→⋅b→=1×3+3⋅(−1)=0对于D，a→+b|a→|=10，|b故选：AC．【点评】本题主要考查向量的模长公式，平行以及垂直的坐标表示，是基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•嘉定区校级期末）设向量a→.b→满足|a→|=6，|b→【考点】平面向量的投影向量．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】﹣3【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解．解：|a→|=6，|故向量a→在向量b→方向上的投影数量故﹣3．【点评】本题主要考查向量投影的计算公式，属于基础题．14．（2025春•云南期末）已知单位向量a→，b→满足|a→+b→|=102，则【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】14；6【分析】根据单位向量的定义及数量积公式求出a→解：∵|a→|＝|b→|＝1，|a→∴a→2+2a→•b→∴(a→−b→)2=a∴|a→−b故14；6【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．15．（2025春•杨浦区校级期末）已知向量a→=(1，−3)，b→=(2，1)，则a→在b→【考点】平面向量的投影向量．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】(−2【分析】应用投影向量的定义及向量数量积、模长的坐标运算求投影向量．解：由已知得，a→在b→上的投影向量为故(−2【点评】本题主要考查平面向量的投影向量，属于基础题．16．（2025春•浦东新区校级期末）若向量a→=(−1，2)，b→=(2，3)，则a→在【考点】平面向量的投影向量．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】(8【分析】根据数量积的定义式，利用投影向量的计算，可得答案．解：因为a→所以|b→|=所欲a→在b→方向上的投影向量的坐标为故(8【点评】本题考查投影向量的求解，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•广西期末）已知向量a→=（2，5），b→（1）若x＝2，求（a→−b（2）若a→，b→的夹角为锐角，求【考点】平面向量数量积的坐标运算；数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】（1）7；（2）(−2【分析】（1）由平面向量的数量积坐标表示求解即可；（2）由a→，b→的夹角为锐角，则a→⋅b解：因为a→=（2，5），b→（1）若x＝2，则b→=(1，2)，a所以(a（2）向量a→=(2，5)，若a→，b→的夹角为锐角，则a→⋅b故2+5x＞02x−5≠0【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了向量数量积的坐标表示，属于基础题．18．（2025春•重庆校级月考）在平面直角坐标系xOy中，设向量OA→=(1，0)，OB→（1）求满足OC→=λOA→（2）若点P（x，y）在直线BC上，且满足|BP→|=【考点】平面向量数乘和线性运算的坐标运算；平面向量的模．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】（1）λ＝﹣1，μ＝0；（2）(1【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，列式求解．（2）求出CB→解：（1）由OA→=(1，0)，OB→=(1，1)，得又OC→=λOA→+μ（2）OB→=(1，1)，OC→=(−1，0)．P（则CB→=(2，1)，由点P（x，y）在直线BC上，设CP→=λ由|BP→|=12|PC解得λ=23或λ＝2，而x+1=2λy=λ，当所以点P的坐标为(1【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．19．（2025春•新泰市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P．（1）若AP→⋅AC（2）设|AB→|=6，|AC→①用向量AB→，AC②求y﹣x的值．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；用平面向量的基底表示平面向量；数量积表示两个平面向量的