高等数学19专本各专业复习资料

高等数学19专本各专业复习资料高等数学，作为专升本考试中的一门核心基础课程，其重要性不言而喻。它不仅是许多专业后续课程学习的基石，也是衡量学生逻辑思维能力与抽象概括能力的重要标尺。对于19级准备参加专升本考试的同学们而言，系统梳理高等数学的知识脉络，扎实掌握基本概念、基本理论与基本方法，是顺利通过考试并为未来深造打下坚实基础的关键。本资料旨在为各专业同学提供一份全面且实用的复习指引，希望能助大家一臂之力。一、函数、极限与连续函数是高等数学的研究对象，极限是高等数学的基本思想和方法，连续性则是函数的一个重要特性。这部分内容是整个高等数学的基础，务必吃透。1.1函数*函数的概念与性质：理解函数的定义（定义域、值域、对应法则），掌握函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。这些基本性质是分析函数行为的出发点。*初等函数：熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）的表达式、定义域、图像及主要性质。理解复合函数的概念，能够准确分解复合函数的结构。了解初等函数的构成。*常见经济函数（针对经济管理类专业）：如成本函数、收益函数、利润函数、需求函数、供给函数等，要理解其实际意义并能进行简单应用。1.2极限*极限的概念：理解数列极限和函数极限（包括自变量趋于有限值和无穷大两种情形）的直观含义。不必过分纠结于严格的ε-δ语言证明，但对“无限趋近”这一核心思想要有深刻把握。*极限的性质：了解极限的唯一性、有界性（局部有界性）、保号性（局部保号性）。*极限的运算法则：掌握极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则，并能熟练运用。*重要极限：重点掌握两个重要极限的形式及其变形，并能灵活运用它们求相关极限。*无穷小量与无穷大量：理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。理解无穷小量的阶的比较（高阶、低阶、同阶、等价），掌握等价无穷小量替换定理，并能运用其简化极限计算（注意替换条件）。1.3连续*函数连续性的概念：理解函数在一点连续的定义（包括左连续、右连续），会判断函数在某点的连续性。了解函数在区间上连续的概念。*函数的间断点：理解间断点的定义，会判断间断点的类型（第一类间断点：可去、跳跃；第二类间断点：无穷、振荡等）。*连续函数的运算与初等函数的连续性：掌握连续函数的四则运算、复合函数的连续性。理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。*闭区间上连续函数的性质：了解有界性定理、最大值最小值定理、介值定理（包括零点定理），并能理解其几何意义，会用零点定理判断方程根的存在性。二、一元函数微分学微分学是高等数学的核心内容之一，主要研究函数的变化率问题。2.1导数与微分的概念*导数的定义：深刻理解导数的定义（函数在一点处的导数、左导数、右导数），理解导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时变化率）。掌握函数可导性与连续性的关系（可导必连续，连续不一定可导）。*函数的求导法则：熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则（链式法则）。掌握反函数求导法则（了解）。*高阶导数：理解高阶导数的概念，会求简单函数的二阶导数，以及某些简单函数的n阶导数。*隐函数求导：掌握隐函数的求导方法（直接求导法、公式法）。*由参数方程所确定的函数的导数：掌握由参数方程所确定的函数的一阶导数计算，二阶导数可作了解。*微分的概念：理解微分的定义，理解微分的几何意义，掌握微分与导数的关系（可微与可导的等价性）。*微分的运算法则：掌握基本初等函数的微分公式、微分的四则运算法则、一阶微分形式的不变性。会求函数的微分。2.2微分中值定理与导数的应用*微分中值定理：理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论，了解其几何意义，会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式或等式。柯西中值定理可作了解。*洛必达法则：掌握用洛必达法则求“0/0”型、“∞/∞”型未定式极限的方法，会将其他类型的未定式（如“0·∞”、“∞-∞”、“1^∞”、“0^0”、“∞^0”）转化为上述基本型后应用洛必达法则。注意洛必达法则的适用条件。*函数的单调性：掌握利用导数判断函数单调性的方法，会求函数的单调区间。*函数的极值：理解函数极值的概念，掌握函数取得极值的必要条件和充分条件（第一充分条件、第二充分条件），会求函数的极值。*函数的最大值与最小值：掌握求闭区间上连续函数的最大值与最小值的方法，并能解决一些简单的应用问题（如几何、物理、经济等方面的最优化问题）。*曲线的凹凸性与拐点：理解曲线凹凸性的概念，掌握判断曲线凹凸性的方法，会求曲线的拐点。*曲线的渐近线：会求曲线的水平渐近线、铅直渐近线，斜渐近线可作了解。*函数图形的描绘：（了解）会利用函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线等性态描绘函数的简图。*边际与弹性（针对经济管理类专业）：理解边际概念（如边际成本、边际收益、边际利润）和弹性概念（如需求价格弹性），并能进行简单的经济分析。三、一元函数积分学积分学与微分学相辅相成，主要研究函数的累积效应。3.1不定积分*原函数与不定积分的概念：理解原函数与不定积分的定义，理解不定积分的几何意义（积分曲线族），掌握不定积分的性质。*基本积分公式：熟记并能熟练运用基本积分公式。*不定积分的换元积分法：掌握第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（如根式代换、三角代换等，三角代换中简单的如√(a²-x²),√(x²+a²)可重点掌握）。*不定积分的分部积分法：掌握分部积分法，会运用分部积分法计算积分（关键在于u和dv的选取）。*有理函数的积分：（了解）会计算简单的有理函数的积分（如分母可因式分解为一次因式乘积的情形）。三角函数有理式和简单无理函数的积分可作了解。3.2定积分*定积分的概念与性质：理解定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）和几何意义，了解定积分的物理意义。掌握定积分的基本性质（线性性、区间可加性、比较定理、估值定理、中值定理等）。*微积分基本公式：理解变上限积分函数的概念，掌握变上限积分函数的导数公式。熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式，并能运用它计算定积分。*定积分的换元积分法与分部积分法：掌握定积分的换元积分法和分部积分法，注意换元必换限。*反常积分（广义积分）：理解无穷限反常积分和无界函数反常积分（瑕积分）的概念，会计算一些简单的反常积分，并判断其敛散性。3.3定积分的应用*定积分的元素法（微元法）：理解元素法的思想。*定积分在几何上的应用：会用定积分求平面图形的面积（直角坐标系下，极坐标系下可作了解）、旋转体的体积（绕x轴、y轴）。平行截面面积已知的立体体积可作了解。*定积分在物理上的应用（针对理工类专业）：会用定积分求变力沿直线所做的功、水压力、引力（简单情形）等。*定积分在经济上的应用（针对经济管理类专业）：会用定积分由边际函数求总函数（如总成本、总收益、总利润），会计算简单的消费者剩余和生产者剩余等。四、微分方程微分方程是描述客观世界变化规律的重要数学工具。4.1微分方程的基本概念*理解微分方程的定义（阶、解、通解、特解、初始条件、初值问题）。4.2一阶微分方程*可分离变量的微分方程：掌握可分离变量微分方程的解法。*齐次方程：（了解）会识别齐次方程，并通过变量替换将其化为可分离变量的方程求解。*一阶线性微分方程：掌握一阶线性微分方程（齐次与非齐次）的解法，熟记通解公式。会用常数变易法推导非齐次线性方程的通解。4.3可降阶的高阶微分方程（了解）*会解y^(n)=f(x)型、y''=f(x,y')型（不显含y）、y''=f(y,y')型（不显含x）的微分方程。4.4二阶线性微分方程*二阶线性微分方程解的结构：理解二阶线性微分方程解的叠加原理，理解齐次线性方程的通解结构（两个线性无关的特解的线性组合）和非齐次线性方程的通解结构（齐次通解加非齐次特解）。*二阶常系数齐次线性微分方程：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法（特征方程法）。*二阶常系数非齐次线性微分方程：掌握当非齐次项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，或它们的乘积（限于f(x)=e^(λx)Pm(x)或f(x)=e^(λx)[Pm(x)cosωx+Qn(x)sinωx]）时，二阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法。会求其通解。五、多元函数微积分学（简介与重点）对于专升本各专业，多元函数微积分的要求通常低于本科理工类，需根据具体专业和报考院校要求调整复习深度。以下为常见的基础内容：5.1多元函数的基本概念*理解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义（空间曲面）。*了解二元函数的极限与连续性的概念，知道有界闭区域上连续多元函数的性质（有界性、最值定理、介值定理）。5.2偏导数与全微分*理解偏导数的概念，会求二元函数的一阶偏导数和二阶偏导数。*了解全微分的概念，会求二元函数的全微分。了解可微、偏导数存在、连续之间的关系。*掌握多元复合函数的求导法则（链式法则），会求复合函数的一阶偏导数。*会求隐函数的偏导数（一个方程的情形）。5.3多元函数的极值*了解多元函数极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件（二阶偏导数判别法）。会求二元函数的极值。*会用拉格朗日乘数法求解简单的条件极值问题，并能解决一些简单的应用问题。5.4二重积分*理解二重积分的概念（类似定积分的“和式极限”思想）和几何意义（曲顶柱体的体积）。了解二重积分的性质。*掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法（化为二次积分），会根据积分区域选择合适的积分次序。*了解二重积分在极坐标系下的计算方法，会将一些适合用极坐标计算的二重积分转化为极坐标下的二次积分并求解（如积分区域是圆或圆的一部分，被积函数含有x²+y²的因子）。*会用二重积分解决一些简单的几何应用问题（如求平面图形的面积、空间立体的体积）。六、复习策略与应试技巧1.制定合理复习计划：根据自身基础和复习时间，合理规划各章节的复习时长。先全面梳理知识点，再针对薄弱环节重点突破。2.回归教材，吃透例题：教材是根本，许多考题源于教材或在教材基础上改编。务必仔细阅读教材，理解基本概念和定理的来龙去脉，掌握例题的解题思路和方法。3.勤做练习，注重总结：通过大量练习巩固所学知识，提高解题能力。不仅要做课后习题，还可找一些专升本复习资料或历年真题进行演练。做题后要及时总结，归纳题型，提炼方法，反思错误。4.善用错题本：将做错的题目整理到错题本上，分析错误原因，定期回顾，避免再犯类似错误。5.重视基础，循序渐进：不要一味追求难题、偏题。专升本考试中，基础题和中档题占比较大。先确保基础题和中档题的正确率，再挑战难题。6.构建知识体系：用思维导图或笔记形式，将各章节知识点串联起来，形成系统的知识网络，理解各部分内容之间的内在联系。7.模拟考试，调整心态：临近考试，可进行几次模拟考试，熟悉考试流程和时间分配，调整应考心态，增强自信心。七、应试注意事项*认真审题，规范作答：仔细阅读题目要求，明确已知条件和所求结论。答题步骤要清晰、规范，避免因步骤