高三二轮高效复习主题巩固卷数学极化恒等式等和线奔驰定理

[课下巩固检测练(十八)]极化恒等式、等和线、奔驰定理(每题5分)1.已知在边长为1的菱形ABCD中，角A为60°，若点E为线段CD的中点，则AE·EB＝()A.32 B.3C.－34 D.－解析：选C.设F是AB的中点，则EF＝1，根据极化恒等式AE·EB＝－EA·EB＝－EF2－14AB2＝2.在平面内，M，N是两个定点，P是动点，若MP·NP＝4，则点P的轨迹为()A.椭圆 B.抛物线C.直线 D.圆解析：选D.设M，N的中点A，由极化恒等式可得MP·NP＝PA2－14MN2＝4，因为M，N是两个定点，从而PA为定值，3.设O点在△ABC内部，且有3OA＋2OB＋OC＝0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为()A.2 B.3 C.2 D.3解析：选A.根据奔驰定理△AOC的面积与△AOB的面积的比值为21＝24.已知O为正△ABC内的一点，且满足OA＋λOB＋1+λOC＝0，若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为(A.12 B.5C.2 D.3解析：选C.由奔驰定理得S△OAB∶S△OBC＝1+λ∶1＝3，解得λ＝25.如图，已知圆O的半径为2，弦长AB＝2，C为圆O上一动点，则AC·BC的取值范围为()A.0，4 BC.6－43，解析：选C.取AB的中点D，连接CD，OD，则AC·BC＝AD＋DC·(BD＋DC)＝AD·BD＋AD＋BD·DC＋DC2又OD＝22－12＝3，所以CDmin＝2－3，CDmax＝2＋3，即2－3≤所以AC·BCmin＝6－43，(AC·BC)max＝6＋故AC·BC的取值范围为[6－43，6＋43].6.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝()A.1 B.34C.23 D.解析：选B.法一∵E为线段AO的中点，∴BE＝12(BA＋BO)＝12BA＋12BD＝12BA＋14BD＝λBA＋μBD，∴λ＝法二(等和线法)如图，AD为BA，BD为基底值是1的等和线，过E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝｜BE｜｜BF｜，7.设点O是△ABC所在平面内一点，则下列说法错误的是()A.若OA＋OB＋OC＝0，则O为△ABC的重心B.若(OA＋OB)·AB＝(OB＋OC)·BC＝0，则O为△ABC的垂心C.若(ABAB＋ACAC)·BC＝0，BABA·BCBC＝12D.若OA＋2OB＋3OC＝0，则△BOC与△ABC的面积之比为S△BOC∶S△ABC＝1∶6解析：选B.对于A，如图，取AB边中点D，连接AB边上的中线CD，则OA＋OB＝2OD，又∵OA＋OB＋OC＝0，∴2OD＋OC＝0，∴OC＝2OD，∴O为△ABC的重心，故选项A正确；对于B，如图，取AB边中点D，BC边中点E，连接OD，OE，则OA＋OB＝2OD，OB＋OC＝2OE，∵OA＋OB·AB＝OB＋OC·∴2OD·AB＝2OE·BC＝0，∴OD·AB＝OE·BC＝0，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD，OE分别是AB，BC边上的垂直平分线，∴OA＝OB＝OC，O为△ABC的外心，故选项B错误；对于C，作角A的内角平分线AE与BC边交于点E，∵ABAB为AB方向的单位向量，ACAC为AC∴ABAB＋ACAC＝λAE(λ＞0∴ABAB＋ACAC·BC＝λAE·BC＝0(λ∴AE⊥BC，∴AE⊥BC，∴AC＝AB，△ABC为等腰三角形，又∵BABA·BCBC＝BA·BCBABC＝cosB＝12，且B∴△ABC为等边三角形，故选项C正确；对于D，设OB'＝2OB，OC'＝3OC，由OA＋2OB＋3OC＝0，得OA＋OB'＋OC则由选项A可知，O为△AB'C'的重心，设△AB'C'的面积S△AB'C'＝a，∴S△AOC'＝S△AOB'＝S△B'OC'＝13a又∵OB＝12OB'，OC＝13∴S△AOC＝13S△AOC'＝19a，S△AOB＝12S△AOB'＝16a，S△BOC＝16S△∴S△ABC＝S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝13a，∴S△BOC∶S△ABC＝118a∶13a＝1∶6，故选项8.如图，已知M，N是△ABC边BC上的两个三等分点，若BC＝6，AM·AN＝4，则AB·AC＝.解析：取MN中点E(图略)，由向量数量积的极化恒等式，∴AM·AN＝AE2－14MN2＝AE2－14×4＝∴AE2＝5，∴AB·AC＝AE2－14BC2＝5－1答案：－49.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为解析：法一由题意作图如图.∵在△ABC中，DE＝DB＋BE＝12AB＋23BC＝12AB＋23(AC－AB)＝－16AB∴λ1＝－16，λ2＝23.故λ1＋λ2＝法二(利用等和线)如图，过点A作AF＝DE，连接DF.设AF与BC的延长线交于点H，如图，BH为值是1的等和线，设λ1＋λ2＝k，则k＝｜AF｜｜AH｜，由图易知，｜AF｜｜AH｜＝1答案：110.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为2π3，如图所示，点C在以O为圆心的弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x＋y的最大值是解析：(等和线法)如图