小学四年级数学“计数单位累加”视域下的关键课例：因数特例的深度结构化教学设计

小学四年级数学“计数单位累加”视域下的关键课例：因数特例的深度结构化教学设计

一、课标执行与教材解构：从“技能操练”走向“意义建构”的背景分析

本设计严格对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第二学段要求，立足于西南大学版四年级上册第四单元《三位数乘两位数》的教材序列。本课并非该单元的起始课，而是在学生已经掌握了一般三位数乘两位数（无0干扰）笔算通法之后的第一个“变式突破课”与“认知深化课”。【非常重要】本课的核心价值不在于传授“另一种算法”，而在于通过“末尾有0”与“中间有0”这两类特殊因数的集中呈现，引导学生打破算法机械化执行的惯性，回归乘法运算的本质——计数单位的累加与位值原则的精准对应。

从教材纵向逻辑看，西南大学版在三年级下册已完整教学两位数乘两位数，明确了“乘哪一位，积的末位就对哪一位”的对位铁律。然而，当因数中出现“0”时，学生极易产生两种极端思维：其一，认为“0乘任何数得0，因此该步骤可省略”，导致数位错乱（如将十位乘得的积依然对齐个位）；其二，认为“末尾有0可以直接添0”，但对“为什么能先不算0”以及“添几个0”的算理表述不清。本课正是要借助这两类“反例”与“特例”，将隐含在通法中的算理推向显性化、深刻化。【难点】【高频考点】

本课在单元中处于“承上启下”的关键节点：承上，是对一般笔算算理的巩固与压力测试；启下，为后续学习“积的变化规律”（因数末尾0的个数与积末尾0个数的关系）以及“因数中间有0的小数乘法”提供认知支架。因此，本设计跳出传统“例题+练习”的浅层模式，以“结构化教学”为支架，将两类特例置于同一认知场域中进行对比教学，实现从“学会计算”到“理解运算”的质变。

二、学情深描与认知障碍图谱：基于实证数据的精准画像

本学段学生处于皮亚杰认知发展理论中的“具体运算阶段”向“形式运算阶段”过渡的关键期。通过课前前测与访谈，我们对学生关于“0的乘法”的认知状态作出如下专业判断：

第一，关于“末尾有0”的认知冲突。约78%的学生能够通过口算（如先将0前面的数相乘再添0）得出正确答案，但仅有32%的学生能在竖式中清晰解释“为什么3要对齐6”（以160×30为例）【重要】。多数学生将“简便写法”误解为一种纯粹的“偷懒技巧”，而非基于“计数单位转化”的严谨数学逻辑。前测数据显示，在计算250×40时，高达41%的学生积末尾0的个数出错（常误写为3个0，实际应为4个0），暴露出对“因数末尾一共有几个0”与“乘得过程中新产生0”的混淆【高频考点】。

第二，关于“中间有0”的认知障碍。当三位数的十位为0时（如106×12），学生呈现两极分化：学优生能正确计算，但在表述算理时习惯说“0乘任何数都得0，所以这一步写0占位”，这一表述虽答案正确，却在逻辑上存在隐患——若真正理解“占位”，则应明白这“一个0”必须占据一个数位，而不能跳过。前测中典型错误包括：将106×12算成1272（漏加进位）或1312（十位0未参与乘，直接用个位6加进位）【难点】【高频错点】。

第三，思维惰性与负迁移。经过两位数乘两位数及一般三位数乘两位数的训练后，学生容易形成“算法舒适区”，对竖式的关注点从“每一步的意义”退化为“机械模仿步骤”。面对因数中的0，学生倾向于“无视它”或“特殊对待它”，而非将其视为一个普通的数字，遵循统一的运算规则。这恰恰是运算素养发展的瓶颈——无法在变式中把握不变的本质。

基于此，本课确立的核心教学策略为：以“计数单位”为锚点，打通口算、估算、笔算三种形态，通过可视化工具（计数器、面积模型）将隐性算理外显化，实现从“依样画瓢”到“据理力算”的跨越。

三、教学目标层级体系与达成指标

本设计采用“素养目标—单元目标—课时目标”三级分解体系，确保核心素养可教、可测、可评。

（一）终极素养指向

培养数感与运算能力：在非标准数参与运算的复杂情境中，始终坚守“位值制”与“计数单位累加”的运算本质，具备对算法合理性的自我监控与纠错意识。

（二）课时具体目标

1.【理解内化】结合具体情境与面积模型，能清晰阐述“末尾有0的三位数乘两位数”采用先算0前数、末尾添0的算理依据，理解这是基于计数单位的转化与还原。【重要】

2.【技能掌握】能规范、简练地书写因数末尾有0的乘法竖式（包括一位数末尾有0与两位数末尾有0等不同情形），正确处理积末尾0的个数，正确率不低于95%。【高频考点】【必考点】

3.【思维进阶】通过比较“106×12”与“106×30”，深刻理解因数中间有0时，该数位必须参与运算，其积是“0个计数单位”，必须占据数位进行相加，破除“0可省略”的迷思概念。【难点】【思辨点】

4.【结构意识】能将“0”视为普通数字，将“特例”纳入“通法”框架，自主建构三位数乘两位数笔算的完整认知结构，形成“变中不变”的数学眼光。

四、教学重心与难点攻坚战略

【教学重心】掌握因数末尾有0的竖式简便写法和因数中间有0的标准写法，理解两种情形中“0”不同处理方式背后共同的算理——数位对齐与计数单位对应。

【核心难点】破除学生的“双轨思维”，即认为“末尾0用简便法，中间0可以不管”。使学生深刻认识到：末尾0之所以能“先不算”，是因为我们暂时将其从计数单位中剥离，运算后归还；中间0之所以“必须算”，是因为它代表的是该数位上的计数单位个数为0，在累加时必须占位。两者形式相异，本质相通。

五、核心问题链与概念构图

本课以一个统摄性大问题贯穿始终：“同样是0，为什么有时可以‘视而不见’，有时必须‘斤斤计较’？”

围绕此核心，构建三级问题链驱动探究：

1.基础性问题：160×30，列竖式时“3”为什么要对齐“6”？积末尾的两个0都是从哪里来的？

2.冲突性问题：106×12，十位上的0乘1得0，这一步不写行不行？为什么写出来结果就错了？

3.升华性问题：240×50与204×50，这两道题中的0处理方式一样吗？计算过程中，哪些0是因数自带的，哪些0是运算新产生的？

六、教学实施过程：从“经验迁移”到“模型重构”的深度建构

本过程设计为七个递进环节，各环节均包含“任务驱动—自主探究—冲突呈现—精讲点拨—内化修正”的完整微循环。

（一）第一环节：认知唤醒——两位数乘两位数末尾有0的笔算回溯

上课伊始，教师直接呈现两组对比复习题，刻意隐去课题，创设“找联系”的思维悬念。

任务一：不计算，直接在练习本上列竖式，并思考积末尾0的由来。

出示：140×20与14×2

师：观察这两个算式，它们的结果之间有什么关系？140×20列竖式时，为了书写简便，你是怎样对位的？为什么这样对位？

学生独立书写，教师选取两份典型的作业投影展示：一份是末位对齐的标准简便写法（14对齐2，积添两个0），一份是逐位乘的原始写法。

【此处制造第一次认知冲突】明明结果一样，为什么大家更倾向于第一种写法？

【核心追问】“14”在140中代表什么？是14个百还是14个十？

通过辨析明确：140×20，我们实际上是将140看作14个十，20看作2个十，14个十乘2个十，得到28个百？此时教师并不急于给出最终答案，而是引出核心学具——计数器。

师在计数器上拨出140（百位1颗，十位4颗），请学生演示“乘20”的过程。学生直观看到：计数单位由“百、十”统一转化为“十”，计算的是计数单位的个数相乘，最后根据单位换算还原。【非常重要】这一环节并非简单复习，而是为全课奠定方法论基础：简便算法的本质是计数单位的重组与还原。

（二）第二环节：情境嵌入——从“速度模型”中提炼末尾有0新例

基于西南大学版教材特点，选取“高铁与动车速度”为贯穿情境。

呈现信息：高铁列车平均速度可达210千米/时，动车组列车平均速度为160千米/时。

任务二：请根据这两条信息，提出一个用乘法解决的问题，并列出算式。

学生可能提出：高铁4小时行多少千米？动车30小时行多少千米？

教师锁定目标算式：160×30。

师：观察这个算式，与我们之前学习的一般的三位数乘两位数（如145×12）有什么明显的不同？

生：因数的末尾都有0。

师板书课题板块一：因数末尾有0。

【探究活动1】独立尝试：请用你认为最简便、最清晰的方式列竖式计算160×30。

教师巡视，有目的性地选取三种典型资源：

A种：逐位乘。先算160×0=0，再算160×3=480，结果480，末尾加0？呈现混乱。

B种：对齐末位。160×30，把0和0对齐，3和6对齐，计算16×3=48，然后补两个0。

C种：对齐非0位。把30的3对齐160的6，计算16×3=48，然后思考补几个0。

【深层辨析】请B和C的学生分别陈述理由，核心聚焦：“你为什么把3和6对齐？”

生：因为我觉得先不看0，16乘3等于48，160有一个0，30有一个0，一共两个0，所以加两个0。

师追问：“先不看0”——0去哪儿了？160没看0变成16，16是什么？是16个十。30没看0变成3，3是什么？是3个十。16个十乘3个十，得到的是48个什么？

生：（顿悟）48个百！

师顺势在计数器上演示：16个十（160）重复加30次？不，是乘30，也就是乘3个十。我们把它转化为先乘3（计数单位个数翻3倍），再转化计数单位。48个百写作4800。

至此，师生共同提炼末尾有0乘法的“三步法”：

1.提：将因数末尾的0提到一边，将非0数字转化为新的计数单位；

2.乘：计算非0数字的乘法；

3.添：数清一共提出了几个0，在积的末尾添上相同个数的0。

【易错预警】【高频考点】教师呈现反例：250×40。学生易误以为积末尾添3个0（250有1个0，40有1个0，共2个0），但实际上25×4=100，100末尾自带2个0，加上提出的2个0，共4个0。教师强调：这里的0包括“借来的0”和“生出来的0”。【难点】

（三）第三环节：迁移变式——两位数末尾有0与三位数末尾双0的进阶

为进一步巩固“计数单位转化”思想，不将思维停留于“只看末尾对齐”，随即呈现进阶组块。

出示：280×30与280×50与280×15。

任务三：快速判断，哪些算式可以应用“简便写法”？280×15的末尾没有0，不能简便，必须通法计算。

【重要辨析】280×30与280×15在竖式对位上有什么本质区别？

前者我们将28对齐3，后者我们必须将15的个位5对齐280的个位0（但0乘5得0，实际上第一步乘的是280×5）。

通过并列板书，让学生直观感受：通法与特法并非割裂，特法是在通法基础上，基于对0的计数单位属性的深刻理解而衍生的优化。

（四）第四环节：认知转折——从“末尾0”到“中间0”的障碍跨越

师：刚才我们见识了0站在队伍末尾，可以暂时“离队”去转化单位。如果0站在队伍中间，它能离队吗？

出示情境改编：普通列车平均速度为106千米/时，出发12小时，行程多少千米？

列式：106×12。

【探究活动2】独立竖式计算106×12。

教师精准预测学生错误类型【高频错点】【警戒点】：

类型X：将106拆成100和6，分别乘12，最后相加。此法虽正确，但与竖式规范冲突。

类型Y：竖式中，用12的十位1去乘106时，误以为1×0=0这一步没用，跳过不写，直接写1×6=6，1×1=1，得积为16？然后与个位乘积累加，产生严重数位错乱。

类型Z：竖式步骤全，但十位乘得的积末位对位错误（对齐了个位）。

教师将类型Y和类型Z作为核心教学资源，不直接否定，而是投影展示。

师：这位同学认为十位上的1乘0得0，写出来也是0，所以没写。大家同意吗？

生1：不同意，不写那个0，数位就少一位，本来106×10=1060，他写成了160，差很多！

师：为什么差很多？那个0真的只是“一个0”吗？

此时再次启用计数器。拨出106（百位1，十位0，个位6）。乘12，即先乘2（个位），再乘10（十位）。

师：乘10是什么意思？在计数器上怎样表示？

生：在每一位上向左移动一栏。（实际操作：百位1变成千位1，十位0变成百位0，个位6变成十位6——这恰好是1060。）

师强调：十位上的0虽然表示没有“十”，但当它乘以1个十时，它应该出现在什么位置上？——出现在百位上。因此，竖式中虽然这一位写0，但这个0起到了“占位”作用，它告诉我们要把后面6写在十位上，1写在千位上。没有这个0，数位体系就崩塌了。

【深度点睛】中间0必须写，不是为了得数里的0，而是为了给其他数字正确的位置。【核心突破】【难点粉碎】

（五）第五环节：双例并置——构建“0”处理的全景认知图

将例题进阶为“既含中间0又含末尾0”的复合型算式：106×30。

任务四：独立尝试计算106×30。

此时学生面临双重挑战：既有中间0，又有末尾0。

教师巡视，收集不同层级的策略。

策略A：将106拆开，30拆开，繁杂计算。

策略B：先按末尾0简便法，将106×30看作106×3，再添0。计算106×3时，严格处理中间0，得到318，添0得3180。

策略C：直接列竖式，将30的3对齐106的十位0？还是对齐百位？——此处是关键分歧。

通过对比优化，学生发现策略B是最优路径：先利用末尾0简便，将算式转化为非0部分乘非0部分（此时中间0仍保留在原数中必须参与乘），最后统一添0。这一策略完美融合了本节课的两大核心知识点。

【非常重要】此时教师板书本节最核心的结构化对比表格（以思维导图形式呈现，非表格）：

无论是末尾0还是中间0，都遵循同一原则：用哪位上的数去乘，积的末位就与该位对齐。

末尾0之所以可以暂时“隐藏”，是因为它对应的是计数单位“十、百”，我们可以先算计数单位的个数，最后还原单位；

中间0之所以必须“现身”，是因为它占据了一个完整的数位，决定了其他数字的落位。

（六）第六环节：分层练习——从技能巩固到思维发展的攀升

练习设计严格遵循“低门槛、密梯度、高天花板”原则，全部采用笔算与说理并行形式。

第一层：基础保分练【一般】【全员必会】

直接写出竖式并计算。

组A（末尾0）：320×40450×30760×80

组B（中间0）：105×14208×21406×12

要求：计算后同桌互查，重点检查积末尾0个数是否准确，中间0是否漏乘。

第二层：诊断改错练【重要】【高频考点】

呈现三道典型错题，要求学生先圈出错误，再用规范竖式订正，并用红色笔在旁边用一句话写出“错因警句”。

错题1：

360

×46

226

144

1666

（错因：末尾0漏写；进位错误）-8

错题2：

103

×50

650

（错因：中间0未与5相乘，直接落0）-8

错题3：

245

×30

000

735

7350

（错因：个位0乘245得0，这一步虽无技术错误，但不符合简便原则，效率低下）

第三层：策略优化练【思维提升】

出示：240×50与204×50并置。

问题：不计算，观察这两道题，哪一道积末尾的0更多？为什么？

学生通过推理：240×50，末尾已有两个0（24×5=120还会产出一个0，共3个0）；204×50，末尾只有一个0（204×5=1020，加提出的一个0，共2个0）。

通过此练习，打破学生“因数末尾0越多，积末尾0就一定越多”的直觉误区，将思考引向深入。

第四层：开放探究练【素养拓展】【拔高】

设计算式谜：

（）08×1（）=8（）（）（）

已知积是四位数，且积的十位上是6，请尝试推理因数可能是多少。

此题将中间有0的乘法与数位推理结合，需要学生逆向思考每一步乘积的对位关系，是对本课所学核心算理的高阶应用。

（七）第七环节：结构复盘——从课时知识到单元图谱

师：今天的学习，我们是把“0”当作了敌人，还是当作了朋友？

生：是朋友。它教会我们要更深刻地理解数位。

师生共同完成思维导图式板书（文字描述）：

在乘法竖式的世界里，没有特例，只有原理。无论是普通数还是0，都在严格遵守“相同计数单位相加”的铁律。

末尾0：是隐形的计数单位，我们暂时剥离它，最后迎接它。

中间0：是显性的占位符，我们认真对待它，绝不遗忘它。

本课不是“三位数乘两位数”的终点，而是通往“积的变化规律”“因数末尾有0的小数乘法”的新起点。

七、作业设计体系：差异化的精准巩固

（一）基础性作业（人人必做）

完成西南大学版教材练习十二第4、6题。

要求：末尾有0的算式必须使用简便竖式；中间有0的算式必须规范写出中间步骤。

（二）实践性作业（弹性选做）

寻找生活中的“末尾0”与“中间0”。

请拍摄一张超市购物小票，从中选择两个单价是几百几十几元且十位是0的商品（如4.08元/千克？此处调整为单位：元，不适合。可改为：选择两个整十、整百数的物品数量与单价），编一道三位数乘两位数的应用题并解答。

（三）探究性作业（学有余力）

观察下列算式：20×40=800200×40=8000200×400=80000

思考：如果一个因数末尾多一个0，另一个因数末尾也多一个0，积的末尾会多几个0？为什么？

这一作业直接指向后续“积的变化规律