海南大材料力学课件第6章 弯曲变形

弯曲变形机电工程学院机械工程系：王涛一、弯曲变形的意义：1、解决弯曲刚度问题2、解决超静定问题3、振动计算工程中的弯曲变形问题

位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的，但在工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。二、实际例子1、吊车梁的变形不能过大2、车床车削工件PP

工程中的弯曲变形问题梁的变形和刚度计算研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工作的平稳性6若变形过大，不仅会影响齿轮的啮合和轴承的配合，使传动不平稳，磨损加快，而且还会严重地影响加工精度。又如，车床主轴：7又如，如图所示轮轴：若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工作的平稳性等。研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。工程中的弯曲变形问题

梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。03五月2026工程中的弯曲变形问题钻床的立柱和摇臂03五月2026常州大学机械学院力学教研室工程中的弯曲变形问题叠板弹簧

弯曲变形1积分法

问题：摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品？床的摇臂或车床的主轴变形过大，引言一、挠曲线的近似微分方程-------挠曲线的近似微分方程二、积分法求梁的变形原理注：C、D由梁的边界条件、连续性条件决定§6.3用积分法求弯曲变形积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：

在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;3、连续条件：梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线。

在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。1、依据：积分法中常数由梁的约束条件(位移边界条件)与变形连续条件确定。用积分法求弯曲变形三、小挠度微分方程的积分常数的确定2、约束条件：是指约束对于挠度和转角的限制：

梁段任意截面两侧的挠度、转角对应相等wx-=wx+，θx-＝θx+

2026/5/316【例1】已知q、l、EI、求转角方程和挠度方程、并确定最大转角和最大挠度。1.求支座反力AqBClFAFB2.列弯矩方程x3.列微分方程2026/5/3173.列微分方程积分得4、确定积分常数AqBClFAFBx2026/5/3185.确定转角方程和挠度方程AqBClFAFBx

用整体平衡条件求出梁的支座反力；建立坐标系，用截面法求出梁的弯矩方程；对挠曲线近似微分方程积分两次；利用位移边界、连续光滑条件确定积分常数；确定转角方程和挠度方程；求出指定截面的挠度和转角。关键积分法解题步骤：弯矩方程位移边界、连续光滑条件+§6.3用积分法求弯曲变形例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解：1）建立坐标如图，写弯矩方程2）列挠曲线近似微分方程积分一次：再积分一次：ABF

用积分法求弯曲变形4）由位移边界条件确定积分常数3）积分求转角、挠度方程

5）转角方程和挠度方程当x=0,6）确定最大转角和最大挠度y例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程

用积分法计算弯曲变形

4）积分求转角方程和挠度方程

3）列挠曲线近似微分方程§6.3用积分法求弯曲变形内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可以简化成在集中力F作用下的简支梁。讨论这一简支梁的弯曲变形。例:6-4解弯矩方程挠曲线近似微分方程计算支反力分段函数的计算积分得§6.3用积分法求弯曲变形内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可以简化成在集中力F作用下的简支梁。讨论这一简支梁的弯曲变形。例:6-4解确定积分常数连续与光滑例:6-4解确定转角、挠度的最值于是求得§6.3用积分法求弯曲变形例:6-4解确定转角、挠度的最值当

F接近右支座，即b很小时，有：若a=b=l/2，误差为在简支梁中，只要挠曲线无拐点，即可由中点挠度来代替最大挠度。

2.65%§6.3用积分法求弯曲变形§6.3用积分法求弯曲变形

例：求的转角方程、挠度方程。ABBC2026/5/327PAClab【例3】求简支梁的转角方程和挠度方程,确定最大挠度值【解】求约束反力列弯矩方程AC段CB段列挠曲线方程并积分得BFAFBxx2026/5/328约束条件连续条件代入得PAClabBFAFBxx2026/5/329于是有假设a>b，故最大挠度在AC段内PAClabBFAFBxx2026/5/330令得当跨中挠度为PAClabBFAFBxx转角方程挠度方程C、D

为积分常数；由边界条件和连续性条件确定。边界条件:

固定端：w＝0；θ＝0；铰支座：w＝0；弯曲变形的对称点：θ＝0。连续性条件:挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个值。§7-3用积分法求梁的变形EI为常量EI为常量lABq[例7-3-1]用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。解：(1)求支反力，列弯矩方程(2)建立挠曲线近似微分方程，并积分(3)利用边界条件确定积分常数RBRA(5)求最大值(4)求转角方程、挠度方程lABq弯曲变形的对称点：θ＝0。边界条件：或[例7-3-2]用积分法求C截面的转角和挠度，EI为常量。alABFC解：(1)分段写弯矩方程(2)分段建立挠曲线近似微分方程，并积分RARBABFCal(3)确定积分常数边界条件:连续性条件:(4)C截面的挠度和转角AC段：AB段：（1）（2）（3）叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时所引起的该参量的代数和。叠加法：应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。前提条件：小变形，材料服从虎克定律。*

表7-1§7-4用叠加法求梁的变形例

求图所示受载的悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端B的挠度和转角。解:梁内弯矩方程:连续积分两次得利用两个边界条件:自由端的挠度和转角最大求得c1、c2都为零。将其代入挠曲线方程和转角方程:

例

图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。APBLCyxba解：利用平衡方程易求得两个支反力显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。分别列出AC、CB段弯矩方程并积分APBLCRAyxRBbaAC段CB段边界条件：支承条件

连续条件

光滑条件APBLCyxba利用边界条件解得最大转角，显然在支座处从AB，中间必经过0最大挠度当P力作用在跨中央时，fmax发生在梁中央。当P力无限接近端点B时，即b0时简支梁无论P作用在何处用小结①尽可能选择支座处为坐标原点，w

坐标的正方向选为向上，否则，挠曲线方程要相差一个负号。——积分法③挠曲线不仅与弯矩M有关，还与材料弹性模量E

、横截面惯性矩I

有关，故M、E、I中有一个不连续时，挠曲线微分方程的积分就需分段进行，每增加一段，就增加两个积分常数。④利用结构和载荷的对称性，可只求解半段梁的挠曲线。⑤对于简支梁，若挠曲线上无拐点，则②当x1，x2坐标均有同一坐标原点和指向，并在积分时将(x-a)看作一个变量时，可得到积分常数C1=C2，D1=D2

的结果。§6.3用积分法求弯曲变形积分法求变形有何优缺点？讨论：优点缺点任意截面处的挠度、转角载荷复杂挠度、转角方程求特定截面处挠度、转角走弯路！运算复杂§6.3用积分法求弯曲变形

弯曲变形2叠加法

问题：摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品？床的摇臂或车床的主轴变形过大，引言用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形

在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。

当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。前提：小变形，线弹性．使梁的挠度、转角 均与载荷成线形关系。叠加法由于梁的边界条件不变，因此重要结论：

梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。二、结构形式叠加解、①荷载分解如图②查简单荷载引起的变形(↓)()③叠加按荷载叠加原理求A点的转角和C点的挠度。qACBaaF=+ACBaaFqACBaa(↓)()(↓)()解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应的变形和相关量如图所示。利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端B截面的挠度和转角。FlllEIFABCDqD1F直线wB2(b)DBqD1

lwD1qB2wD1qC1F直线wB1(a)CBqC1

2lwC1qB1wC1由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：(↓)()对图a，可得C截面的挠度和转角为：qC1F直线wB1(a)CBqC1

2lwC1qB1wC1同理可得此时B截面的挠度和转角为：(↓)()对图b，可得D截面的挠度和转角为：qD1F直线wB2(b)DBqD1

lwD1qB2wD1()(↓)将相应的位移进行叠加，即得：FlllEIFABCD方法分解载荷分别计算位移

求位移之和

当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和理论依据上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合（小变形,比例极限内）（小变形）叠加法适用条件：小变形，比例极限内

试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转角qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。已知EI为常量。例题

利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图b)和简支梁BC(图c)所组成。和弯矩应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，它们的指向和转向如图b及图c所示。例题解:

图c中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁B支座处的外力2qa将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。简支梁BC，由q产生的

Bq、wDq(图d)，由MB产生的

BM、wDM(图e)。可查有关式，将它们分别叠加后可得

B、wD，它们也是外伸梁的

B和wD。例题例题

图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，其转角就是上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|·a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去,才是原外伸梁的A端挠度wA例题5-5CABDF2=2kNABF1=1kNDC[例]一空心圆杆，内外径：d=40mm、D=80mm，E=210GPa，C点的[w/L]=0.0001，B点的[

]=0.001弧度，试核此杆的刚度。+解：

查表求简单载荷变形

叠加=L=0.4ma=0.1mC0.2mABF1=1kNDF2=2kN

校核刚度刚