海南大材料力学课件第13章 能量法

能量法机电工程学院机械工程系：王涛

能量法1功能原理法概述（Introduction）

在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能,简称变形能.一、能量方法（Energymethods)三、变形能（Strainenergy）二、外力功（Workoftheexternalforce）

固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功,则成为外力功.

利用功能原理Vε=W

来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法.外力由零开始缓慢地增加到最终值，变形中的每一瞬间固体都处于平衡状态，动能和其他能量的变化皆可不计，则固体的应变能在数值上等于外力所作的功。四、功能原理外力功的统一表达式F：广义力，：广义变形应变能和余能一、杆件变形能的计算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）1.轴向拉压的变形能（Strainenergyforaxialloads)

此外力功的增量为：当拉力为F1

时,杆件的伸长为Δl1当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(Δl1)FF

llFFO

l

l1dl1dF1F1积分得:

根据功能原理

当轴力或截面发生变化时:

Vε=W,可得以下变形能表达式（单位J/m3)

比能（strainenergydensity）:

单位体积的应变能.记作u

当轴力或截面连续变化时：2.扭转杆内的变形能（Strainenergyfortorsionalloads）或l

MeMe

Me纯弯曲（purebending)横力弯曲（nonuniformbending）3.弯曲变形的变形能（Strainenergyforflexuralloads）θMe

MeMe

Me4.组合变形的变形能（Strainenergyforcombinedloads)

截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.5.纯剪切应力状态下的比能（Strainenergydensityforpureshearingstateofstresses）

假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动

dx.dxdydzxyzabd

因为很小,所以在变形过程中,上下两面上的外力将不作功.只有右侧面的外力（

dydz）对相应的位移

dx

作了功.

dx

当材料在线弹性范围内内工作时,

上述力与位移成正比,因此,单元体上

外力所作的功为

比能为

将

=G

代如上式得dxdydzxyzabd

dx

等直圆杆扭转时应变能的计算将代入上式得二、变形能的应用（Applicationofstrainenergy）1.计算变形能（Calculatingstrainenergy）2.利用功能原理计算变形（Work-energyprincipleforcalculatingdeflection）例题1试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度.ABFlx解：由Vε=W得例题2试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截面的挠度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得例题3试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B截面的垂直位移.已知EI为常量.解：ABFORθ

由Vε=W得

2

解:梁中点的挠度为:

梁右端的转角为:MeACBFl/2l/2

梁的变形能为:

1例题4

以弯曲变形为例证明应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关.

先加力F

后,再加力偶Me（1）先加力F后,C

点的位移

力F所作的功为（2）力偶由零增至最后值MeB

截面的转角为

力偶Me

所作的功为ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me

1

先加上的力F所作的功为C截面的位移为

3ACBl/2l/2F与力偶Me所作的功为ACBFl/2l/2

1

Me

能量法2莫尔积分法§10-4

莫尔定理（Mohr’stheorem）一、莫尔定理的推导（Derivationofmohr’stheorem）

用附加力法可以求出杆件任意位置任何方向的位移。假设杆件承受外荷载为F，附加力为F‘,则在F和F‘单独作用下杆件的弯矩分别为M(x)和M‘(x)。运用叠加原理可求出杆件在F和F‘共同作用下的弯矩为，则第二项实际上就是对应于所求位移方向的单位力作用下的弯矩，所以

莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理

注意:上式中Δ应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力.拉、压杆件扭转变形的杆件三、使用莫尔定理的注意事项

（5）莫尔积分必须遍及整个结构.

（1）M（x）：结构在原载荷下的内力;

（3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲;

（2）——去掉主动力,在所求广义位移点,沿所求广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力;M

（4）与M（x）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立;M（x）A例题1抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用,用单位载荷法求梁中点的挠度wC和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影响不计.qBCll/2ql/2ql/2解:在实际荷载作用下,任一x

截面的弯矩为AAB11/21/2C（1）求C

截面的挠度

在C点加一向下的单位力,任一x

截面的弯矩为xqBCll/2ql/2ql/2ql/2AAB11/l1/lx（2）求A截面的转角

在A截面加一单位力偶

引起的x截面的弯矩为qCll/2（顺时针）ql/2例2抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用，用单位载荷法求梁中点的挠度∆c和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影响不计.解：在实际载荷作用下，任一x截面的弯矩为ql/2AqCll/2ql/2求C截面挠度，在C点加一向下的单位力任一x截面的弯矩为AB11/21/2Cx单位载荷法ql/2AqCll/2ql/2AB11/l1/lx求A截面的转角，在A截面加一单位力偶引起的x截面的弯矩为（顺时针）ql/2AqCll/2ql/2单位载荷法例3刚架的自由端A作用集中力F。刚架各段的抗弯刚度已于图中标出。不计剪力和轴力对位移的影响。计算A点的垂直位移及B截面的转角。aABCFlEI1EI2解：计算A点的垂直位移，在A点加垂直向下的单位力AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa（自己假定正方向）计算B截面的转角，在B上加一个单位力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa1（顺）例4图示为一简单桁架，其各杆的EA相等.在图示荷载作用下，A，C两节点间的相对位移.FaaFABCDE132456789aFaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的单位载荷法为1112345678杆件编号90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000列表求解FaaFABCDE132456789aFaaABCDE132456789a11例5用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。3、求变形解：1、加单位载荷如图2、求内力x4、求转角，重建坐标系（如图）能量法3图乘法计算莫尔积分的图乘法直杆在单位载荷作用下，M0(x)图一定是直线或折线。等截面直杆，EI为常数，只须计算积分即可。长L的杆内M(x)图是曲线，设其面积为AΩ，

M0(x)图是直线，设M0(x)=A+Bx，则：xcxdxMM0CMxM0(x)M0cxxL式中：AΩ

为M图的面积；

MC0为M图形心对应下的M0图的值。常见图形的面积和形心为置应用图乘法的注意事项：①M、M0图一律画在受压侧，当M、M0图同侧受压时，AΩMC0

乘积为正，AΩ

MC0乘积为号；②若M0

(x)图为折线，应分段图乘；③若M、M0图都是直线，则标距可取自任一个图形；④对于组合图形，将其分解为几个简单图形，分别计算再进行叠加。应用图乘法求变形的解题步骤：①画M图；②加单位力，画M0图；③代入图乘公式求解。例1均布荷载作用下的简支梁，其EI为常数.

求跨中点的挠度.ABCql/2l/2ABCql/2l/2ABC1l/2l/2解：C2C1例2图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力F作用.用图乘法求集中力作用端挠度为零时的F值；FCABalq解：（1）在C截面处施加单位力（2）作载荷作用下和单位力作用下的弯矩图（3）图形互乘例3图示简支梁AB,抗弯刚度EI为常量,求梁中点C的挠度BAC对否？BAC

单位载荷内力图为折线时，互乘时按折点进行分段。BAC解：（1）在梁的A端施加单位力（2）绘载荷作用下的弯矩图（4）图形互乘（3）绘单位力作用下的弯矩图例4求图示外伸梁A截面的挠度。抗弯刚度EI为常量。BAC叠加法例5置于水平面内的折杆，转折处均为直角，杆的抗弯刚度及抗扭刚度分别为EI和GIP

，试求A点的垂直位移。叠加法求组合变形时的位移解：（1）在C截面处施加单位力（2）作载荷作用下和单位力作用下的弯矩图（3）图形互乘例6图示简支梁AB,抗弯刚度EI为常量,求梁中点C的挠度BACBAC

外载荷内力图为直线时，互乘时可以倒乘。解：求C截面的挠度例7图示悬臂梁AB,抗弯刚度EI为常量,求截面C的挠度。解：FCABalqMql2/8Fa1ABalCaMC2C1C2ABPl，EI例8求悬臂梁中点挠度。AB1l/2PlABPl，EIPl例9图示刚架，两杆的EI相同，试求C点的水平位移和C截面转角（只考虑弯矩）。CFabAB解：在C点加一水平单位力，分别做出在原有载荷和单位力作用下的弯矩图。1abBACFabABCFaFaaa解：求C截面转角，则在C截面加一单位力偶，分别做出在原有载荷和单位力作用下的弯矩图。FabABCFaFa1abBAC11能量法4卡式定理法一、卡氏第一定理

卡氏定理为最后位移的函数卡氏第一定理应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。由于改变了，外力功相应改变量为二、余能定理与卡氏第二定理表明余能为一系列荷载的函数由于改变了，外力余功相应改变量为余能定理杆件的余能对于杆件上某一荷载的变化率就等于与该荷载相应的位移。在线弹性范围内卡氏第二定理线弹性范围内，杆件的应变能对于杆件上某一荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。

（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明（Directions）：

（2）Fi

为广义力，

i为相应的位移一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移（3）卡氏第二定理的应用

（a）轴向拉伸与压缩

（b）扭转

（c）弯曲（4）平面桁架（5）组合变形

注意1、卡氏第二定理只适用于线弹性小变形体；2、所求位移处必须要有与位移对应的广义力作用；3、所求位移处广义力必须与其它载荷F1，

F2，…

Fi

，…要用不同的符号加以区别；4、静定结构的约束力要表示为所有各外载荷的函数。

注意5、若构件不同两点i、j处的两个载荷符号F

相同，则令i处F=Fi

、j处F=Fj

；若只求某点处位移，该点处载荷在求约束力前必须与其它各处载荷用不同的符号区别！6、若所求位移处无外载荷作用，则人为附加一个与所求位移对应的载荷，计算系统在原载荷和附加载荷共同作用下的应变能，应变能对附加载

荷求完偏导数后，再令附加载荷为

零，即可求得该处的位移。注意

对线弹性杆系结构（对线弹性结构）卡氏定理的应用

计算载荷作用点的位移；

计算无载荷作用点的位移，此时需在所求点沿所求方向加一虚力，求导后再令虚力为零；

计算两点相对位移，可在此两点分别加一等值反向共线力，求导后再令其为零；

同样可以计算角位移及相对角位移。

解：系统变形能C截面的挠度例题1抗弯刚度为EI的梁，B端弹簧刚度为k，试用卡氏定理求力F作用点的挠度。ABCkFxx1

解：求A处挠度时令A处集中力qa=F

，其它不变M(x)=－Fx－qx2/2－qa2弯矩对F

求完偏导后，再用qa代回F

例题2如何用卡氏定理求A端的挠度和转角？qqa2qaaAx

用几何法求解需作变形图，借助几何关系求位移。本题求铅直位移，直接用卡氏定理求解较简，若求水平位移用卡氏定理较麻烦，可用莫尔定理求解较方便。例题3图示结构已知F=35kN，d1=12mm，d2=15mm，E=210GPa。求A点的垂直位移。

CB450300①②1m

A0.8m

F解：由平衡方程求得两杆的轴力分别为对F求偏导

说明下图中的含义讨论D1D2FF

若仅求D1或D2又如何计算？？

先计算A、B支座约束力；

再令C处F=FC，或D处F=FD;③分段列弯矩方程；④由卡氏定理求D1或D2。方法一

先令C处F=FC，或D处F=FD;

再计算A、B支座约束力；③分段列弯矩方程；④由卡氏定理求D1或D2。方法二×D1D2FFFFABCD

解：

求支座约束力由图可知，A、D点载荷同为F，为便于区分起