2025-2026学年下学期湖南省永州市2026届高三第三次模拟考试数学试卷（含答案）

永州市2026年高考第三次模拟考试数学注意事项:1.本试卷共150分,考试时量120分钟.2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效.3.考试结束后,只交答题卡.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U=x∈NA.{0,C.{1,2.已知函数fx=2sinx−A.π6,0B.π33.已知随机变量X服从正态分布N2,σ2A.0.7B.0.6C.0.5D.0.34.某学校派甲、乙、丙、丁4名同学参加“永超”足球比赛中3个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，甲、乙两位同学不能参加同一场次,则不同派法的种数为A.12B.24C.30D.365.已知数列an是公比为q的等比数列,则“a2a6>aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知F是抛物线C:x2=6y的焦点,M是C上一点,直线FM交x轴于点N.若M为A.3B.72C.4D.97、已知α,β∈0,πA.612B.66C.8.已知数列an满足a1A.0<aC.12027<二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知复数z=1A.z=2B.zC.z在复平面内对应的点位于第二象限D.z为方程x2+10.已知函数fx=lnA.fx的图象关于yB.fxC.不等式fx<f2D.若fa+fb=011.在三棱锥P−ABC中,PB⊥PA,PB=2PA=2a,PC=b,PO⊥A.PC⊥平面B.5C.三棱锥P−ABC体积的最小值为D.三棱锥P−ABC外接球表面积的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知a=1,3,13.已知曲线y=axlnx在点1,0处的切线与圆14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0,F1−c,0,F2c,0为C的左、右焦点,过F2的直线交四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,BC//AD，PA=AD=2BC=2CD(第15题图)(1)证明:EF//平面PCD(2)求直线BD与平面PBC所成角的正弦值.16.(本题满分15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求cos2A(2)若a=4,△ABC的内切圆半径为1，求17.(本题满分15分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P4−2,0,P,2,0、动直角调足(1)求E的方程:(2)已知点M4.0，Nt,0，过点M作斜率为k的直线l交E于A，B两点，设置线NA,NB的斜率分别为k1,k18.(本题满分17分)甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中重组为23，乙每次投篮的命中率均为1(1)若甲单独投篮，规定:首次出现连续两次命中，则停止投篮。求甲投篮4次即停止投篮的概率;(2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的透球总数.规定:首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负,比赛也停止.记X表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量X的分布列与数学期望;(3)若甲单独投篮，规定:首次出现连续nn∈N∗次命中，则停止投篮.设停止投篮时甲投篮总次数为Yn,随机变量Yn的数学期望为EYn,记an=EYn.写出an与19.(本题满分17分)已知函数fx=ex−(1)求a的取值范围；(2)设x1,x2x1<x2是fx的两个零点，记(i)证明:x0(ii)判断△ABC永州市2026年高考第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题题号12345678答案BADCBDAB二、多项选择题题号91011答案ADACDABC三、填空题12.213.±14.6四、解答题15.(本题满分13分)解析:(1)证明:在梯形ABCD中，因为BC//AD，所以△因为AD=2BC,所以BEED=BCAD因为BP=3BF,所以BFBP=1又因为PD⊂平面PCD,EF⊄平面所以EF//平面PCD.6(2)由PA⊥平面ABCD，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−设PA=AD则A0,所以BD=−设平面PBC的法向量n=x,y,z,则令z=1,则y=0,x设直线BD与平面PBC所成角为θ,则sinθ=cos⟨n,BD⟩=n⋅BDn⋅BD16.(本题满分15分)解析:(1)因为3bcosC由正弦定理得:3sinB即3sinB即3sinA又因为0<A<π,所以所以cosA=所以cos2A=(2)因为cosA=35,0设△ABC的内切圆半径为r,由等面积法得:12又r=1,a=4整理得:b+c由余弦定理得:a2=b2+c整理得:b+c联立①②，得16bc5+16=4bc5−42，解得所以△ABC的面积为1217.(本题满分15分)解析:(1)因为PF1−PF2=2，所以点P的轨迹为以F1−2,故点P的轨迹方程为x2−又因为OQ=2OP,设点Qx,y将P坐标代入x2−y23=1，得:x24−(2)易知直线l斜率存在且不为0，设l:x=my+4m≠联立方程3x2−y2=故3m2−1≠0,且Δ=则y1+1k1=x1−因为1k1,−1k,即my1即4m+4代入y1+y2=−24m故t=−218.(本题满分17分)解析:(1)设事件A:甲第i次投篮命中，则PAi则甲投篮4次即停止投篮的概率P=PA1A2A3A4+A(2)依题意可得，随机变量X的可能取值为:2，3，4.4分PX=3局结束时,甲胜概率23局结束时,乙胜概率1PX=PX=分布列:X234P53653613.9分则数学期望EX=(3)当n=1时，EY1=1当n≥2时,E则EYn=32E则an+故an+3为首项为92,公比为故an+3=92故Sn=19.(本题满分17分)解析:(1)当a=0时，fx当a≠0时,又因为fx有唯一的极值点x0等价于f′x令f′x=ex−令gx=2xe则gx在区间−∞,1上单调递增,在区间1,+∞当x→−∞时,gx→−∞,x则当a<0时,直线y=1a与gx=2xex的图象有一个交点,fx有唯一的极值点(2)(i)由(1)知a<0，因为x0为极值点，所以f′因为a<0,所以ex02x因为f′x为增函数,且f′x0=0,所以x∈−∞,x0,f′x<0,x∈x0,+∞,f′x>0所以fx0要证:x0<fx0,只需证:只需证:2x0令hx=2x+22则hx在−∞,0上单调递增,hx<h0=1(ii)由(i)证明过程知x1<x0<x由(i)知x0<fx0<0,所以0<tan∠CBA=先证明: