福建龙岩市高级中学、永定区城关中学2025-2026学年高一下学期半期考（期中）数学试卷（含答案）

福建龙岩市高级中学等学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知复数，则（

）A． B． C． D．2．已知，为相互垂直的单位向量，则（

）A．2 B． C． D．43．已知中，，则（

）A． B． C． D．4．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（

）A． B． C． D．5．如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（）A． B． C．2 D．6．猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（

）A． B． C． D．7．在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题8．任何一个复数z＝a＋b（其中a、b∈R，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（

）A．当时，B．C．D．在复平面内对应的点的坐标在第三象限9．已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）=i2020，则下列说法错误的是（

）A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限10．已知向量，则下列结论正确的是（

）A．B．与同向的单位向量为C．在上的投影向量为D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是11．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（）A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为三、填空题12．已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______．13．在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________．14．如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________．四、解答题15．已知复数是实数，是虚数单位．(1)求复数；(2)在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．16．平面内给定三个向量．（1）求满足的实数m，n；（2）若，求实数k；（3）设满足，且，求．17．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等．(1)求圆柱的底面半径；(2)求三棱柱的体积．18．已知在中，为中点，，，.

(1)若，求；(2)设和的夹角为，若，求证：；(3)若线段上一动点满足，试确定点的位置.19．在中，内角所对的边分别为，已知(1)求角；(2)若为边上一点(不包含端点)，且满足，(i)若，求的长；(ii)求的取值范围.参考答案1．B【详解】由.故选：B2．C【详解】解：因为向量，满足，，，所以，则故选：C3．D【详解】因为，所以，故选：D4．C【详解】依题意，设球的半径为，则圆锥的底面半径是，再设圆锥的高为，则有，解得，所以圆锥的高与底面半径之比为．5．D【详解】在直观图中，，在三角形中，过点作⊥于点，则，，故，还原直观图得原图如下，，由得，所以的面积为.故选：D6．D【详解】由题意，可得，且，在中，可得，在中，可得，在中，由余弦定理得：所以．故选：D．7．D【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，，，，所以，因为的取值范围是，所以的取值范围是.故选：D．8．AC【详解】对A，由题意可知，当时，，所以，A正确；对B，，所以B错误；对C，，，所以C正确；对D，由，所以在复平面内对应的点的坐标在第四象限，D错误．故选：AC．9．ABC【详解】解：复数满足，整理得．对于A：由于，故，故A错误；对于B：由于，故，故B错误；对于C：复数的虚部为，故C错误；对于D：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D正确；故选：ABC．10．AB【详解】对于，故A正确；对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确；对于在上的投影向量为，故C错误；对于D，因，则，由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误．故选：AB.11．ABD【详解】对A，母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确；对B，圆锥SO的侧面积，B选项正确；对C,圆锥的体积,C选项错误，对D，设圆锥SO的外接球半径为，则，解得，所以圆锥SO外接球的表面积为，D选项正确.故选：ABD12．4【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上，而表示圆上的点到定点的距离，圆心到定点距离为：所以（是虚数单位）的最小值为：.13．【详解】在正方体中，,所以，所以三棱锥的表面积．14．4【详解】在中，由，又，所以，所以，又，所以，所以又D，E，F三点共线，且在直线外，所以有：，且，所以，，当且仅当时，等式成立，所以的最小值为4．故答案为：4．15．(1)(2).【详解】（1）因为，所以.又因为是实数，所以，所以.所以.（2）因为，所以.又因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得，即实数的取值范围是.16．（1）；（2）；（3）或．【详解】（1）∵,∴.∴解得（2）∵,∴.解得.（3）∵,,∴解得或∴或.17．(1)3(2)【详解】（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为.由题意：.即圆柱的底面半径为3.（2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3，所以，又三棱柱的高为6，所以.18．(1)(2)证明见解析(3)点为线段的中点【详解】（1）因为，则，可得，因为，，，由平面向量数量积的定义可得，所以，.（2）因为为的中点，则，由平面向量数量积的定义可得，所以，，又因为、均为非零向量，故，即.（3）因为点在线段上的一点，设，其中，则，所以，，又因为，且、不共线，所以，，解得，此时，点为线段的中点.1