福建省泉州市南安市侨光中学等校2025-2026学年高一下学期第一次阶段考试数学试卷（含详解）

福建省南安市侨光中学等校2025-2026学年高一下学期第一次阶段考试数学试题一、单选题1．已知是等边三角形，边长为4，则（

）A． B．8 C． D．2．在梯形中，，点在对角线上，且，则（

）A． B．C． D．3．已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（

）A． B． C． D．4．已知夹角为，且，则等于（

）A． B． C． D．105．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，6．已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形7．复数满足条件，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（

）

A． B． C． D．二、多选题9．给出下列命题，不正确的有（）A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向C．若，则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线10．已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（）A．复数z的虚部是 B．C．复数z的共轭复数是 D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限11．已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（

）A．B．的面积为C．D．在的外接圆上，则的最大值为三、填空题12．已知，为虚数单位，若为实数，则______．13．钟楼是银川二中校园的一大特色建筑，每逢新年，悠扬深远的钟声都会为大家祈福．小蓝为了测量钟楼的高度AB，采取了以下方法：在校园内D点处测得塔顶A点处的仰角为45°，后退36.8米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为米，则钟楼高度AB约为_________米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）．

14．已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______.四、解答题15．已知向量.(1)若，求；(2)若，求；(3)若，求在方向上投影向量的坐标.16．已知复数是关于的方程的两个根，且.(1)求和的值；(2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数.17．如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.(1)设，，试用，表示；(2)求；(3)设，，求的最小值.18．在中，角的对边分别是，的面积为，且.(1)求角的大小；(2)在中，，求的取值范围；(3)在（2）的条件下，如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长.19．折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，.(1)证明：；(2)若，求的值；(3)在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积.

参考答案1．A【详解】因为是等边三角形，边长为4，所以.故选：A.2．A【详解】根据题意，作图如下所示：由题意得，.故选：A.3．B【详解】因为，且，，三点共线，所以存在实数，使得，即，则，解得.故选：B4．A【详解】故选：A5．B【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误；对于B，根据正弦定理得，，又，，B有两解，故B符合题意；对于C，由正弦定理：得：，C只有一解，故C不符合题意.对于D，根据正弦定理得，，又，，D只有一解，故D不符合题意.故选：B6．A【详解】，，由余弦定理可得，去分母得：，即，则为直角三角形.7．C【详解】由且，得，∴，整理得，∴，当且仅当，即，时，取得最小值.故选：C8．C【详解】解法一：如图所示：

连接，设，连接，依题意得，，，，则，．因为，所以，（三角函数的有界性）所以．故选：C．解法二

如图，

以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则依题意可得，，，因为圆的半径为1，所以可设，所以，，所以，又，（三角函数的有界性）所以．故选：C．解法三如图所示：

设，则．可看成是在上的投影，当点与重合时最小，最小值为，当点与重合时最大，最大值为0，故．故选：C．9．CD【详解】由相等向量的概念可知A正确；因为，所以与同向，B正确；若，则不一定平行，C不正确；若，则与不一定共线，D不正确.故选：CD10．CD【详解】，对于A，复数z的虚部是，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，复数z的共轭复数是，故C正确；对于D，，在复平面内，对应点的坐标为，复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确.故选：CD11．ABD【详解】在三角形中，由余弦定理，，故，故正确；在中，由余弦定理得：，，故正确；由余弦定理可知：，，平分，，，在三角形中，由正弦定理可得：，故，故不正确；，，，，，为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，显然当取得最大值时，在优弧上．故，设，则，，，，，，其中，，当时，取得最大值，故正确．故选：．12．【详解】依题意，为实数所以.故答案为：13．【详解】由已知得，因为所以，即，解得，所以钟楼高度AB约为米.故答案为：.14．【详解】设、的夹角为，由，为单位向量且满足，可得，解得；又，，所以，，，，的夹角为，则，所以时，取得最小值为15．(1)(2)(3)【详解】（1）时，，所以，

故.（2），

由，可得，

解得.（3）时，，

此时在方向上的投影向量的坐标为.16．(1)，(2)【详解】（1）由复数是实系数方程的一个根，可知也是方程的一个根，由韦达定理，可得，，所以，.（2）因为，所以，则，则得，由（1）可得，，所以.17．(1)；(2)；(3).【详解】（1）由，得，所以.（2）在等边中，，由（1）得，，，，，所以.（3）由（1）知，，而，，因此，而共线，则，又，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.18．(1)(2)(3)【详解】（1）因为的面积为，所以，代入，得，即，所以，即，所以.（2）由（1）知，且，由正弦定理得，所以，且，所以，因为，所以.所以的取值范围为.（3）设，则，，所以，，因为，所以，所以.因为在中，设为的中点，则，且在直角三角形中，，，在中，由正弦定理得，所以.故外接圆半径.19．(1)证明见解析(2