广东省广州市2026届高三下学期普通高中毕业班综合测试（二）数学 试卷

广东省广州市2026届高三下学期普通高中毕业班综合测试（二）数学试卷本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（）A. B. C. D.3.已知非零向量满足，且，则（）A. B. C. D.4.已知，则（）A. B. C. D.5.若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（）A. B. C. D.96.已知，且，则下列不等式不一定成立的是（）A. B. C. D.7.已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（）A.3 B.2 C. D.8.若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（）A. B. C.1 D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（）A. B. C. D.10.已知函数，则（）A.是的一个周期 B.是图象的一条对称轴C.的最大值为 D.在内单调递减11.在棱长为1的正方体中，点在线段（包括两端点）上运动，点为线段的中点，则（）A.存在点，使得B.存在点，使得平面C.当时，经过点A，C，E的平面将正方体分成体积之比为3:1的两部分D.当的面积为时，三棱锥的外接球表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中常数项是______．13.某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________．14.已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求的值；（2）若的面积为2，求的周长．16.（15分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若是函数的极值点，证明：．17.（15分）如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与直线AC所成角的余弦值．18.（17分）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3．（1）求的方程：（2）已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点．（i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由；（ii）证明：直线ME过定点．19.（17分）从中任取3个不同的数，且这3个数从小到大构成一个等差数列，这样的等差数列共有个，这个等差数列的所有项之和为．（1）写出的值；（2）求；（3）求．参考答案及解析1.答案：D解析：根据绝对值不等式性质得：，不等式两边同时加1可得：，即，又因为集合，所以.2.答案：C解析：由复数的除法得，又因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，所以，解得.3.答案：A解析：由可得：，整理可得：，根据数量积定义可得：，又因为，所以，又因为为非零向量，所以，所以等式约去，整理可得：.4.答案：A解析：由二倍角的正弦、余弦公式，且，所以，得：.5.答案：B解析：因为两个函数图象关于直线对称，所以是的反函数，对整理得：，，交换可得反函数：，又因为，所以

，化简可得：，即，两边取以3为底的对数，则.6.答案：B解析：由，，得，对于A，，A正确；对于B，取，则，B错误；对于C，，C正确；对于D，显然，则，D正确.7.答案：C解析：点在的渐近线上，且满足，

所以在中，而，则，所以，又双曲线的渐近线方程为，所以，所以离心率.8.答案：B解析：函数的定义域为R，求导得，当时，恒成立，函数在R上单调递增，最多一个零点，不符合题意；当时，由，得；由，得或，令，则函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，而当时，，当时，，由函数有且仅有两个零点，得，即，或，即，则，令，则，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，所以的最小值为.9.答案：AC解析：对于A，由题意得：，，正确；对于B，，，错误;对于C，，正确；对于D，，错误.10.答案：ACD解析：函数的定义域为R，对于A，，因此是的一个周期，A正确；对于B，，，因此不是图象的对称轴，B错误；对于C，，，因此，而当时，，所以的最大值为，C正确；对于D，求导得，当时，，则，因此，函数在内单调递减，D正确.11.答案：BCD解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设对于QUOTE，，若，则，即不符，故错.对于：设平面的法向量为QUOTE则QUOTEQUOTE令则则平面的法向量，若平面，则0，即，故存在这样的点故选项B正确；选项C：由设则故解得：假设经过点A，C，E的平面将正方体分成体积之比为3：1的两部分，连接过点做与平行，与交于点作直线可知三条直线交于点所以多面体为三棱台，则三棱台体积为又三棱台体积为QUOTEQUOTE解得：成立，故选项C正确，对于D，设则又QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE则QUOTEQUOTE解得：则与重合，QUOTE即，即与重合，则球心为，，，D对设球心为QUOTEO1=x,y,z,O则利用球心到球表面上的点的距离相等可知：则，，将上面两式代入第三个方程：即，则所以球心为QUOTE0.5,0.25,0.5,0.5,0.25,0.5,半径为球的表面积为：，故选项D正确.12.答案：解析：的展开式的通项为，令，得，所以展开式的常数项为.13.答案：解析：为被参观的场馆个数，可能取值为，甲乙各选个场馆，总的选法为种，（两人选的场馆完全相同）：共种，故，（两人恰好有1个共同场馆）：甲选2个后，乙从甲的2个中选1个、从甲未选的2个中选1个，共种，故，（两人选的场馆完全不同）：共种，故，.14.答案：解析：圆的圆心，半径，由圆上恰有两个点与点的距离都为2，得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交，则，即，令圆心到直线的距离为，于是直线上任意点到圆心距离都不小于，又直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，因此，即，解得，所以实数的取值范围是.15.答案：（1）（2）解析：（1）在中，，由正弦定理得，又，所以有，由题意得，，所以，得.（2）由题意得，由，解得，可得，解得，由余弦定理，得，所以的周长.16.答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）当时，，，，，所以曲线在点处的切线方程为，即，令，解得，令，解得，所以三角形的面积是：.（2），，，因为是函数的极值点，所以且，即，因为，所以，所以，解得，，将代入得：，令，，，令，，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以，所以在上单调递减，所以，所以.17.答案：（1）（2）解析：（1）解：过点作QUOTEEP//FBEP//FB交于点，如图所示，由知，且，又因为且，所以平面，过点作交延长线于点，所以，又因为，故平面，即为三棱锥的高，由题知，，则，，QUOTE，所以；（2）解：因为，，解得，所以，同理可得，所以，，由图知，两边平方得：，所以，又因为，所以.18.答案：（1）（2）（i）不为定值.证明见解析.（ii）证明见解析.解析：（1）因为直线被椭圆所截得的线段的长为3，所以在椭圆上，代入得，又，解得：.（2）设点QUOTEM1,t,Ex1,y设，由得，由，得QUOTE，解得或，又点，在轴下方，则，由韦达定理得得，即，因为QUOTEk1=y1-tx1-1所以QUOTE=y1-tx2-1QUOTE=y1-tmy2所以不是定值.（ii）证明：由（i）得QUOTEk1=-23t-k则直线的方程为QUOTEy-t=-53t+3x-1即QUOTE3y-33x+33=t8-5x3y-3当时，得，所以必过定点QUOTE85,353819.答案：（1），（2）（3）解析：（1）当时，等差数列为所以当时，所以所以.（2）对的奇偶性进行分类讨论：当为偶数时，设：集合中共有个奇数和个偶数.从中任取2个同奇或2个同偶的数，方法数为：将代入，得：当为奇数时，设：集合中共有个奇数和个偶数.从中任取2个同奇或2个同偶的数，方法数为：将代入（此时），得：综